集合とは？意味と記号（∈・⊂・∩・∪）をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

クラスの「背の高い人」って、集合ですか？

合格先生

「背が高い」は人によって基準がちがうから、集合とはいえないんだ。「身長170cm以上の人」なら、入るか入らないかがはっきり決まるから集合になるよ。

やさしく言うと

集合は、「入る・入らない」がはっきり決まる、ものの集まりです。集合に入っている1つ1つのものを要素といいます。たとえば「1から10までの整数のうち、2の倍数」は $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ という集合で、4 はその要素です。

身近なたとえで考えてみましょう。

• クラスの名簿：「1 年 2 組の人」は、名簿にのっているかどうかで、入るか入らないかがはっきり決まります。1 人 1 人が要素です。
• 部活動：「サッカー部の人」と「書道部の人」は別の集合です。両方に入っている人がいれば、その人は 2 つの集合の共通部分に入ります。
• スマホの写真：アルバムの中の「お気に入り」は、全部の写真（全体集合）の一部で、部分集合のイメージです。

このように、集合を丸で表した図をベン図といいます。考えているもの全部の集合を全体集合といい、$U$ と書くことが多いです。

集合になるもの・ならないもの

「身長170cm以上の人」のように基準をはっきりさせれば、集合になります。要素の数が無限でも、入るかどうかが決まれば集合です。

記号と書き方

集合の書き方は2通りあります。要素を並べる書き方 $A=\{2, 4, 6, 8, 10\}$ と、条件で表す書き方 $A=\{2n\mid n=1, 2, 3, 4, 5\}$ です。

高校の教科書では、$A=B$ のときも $A\subset B$ と書きます（等しい場合をふくむことをはっきりさせるため、$A\subseteq B$ と書く本もあります）。

サクラちゃん

要素なら「属する」、集合どうしなら「部分集合」。記号を使い分けよう！

図で見る：要素の個数と部分集合

集合 $A$ の要素の個数を $n(A)$ と書きます。2 つの集合の和集合の個数は、次のように求めます。

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

ベン図に「だけ」の人数を書きこむと、15＋10＋8＝33 人と、たし算だけでも確かめられます。

サクラちゃん

$n(A)+n(B)$ だけだと、どうしてだめなんですか？

合格先生

犬もねこも好きな 10 人は、$A$ にも $B$ にも入っているよね。$25+18$ と数えると、その 10 人を2 回数えてしまう。だから 1 回分の 10 をひくんだ。

部分集合の数え方も、図で見るとすっきりします。要素が 3 個の集合なら、それぞれ「入れる・入れない」を選ぶので、部分集合は $2\times2\times2=8$ 個です。

テスト・入試ではこう出る

集合は高校の数学Ⅰ「集合と命題」で習い、数学Aの「場合の数」でも要素の個数を数えるときに使います。よく出るのは次の形です。

• 集合を要素で書き出し、共通部分・和集合・補集合を求める。
• $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ を使った個数の問題（倍数の個数、アンケートの人数）。
• 部分集合の個数、$\in$ と $\subset$ の使い分けを問う問題。
• 命題の真偽や必要条件・十分条件を、集合のふくむ・ふくまれるで判断する問題。

サクラちゃん

まずベン図をかいて、まん中の「両方」から数を書きこむ。これで個数の問題はこわくない！

まちがえやすい点

合格先生

$2\in A$ はOK、$2\subset A$ は×！ 要素は $\in$、集合どうしは $\subset$ だよ。

• $\in$ と $\subset$ をまぜる：要素には $\in$、集合どうしには $\subset$ を使います。$2\in A$ は正しく、$2\subset A$ は×です。$\{2\}\subset A$ なら正しいです。
• 空集合を忘れる：$\varnothing$ はどの集合の部分集合でもあります。$\{1, 2\}$ の部分集合は $\varnothing$、$\{1\}$、$\{2\}$、$\{1, 2\}$ の4個です。
• 「または」を「どちらか一方だけ」と思う：$A\cup B$ には、両方に入るもの（上の例の 6）もふくまれます。
• 和集合の個数を、たすだけで求める：$n(A\cup B)=n(A)+n(B)$ とするのは×。共通部分の個数 $n(A\cap B)$ をひきます。
• 補集合の全体を確かめない：$\overline{A}$ は「全体集合 $U$ のうち $A$ に入らないもの」です。$U$ が変わると補集合も変わるので、何が全体かを必ず確かめます。
• 同じ要素を 2 回書く：$\{1,\ 1,\ 2\}$ は $\{1,\ 2\}$ と同じ集合です。集合では、同じものは 1 つと数えます。

ことばの由来・歴史

「集合」は、ものが「集まり合う」ことを表すことばです。英語では set（セット）、要素は element（エレメント）といいます。集合を使って数学を組み立てる考えは、19 世紀後半のドイツの数学者カントールが始めた集合論から広まりました。ベン図の名前は、イギリスのベン（John Venn）にちなんでいます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 集合の要素の個数（包除原理）
• 確率の基本と余事象

あわせて覚えたい用語

• 命題
• ド・モルガンの法則
• 必要条件・十分条件

よくある質問