命題とは？意味と真偽・反例・対偶をわかりやすく【例題・問題つき】

Q: 命題は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅰ（集合と命題）で習います。

合格大作戦数学用語辞典 › 集合と論理

大学受験

命題とは

正しいか正しくないかが、はっきり決まる文や式です。正しいとき真、正しくないとき偽といいます。「 $3+4=8$ 」のように偽の文や式も命題です。

読み方：めいだい／英語：proposition／習う学年：数学Ⅰ（集合と命題）

うかるくん

「3＋4＝8」はまちがっているから、命題じゃないですよね？

合格先生

それが命題なんだ。命題は「真か偽かがはっきり決まる」文や式のこと。「3＋4＝8」は偽とはっきり決まるから、偽の命題だよ。

この用語のポイント

命題は真か偽かがはっきり決まる文や式。偽でも命題
$p\Rightarrow q$ を偽と示すには、反例を1つあげればよい
$p\Rightarrow q$ が真 ⇔ $P\subset Q$ （集合で考える）

やさしく言うと

命題は、正しいか正しくないかが、はっきり決まる文や式です。正しいことを真、正しくないことを偽といいます。身近な例で考えてみましょう。

○×クイズの問題：「日本の首都は東京である」のように、○か×かがはっきり決まる問題文は命題です。答えが×の問題文も、×とはっきり決まるので命題です。
人によって答えがちがう文：「このラーメンはおいしい」は、人によって答えがちがいます。真偽がはっきり決まらないので、命題ではありません。
入場のルール：「身長 120 cm 以上」のような決まりは、人によって当てはまるかどうかが変わります。数学では、このようにあてはめるものしだいで真偽が変わるものを「条件」と呼びます。

大事なのは、偽でも命題だということです。「 $3+4=8$ 」はまちがった式ですが、「偽」とはっきり決まるので命題です。反対に「100は大きい数である」は、人によって判断がちがうので命題ではありません。

文や式を、命題（真・偽）、命題ではないもの、条件に仕分ける

まとめると、命題かどうかは「正しいかどうか」ではなく、「真偽がはっきり決まるかどうか」で決まります。

命題の例と、命題ではないもの

○ 命題

2 は素数である（真）
$3+4=8$ （偽。偽でも命題）
正方形は長方形である（真。4 つの角が直角）
$x=2$ ならば $x^2=4$ （真）
$\sqrt2$ は有理数である（偽）
すべての自然数 $n$ について $n+1>n$ （真）

× 命題ではない

数学はおもしろい（人によってちがう）
100 は大きい数である（基準がない）
$x+1=3$ （ $x$ が決まらないと真偽が決まらない。条件）
$x^2-5x+6$ （式だけで、主張していない）
宿題をしなさい（命令の文で、真偽がない）

$x+1=3$ のように、文字の値によって真偽が変わる文や式は条件といいます（ $x=2$ のときだけ真）。命題は、高校の数学Ⅰ（集合と命題）で習います。

「p ならば q」の真偽の調べ方

数学でよく出るのは「 $p$ ならば $q$ 」（ $p\Rightarrow q$ ）の形の命題です。 $p$ を仮定、 $q$ を結論といいます。

真を示す： $p$ をみたすすべてのものが $q$ をみたすことを説明（証明）する。
偽を示す： $p$ をみたすのに $q$ をみたさない例（反例）を1つあげればよい。

合格先生

真と言うには「全部」を示す。偽と言うには反例「1つ」でいい。この差が大事だ！

サクラちゃん

「ならば」が偽だと言うには、反例を1つ見つければいいのよ。

図で見る

条件 $p, q$ をみたすものの集合を $P, Q$ とすると、 $p\Rightarrow q$ が真であることは、 $P\subset Q$ （ $P$ が $Q$ にすっぽり入る）と同じです。

「4の倍数ならば偶数」は真。逆は 2 が反例になって偽

反例は、1 つで十分です。「素数ならば奇数である」は、3, 5, 7, … とほとんどの素数が奇数でも、2 という反例があるので偽です。

「素数ならば奇数」は、2 が反例なので偽

うかるくん

素数はほとんど奇数なのに、2 が 1 つあるだけで「偽」なんて、きびしすぎませんか？

合格先生

「素数ならば奇数」は「どの素数も奇数」と言い切っているんだ。言い切った以上、1 つでも外れたらうそになる。数学の「ならば」は、それくらい強い約束なんだよ。

逆・裏・対偶

命題 $p\Rightarrow q$ から、次の3つの命題がつくれます。

名前	形	例	真偽
もとの命題	$p\Rightarrow q$	$x=2\Rightarrow x^2=4$	真
逆	$q\Rightarrow p$	$x^2=4\Rightarrow x=2$	偽（反例 $x=-2$ ）
裏	$\overline{p}\Rightarrow\overline{q}$	$x\ne2\Rightarrow x^2\ne4$	偽（反例 $x=-2$ ）
対偶	$\overline{q}\Rightarrow\overline{p}$	$x^2\ne4\Rightarrow x\ne2$	真

もとの命題と対偶は、真偽が必ず一致します。逆と裏は、真とは限りません（くわしくは対偶、逆・裏のページ）。

もとの命題と対偶、逆と裏は、それぞれ真偽が一致する

命題の否定

命題の「否定」は、真偽をちょうど反対にした命題です。とくに「すべて」「ある」がつく命題の否定は、まちがえやすいので形を覚えておきましょう。

もとの命題	否定
すべての $x$ について $p$	ある $x$ について $p$ でない
ある $x$ について $p$	すべての $x$ について $p$ でない
$p$ かつ $q$	$\overline{p}$ または $\overline{q}$
$p$ または $q$	$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$

下の 2 つはド・モルガンの法則です。たとえば「すべての生徒が自転車通学」の否定は「全員が自転車通学ではない」ではなく、「自転車通学でない生徒が（少なくとも 1 人）いる」です。

テスト・入試ではこう出る

数学Ⅰでは、命題の真偽を判定し、偽なら反例をあげる問題、逆・裏・対偶をつくる問題、否定をつくる問題が出ます。そのあと、必要条件・十分条件や、対偶・背理法を使った証明につながります。

例題1（真偽と反例）

次の命題の真偽を答えなさい。偽のときは反例をあげなさい。(1) $x>1$ ならば $x>0$ 　(2) $x^2>1$ ならば $x>1$ 　(3) 整数 $n$ が 6 の倍数ならば、 $n$ は 3 の倍数

(1) $x>1$ をみたす数は、どれも $0$ より大きい。真。
(2) $x=-2$ のとき $x^2=4>1$ だが、 $x>1$ ではない。反例があるので偽（反例 $x=-2$ ）。
(3) $n=6k$ （ $k$ は整数）と書けるので $n=3\times2k$ で、3 の倍数。真。

答え　(1) 真　(2) 偽（反例 $x=-2$ ）　(3) 真

例題2（逆・裏・対偶）

実数 $a,\ b$ についての命題「 $ab=0$ ならば $a=0$ 」の逆・裏・対偶をつくり、それぞれの真偽を答えなさい。

もとの命題「 $ab=0\Rightarrow a=0$ 」： $a=1,\ b=0$ のとき $ab=0$ だが $a\neq0$ 。偽。
逆「 $a=0\Rightarrow ab=0$ 」： $a=0$ なら $ab=0\times b=0$ 。真。
裏「 $ab\neq0\Rightarrow a\neq0$ 」： $a=0$ なら $ab=0$ になってしまうので、 $ab\neq0$ なら $a\neq0$ 。真。
対偶「 $a\neq0\Rightarrow ab\neq0$ 」： $a=1,\ b=0$ が反例。偽。

答え　逆：真、裏：真、対偶：偽。もとの命題（偽）と対偶（偽）の真偽が一致し、逆と裏の真偽も一致しています。

うかるくん

偽だと思ったら、まず反例を1つ探す。0 や負の数があやしいんだ！

まちがえやすい点

合格先生

「偽の文は命題じゃない」は×！真偽が決まらない文が、命題ではないものだよ。

まちがった文は命題ではないと思う：偽と決まる文も命題です。命題でないのは、真偽が決まらない文です。
反例を「たまたま」と見のがす：反例が1つでもあれば偽です。「素数はすべて奇数である」は、2 が反例なので偽です。
「ならば」の向きを逆に読む：「 $x=2\Rightarrow x^2=4$ 」は真ですが、逆の「 $x^2=4\Rightarrow x=2$ 」は偽です。
「すべて」の否定を「すべて〜でない」にする：「すべての $x$ で $x^2>0$ 」の否定は「すべての $x$ で $x^2\leqq0$ 」ではなく、「ある $x$ で $x^2\leqq0$ 」です。
反例が仮定をみたしていない：「 $x^2>1$ ならば $x>1$ 」の反例に $x=0$ をあげるのは×。反例は、仮定をみたし、結論をみたさないものでなければなりません（正しくは $x=-2$ など）。

ミニ問題

問題1　次のうち、命題であるものをすべて選び、真偽も答えましょう。(1) 1 は素数である　(2) 富士山は高い山だ　(3) $\sqrt2$ は無理数である

答えと解き方を見る

命題は (1) と (3) です。(1) は偽（素数は 2 以上で、約数が 1 と自分だけの数。1 は素数ではない）。(3) は真。(2) は「高い」の基準がないので、真偽が決まらず命題ではありません。「富士山は日本でいちばん高い山だ」なら真の命題です。

問題2　命題「 $x^2=x$ ならば $x=1$ 」の真偽を答えましょう。偽なら反例もあげましょう。

答えと解き方を見る

偽（反例 $x=0$ ）です。 $x^2=x$ を解くと $x(x-1)=0$ より $x=0,\ 1$ 。 $x=0$ は仮定をみたすのに、結論 $x=1$ をみたしません。両辺を $x$ でわって $x=1$ とすると、 $x=0$ の場合を落としてしまいます。

問題3　命題「すべての実数 $x$ について $x^2>0$ 」の否定をつくりましょう。また、もとの命題と否定のどちらが真ですか。

答えと解き方を見る

否定は「ある実数 $x$ について $x^2\leqq0$ 」です。「すべて」の否定は「ある〜でない」になり、 $>$ の否定は $\leqq$ です。 $x=0$ のとき $x^2=0$ なので、否定のほうが真、もとの命題は偽です。

よくある質問

偽の文も命題ですか？

はい。命題は真か偽かがはっきり決まる文や式なので、まちがった内容でも、偽と決まれば命題です。

命題と条件のちがいは？

命題は真偽が決まっている文や式です。条件は x＋1＝3 のように、文字の値によって真偽が変わる文や式です。

反例とは何ですか？

「pならばq」で、pをみたすのにqをみたさない例のことです。反例が1つでもあれば、その命題は偽です。

もとの命題と対偶の真偽はなぜ一致するのですか？

集合で考えると、PがQにふくまれることと、Qの外側がPの外側にふくまれることが同じだからです。

「すべて」がつく命題の否定はどう作りますか？

「すべてのxについてp」の否定は「あるxについてpでない」です。「すべてのxについてpでない」ではないので注意します。

命題は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅰ（集合と命題）で習います。

出典・参考

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学Ⅰ（数と式：集合と命題）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦

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