積分とは？意味と不定積分・定積分をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

サクラちゃん

積分って、面積を求めるものですか？ それとも微分の逆ですか？

合格先生

どちらも正解だよ。もともと別の考えだったものが、同じ計算でできるとわかった。そこが積分のすごいところなんだ。

やさしく言うと

積分は、細かく分けて、それを積み上げる（たし合わせる）ことで全体を求める計算です。身近なたとえで考えてみましょう。

• 車の距離：スピードメーターの記録から走った距離を出すのが積分です。「その瞬間の速さ×ほんの短い時間」を全部たし合わせます。速さを求める微分とは、ちょうど逆の向きの計算です。
• 水そうの水：1 秒ごとに入る水の量（ペース）が分かれば、それを全部たして、たまった水の量が分かります。ペースが途中で変わっても、細かく区切ればたし合わせられます。
• ピザの面積：曲がったふちの形でも、細い長方形にたくさん切って合計すれば、面積にどんどん近づきます。

まとめると、積分は「少しずつの量」を全部たして「全体の量」を出す計算です。

不定積分と定積分

「積分」ということばは、次の2つをまとめた呼び名です。

不定積分でつける $C$ は「積分定数」、区間を決めて計算するほうは「定積分」のページでくわしく説明しています。

図で見る：グラフの面積が「たし合わせ」

速さのグラフをかくと、グラフと横軸の間の面積が、進んだ道のりになります。速さが一定なら「速さ×時間」の長方形、だんだん速くなるなら三角形や、曲線の下の形になります。

この三角形の面積は、定積分 $\displaystyle\int_0^4 2t\,dt=\Big[t^2\Big]_0^4=16$ と同じです。グラフの形が曲線になっても、積分を使えば同じように道のりを求められます。

サクラちゃん

どうして速さのグラフの「面積」が、道のりになるんですか？

合格先生

ほんの短い時間だけ見ると、速さはほぼ一定だよね。そのあいだに進むのは「速さ×短い時間」で、グラフでは細い長方形の面積なんだ。それを全部たしたのが、グラフの下の面積。だから面積＝道のりになるんだよ。

微分と積分は逆の計算

不定積分は、微分を逆にたどる計算です。$x^2$ を微分すると $2x$ なので、$2x$ を積分すると $x^2$ にもどります。ただし、$x^2+1$ や $x^2-5$ も微分すると $2x$ になるので、どれかに決まりません。そこで $+C$ をつけます。

「面積を求める計算」と「微分の逆」が同じものになる、というのが微分積分学の基本定理です。上の速さの例でいえば、道のり $t^2$ を微分すると速さ $2t$、速さ $2t$ を積分すると道のり $t^2$ です。くわしくは公式辞典「積分の公式」で説明しています。

サクラちゃん

∫ は、「和」を表すラテン語 summa の S を縦にのばした形なんだって！

積分の計算の例

多項式の基本は $\displaystyle\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$（次数を1つ上げて、その数でわる）です。答えを微分して、もとの式にもどるか確かめるのが確実です。かけ算の形 $x(x+1)$ は、先に展開して $x^2+x$ にしてから、項ごとに積分します。

定積分と面積のちがい

定積分は「グラフの下の面積」と説明されることが多いですが、正確には$x$ 軸より下の部分をマイナスとして数えた合計です。

$y=x^2-2x$ を $0$ から $3$ まで定積分すると、下の部分 $-\dfrac43$ と上の部分 $+\dfrac43$ が打ち消しあって $0$ になります。面積を求めるときは、グラフが $x$ 軸の上か下かを先に調べ、下の部分は符号を変えてたします。

テスト・入試ではこう出る

積分は、高校の数学Ⅱで多項式の積分を、数学Ⅲで置換積分・部分積分や体積などを習います。よく出るのは次の形です。

• 不定積分・定積分の計算（$+C$ の書き忘れに注意）。
• 放物線と $x$ 軸、放物線と直線などで囲まれた部分の面積。
• 定積分で表された関数（$\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ を微分すると $f(x)$）。
• 数学Ⅲでは、回転体の体積、曲線の長さ、区分求積法など。

うかるくん

面積の問題は、まずグラフをかいて「上か下か」を確かめる。これでミスがぐっと減るぞ！

まちがえやすい点

合格先生

不定積分には必ず $+C$！ 答えを微分して確かめよう。

• 不定積分で $C$ を書き忘れる：不定積分の答えには必ず $+C$ をつけます（定積分ではつけません）。
• 微分と積分の向きを取りちがえる：$x^2$ を積分して $2x$ とするのは×（それは微分）。積分は次数が1 つ上がり、$\dfrac{x^3}3+C$ です。
• $\dfrac1x$ に $x^n$ の公式を使う：$n=-1$ では分母が0になります。$\displaystyle\int\frac1x\,dx=\log|x|+C$ です。
• 積＝積分の積と思う：$\displaystyle\int x\cdot x\,dx$ を $\dfrac{x^2}2\cdot\dfrac{x^2}2$ とするのは×。かけ算はそのまま分けられないので、$\displaystyle\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}3+C$ と、まとめてから積分します。
• 積分＝面積と思いこむ：定積分は、$x$ 軸より下の部分をマイナスとして数えます。面積を求めるときは、下の部分の符号を変えます。

ことばの由来・歴史

「積分」の「積」は積み重ねる、「分」は分けるという意味で、「細かく分けたものを積み重ねる」ことを表しています。英語では integration（インテグレーション）で、「まとめて1つにする」という意味のことばです。

曲線で囲まれた図形を細かく分けて面積を求める考えは、古代ギリシャのアルキメデスにまでさかのぼります。17 世紀にニュートンとライプニッツが、それぞれ微分と積分が逆の関係にあることを使った計算の方法をまとめました。記号 $\int$ はライプニッツが使い始めたものです。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 積分の公式（微分積分学の基本定理）
• 定積分と面積
• 置換積分・部分積分
• 区分求積法

あわせて覚えたい用語

• 定積分
• 積分定数
• 微分

よくある質問