合格大作戦 数学用語辞典 › 微分・積分
大学受験 大学院入試
定積分とは
区間 a a a b b b F ( x ) F(x) F ( x ) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) f ( x ) ≧ 0 f(x)\geqq0 f ( x ) ≧ 0 x x x 面積 を表します。
読み方：ていせきぶん／英語：definite integral／習う学年：数学Ⅱ（微分・積分の考え）、数学Ⅲ（積分法）
うかるくん
定積分って、不定積分とどうちがうんですか？
合格先生
不定積分の答えは関数 、定積分の答えは数 だよ。原始関数に上の端と下の端を入れて、引き算 するんだ。
この用語のポイント
定積分は F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F ( b ) − F ( a ) 1つの数 で C C C f ( x ) ≧ 0 f(x)\geqq0 f ( x ) ≧ 0 曲線の下の面積 x x x 下の部分はマイナス 。面積とはちがうことがあるこのページの内容
やさしく言うと 求め方 計算の例 図で見る：面積・道のり・長方形の和 定積分と面積のちがい テスト・入試ではこう出る まちがえやすい点 ことばと記号の由来 ミニ問題 関連する公式・用語 よくある質問 やさしく言うと 定積分は、「区間 a a a b b b です。f ( x ) ≧ 0 f(x)\geqq0 f ( x ) ≧ 0 曲線と x x x x = a x=a x = a x = b x=b x = b になります。
計算は、原始関数 F ( x ) F(x) F ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F ( b ) − F ( a )
車の走行距離メーター ：到着したときの数字 − 出発したときの数字 で、その間に走った距離が分かります。途中の速さが変わっても、引き算1回ですみます。水そうの水 ：毎分の水の入る量（流量）が時間とともに変わっても、「10 時の水の量 − 9 時の水の量」で、その1時間にたまった量が分かります。貯金箱 ：毎日入れる金額がばらばらでも、「月末の残高 − 月はじめの残高」で、1か月にふえた金額が分かります。
x y O
a＝1
b＝2
7/3
y＝x²
F(x)＝x³/3 として
F(2) − F(1) ＝ 8/3 − 1/3 ＝ 7/3
∫ 1 2 x 2 d x = 7 3 \displaystyle\int_1^2x^2\,dx=\dfrac73 ∫ 1 2 x 2 d x = 3 7 つまり定積分は、「少しずつの変化」を範囲の中で全部たし合わせた量 で、それを F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F ( b ) − F ( a )
求め方 ∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)\,dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a) ∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a )
a a a 下端 、b b b 上端 といいます。例：∫ 1 2 x 2 d x = [ x 3 3 ] 1 2 = 8 3 − 1 3 = 7 3 \displaystyle\int_1^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2=\frac83-\frac13=\frac73 ∫ 1 2 x 2 d x = [ 3 x 3 ] 1 2 = 3 8 − 3 1 = 3 7
F ( x ) + C F(x)+C F ( x ) + C { F ( b ) + C } − { F ( a ) + C } \{F(b)+C\}-\{F(a)+C\} { F ( b ) + C } − { F ( a ) + C } C C C 定積分では C C C 。答えは関数ではなく、1つの数 です。
計算の例 ○ 正しい計算
∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x = [ x 2 + x ] 0 1 = 2 \displaystyle\int_0^1(2x+1)\,dx=\Bigl[x^2+x\Bigr]_0^1=2 ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x = [ x 2 + x ] 0 1 = 2 ∫ 1 2 x 2 d x = 8 3 − 1 3 = 7 3 \displaystyle\int_1^2x^2\,dx=\dfrac83-\dfrac13=\dfrac73 ∫ 1 2 x 2 d x = 3 8 − 3 1 = 3 7 ∫ 0 3 ( x − 1 ) d x = [ x 2 2 − x ] 0 3 = 3 2 \displaystyle\int_0^3(x-1)\,dx=\Bigl[\dfrac{x^2}{2}-x\Bigr]_0^3=\dfrac32 ∫ 0 3 ( x − 1 ) d x = [ 2 x 2 − x ] 0 3 = 2 3 ∫ 2 2 x 3 d x = 0 \displaystyle\int_2^2 x^3\,dx=0 ∫ 2 2 x 3 d x = 0 ∫ 2 1 x d x = 1 2 − 2 = − 3 2 \displaystyle\int_2^1 x\,dx=\dfrac12-2=-\dfrac32 ∫ 2 1 x d x = 2 1 − 2 = − 2 3 × よくあるまちがい
∫ 1 2 x 2 d x = 1 3 − 8 3 \displaystyle\int_1^2x^2\,dx=\dfrac13-\dfrac83 ∫ 1 2 x 2 d x = 3 1 − 3 8 答えに + C +C + C ∫ 0 3 ( x − 1 ) d x \displaystyle\int_0^3(x-1)\,dx ∫ 0 3 ( x − 1 ) d x ∫ 0 2 x 2 d x = 2 3 3 − 1 \displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\dfrac{2^3}{3}-1 ∫ 0 2 x 2 d x = 3 2 3 − 1 ∫ 1 2 x d x = 2 − 1 \displaystyle\int_1^2 x\,dx=2-1 ∫ 1 2 x d x = 2 − 1 x x x 図で見る：面積・道のり・長方形の和 定積分が面積になるのは、数学だけの話ではありません。速さのグラフの下の面積は、進んだ道のり になります。
t（秒） v（m/秒） O
1 2 3
6
9
v＝2t
面積 ＝ 3 × 6 ÷ 2 ＝ 9
＝ 進んだ道のり 9m
速さ v＝2t のグラフの下の面積 9 は、3 秒間に進んだ 9m 実際、∫ 0 3 2 t d t = [ t 2 ] 0 3 = 9 \displaystyle\int_0^3 2t\,dt=\Bigl[t^2\Bigr]_0^3=9 ∫ 0 3 2 t d t = [ t 2 ] 0 3 = 9 v v v F ( 3 ) − F ( 0 ) F(3)-F(0) F ( 3 ) − F ( 0 )
曲線の下の面積は、細い長方形をたくさん並べて 近づけることもできます。
x y O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
長方形 5 本の和 ＝ 0.44
本当の面積 ＝ 1/3 ≒ 0.333
本数をふやすほど 1/3 に近づく
長方形をふやすほど、和は本当の面積 1/3 に近づく うかるくん
長方形の和は 0.44 なのに、どうして答えは 1 3 \dfrac13 3 1
合格先生
5 本だと、長方形が曲線からはみ出す分があるからだよ。幅を細くして本数をふやすと、はみ出しがどんどん小さくなって、和は 1 3 \dfrac13 3 1 区分求積法 として学ぶんだ。
この長方形の和の考え方と「F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F ( b ) − F ( a ) 微分積分学の基本定理 の中身です。数学Ⅱでは、そのあらわれとして d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) \dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x) d x d ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) x x x
定積分と面積のちがい 定積分は、x x x 上の部分をプラス、下の部分をマイナス として数えます。そのため、面積と一致しないことがあります。
x y O
1 3
−1/2
＋2
y＝x−1
定積分（0から3）＝ 2 − 1/2 ＝ 3/2
面積（色の部分の合計）＝ 2 ＋ 1/2 ＝ 5/2
定積分は 3/2、面積は 5/2。下の部分がマイナスとして数えられる 合格先生
x x x
面積を求めるときは、まずグラフが x x x を求めて区間を分け、x x x マイナスをつけて たします。2つの曲線ではさまれた面積なら、∫ a b { ( 上の式 ) − ( 下の式 ) } d x \displaystyle\int_a^b\{(\text{上の式})-(\text{下の式})\}\,dx ∫ a b {( 上の式 ) − ( 下の式 )} d x
テスト・入試ではこう出る 定積分は数学Ⅱ（微分・積分の考え）で、多項式の関数について習います。数学Ⅲでは、三角関数・指数関数・分数関数などの定積分、置換積分・部分積分、体積や曲線の長さへと広がります。定期テストや大学入試では、定積分の計算 、放物線と直線・x x x 、上端が x x x （微分して求める）がよく出ます。
例題1（計算）
∫ 0 2 ( 3 x 2 − 2 x + 1 ) d x \displaystyle\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 2 x + 1 ) d x
原始関数を求める：3 x 2 − 2 x + 1 3x^2-2x+1 3 x 2 − 2 x + 1 x 3 − x 2 + x x^3-x^2+x x 3 − x 2 + x 上の端 2 を代入：8 − 4 + 2 = 6 8-4+2=6 8 − 4 + 2 = 6 下の端 0 を代入：0 0 0 引き算：6 − 0 = 6 6-0=6 6 − 0 = 6 答え 6 （∫ 0 2 ( 3 x 2 − 2 x + 1 ) d x = [ x 3 − x 2 + x ] 0 2 = 6 \displaystyle\int_0^2(3x^2-2x+1)\,dx=\Bigl[x^3-x^2+x\Bigr]_0^2=6 ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 2 x + 1 ) d x = [ x 3 − x 2 + x ] 0 2 = 6
例題2（面積）
放物線 y = x 2 − 2 x y=x^2-2x y = x 2 − 2 x x x x S S S
x x x x 2 − 2 x = x ( x − 2 ) = 0 x^2-2x=x(x-2)=0 x 2 − 2 x = x ( x − 2 ) = 0 x = 0 , 2 x=0,\ 2 x = 0 , 2 0 ≤ x ≤ 2 0\le x\le2 0 ≤ x ≤ 2 x 2 − 2 x ≤ 0 x^2-2x\le0 x 2 − 2 x ≤ 0 x x x 下 ）。面積は、マイナスをつけて正にする：S = − ∫ 0 2 ( x 2 − 2 x ) d x = − [ x 3 3 − x 2 ] 0 2 = − ( 8 3 − 4 ) = 4 3 S=-\displaystyle\int_0^2(x^2-2x)\,dx=-\left[\dfrac{x^3}{3}-x^2\right]_0^2=-\left(\dfrac83-4\right)=\dfrac43 S = − ∫ 0 2 ( x 2 − 2 x ) d x = − [ 3 x 3 − x 2 ] 0 2 = − ( 3 8 − 4 ) = 3 4 答え 4 3 \dfrac43 3 4
なお、放物線と x x x ∫ α β ( x − α ) ( x − β ) d x = − ( β − α ) 3 6 \displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6} ∫ α β ( x − α ) ( x − β ) d x = − 6 ( β − α ) 3 2 3 6 = 4 3 \dfrac{2^3}{6}=\dfrac43 6 2 3 = 3 4
うかるくん
面積の問題は、まずグラフをかいて「どこが上か」を確かめる。これで符号ミスが防げる！
まちがえやすい点 合格先生
引く順番は F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F ( b ) − F ( a )
F ( a ) − F ( b ) F(a)-F(b) F ( a ) − F ( b ) b b b a a a 定積分＝面積と思いこむ ：∫ 0 3 ( x − 1 ) d x = 3 2 \displaystyle\int_0^3(x-1)\,dx=\frac32 ∫ 0 3 ( x − 1 ) d x = 2 3 5 2 \dfrac52 2 5 x x x 定積分に C C C ：C C C 下端が 0 のときの代入をはぶいて失敗する ：多項式なら F ( 0 ) = 0 F(0)=0 F ( 0 ) = 0 ∫ 0 1 ( x + 1 ) 2 d x \displaystyle\int_0^1(x+1)^2\,dx ∫ 0 1 ( x + 1 ) 2 d x [ ( x + 1 ) 3 3 ] 0 1 \left[\dfrac{(x+1)^3}{3}\right]_0^1 [ 3 ( x + 1 ) 3 ] 0 1 F ( 0 ) = 1 3 F(0)=\dfrac13 F ( 0 ) = 3 1 8 3 − 1 3 = 7 3 \dfrac83-\dfrac13=\dfrac73 3 8 − 3 1 = 3 7 符号つきの代入でミスをする ：下端が負の数のときは、F ( − 1 ) F(-1) F ( − 1 ) − ( − 4 3 ) -\left(-\dfrac43\right) − ( − 3 4 ) ことばと記号の由来 「定積分」の「定」は、積分する範囲が定まっている ことを表します。範囲を決めない積分（答えが関数になるもの）は「不定積分」です。記号 ∫ \displaystyle\int ∫
ミニ問題 問題1 ∫ 1 3 2 x d x \displaystyle\int_1^3 2x\,dx ∫ 1 3 2 x d x
答えと解き方を見る 8 です。[ x 2 ] 1 3 = 9 − 1 = 8 \Bigl[x^2\Bigr]_1^3=9-1=8 [ x 2 ] 1 3 = 9 − 1 = 8 y = 2 x y=2x y = 2 x ( 2 + 6 ) × 2 ÷ 2 = 8 (2+6)\times2\div2=8 ( 2 + 6 ) × 2 ÷ 2 = 8
問題2 ∫ 0 2 ( x 2 + 1 ) d x \displaystyle\int_0^2(x^2+1)\,dx ∫ 0 2 ( x 2 + 1 ) d x
答えと解き方を見る 14 3 \dfrac{14}{3} 3 14 [ x 3 3 + x ] 0 2 = 8 3 + 2 = 14 3 \left[\dfrac{x^3}{3}+x\right]_0^2=\dfrac83+2=\dfrac{14}3 [ 3 x 3 + x ] 0 2 = 3 8 + 2 = 3 14
問題3 ∫ − 1 2 ( x 2 − 2 x ) d x \displaystyle\int_{-1}^{2}(x^2-2x)\,dx ∫ − 1 2 ( x 2 − 2 x ) d x y = x 2 − 2 x y=x^2-2x y = x 2 − 2 x x x x x = − 1 x=-1 x = − 1 x = 2 x=2 x = 2
答えと解き方を見る 値は 0 です。F ( x ) = x 3 3 − x 2 F(x)=\dfrac{x^3}3-x^2 F ( x ) = 3 x 3 − x 2 F ( 2 ) = 8 3 − 4 = − 4 3 F(2)=\dfrac83-4=-\dfrac43 F ( 2 ) = 3 8 − 4 = − 3 4 F ( − 1 ) = − 1 3 − 1 = − 4 3 F(-1)=-\dfrac13-1=-\dfrac43 F ( − 1 ) = − 3 1 − 1 = − 3 4 F ( 2 ) − F ( − 1 ) = 0 F(2)-F(-1)=0 F ( 2 ) − F ( − 1 ) = 0
面積とはちがいます 。− 1 ≤ x ≤ 0 -1\le x\le0 − 1 ≤ x ≤ 0 x x x 4 3 \dfrac43 3 4 0 ≤ x ≤ 2 0\le x\le2 0 ≤ x ≤ 2 − 4 3 -\dfrac43 − 3 4 4 3 + 4 3 = 8 3 \dfrac43+\dfrac43=\dfrac83 3 4 + 3 4 = 3 8
関連する公式・用語 公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問 定積分とは何ですか？ 区間aからbまでと範囲を決めて行う積分です。原始関数F(x)を使って、F(b)−F(a)と計算します。
定積分で積分定数Cを書かないのはなぜですか？ F(b)＋C から F(a)＋C を引くと、Cが消えるからです。定積分の答えは1つの数になります。
定積分と面積は同じですか？ いつも同じではありません。定積分はx軸より下の部分をマイナスとして数えるので、下の部分があると面積より小さくなります。
上端と下端を入れかえるとどうなりますか？ 値の符号が変わります。aからbまでの定積分と、bからaまでの定積分は、絶対値が同じで符号が逆です。
不定積分と定積分のちがいは？ 不定積分は範囲を決めない積分で、答えはCのついた関数です。定積分は範囲を決めた積分で、答えは1つの数です。
定積分は何年生で習いますか？ 高校の数学Ⅱで多項式の定積分を習い、数学Ⅲでいろいろな関数の定積分に広げます。
出典・参考
文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅱ（微分・積分の考え）・数学Ⅲ（積分法） 最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
