不定積分とは？意味と公式・計算方法をわかりやすく【例題・問題つき】

大学受験

不定積分とは

微分すると $f(x)$ になる関数（原始関数）を求めること、またはその答え $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$ です。微分の逆の計算で、 $C$ は積分定数です。たとえば $\displaystyle\int2x\,dx=x^2+C$ 。

読み方：ふていせきぶん／英語：indefinite integral／習う学年：数学Ⅱ（微分・積分の考え）・数学Ⅲ（積分法）

うかるくん

積分って、面積を求める計算じゃないんですか？不定積分はどうちがうんですか？

合格先生

面積を求めるのは定積分だね。不定積分は「微分すると $f(x)$ になる関数」をさがす計算で、答えは数ではなく関数なんだ。定積分は、この不定積分を使って計算するよ。

この用語のポイント

不定積分＝ 微分の逆。 $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$ （ $F'(x)=f(x)$ ）
$\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ （肩を 1 ふやして、その数でわる）
答えには必ず $+C$ 。条件があれば $C$ を決める。微分してたしかめる

やさしく言うと

不定積分は、「微分すると $f(x)$ になる関数は何か？」を求めることです。微分の逆の計算といえます。

たし算とひき算：「3 をたすと 8 になる数は？」は、ひき算で 5 と求めます。同じように、「微分すると $2x$ になる関数は？」を求めるのが不定積分で、答えは $x^2$ です。
速さから位置へ：位置を微分すると速さになります。逆に、速さの式から位置の式を求めるのが積分です。ただし、出発点がわからないと位置は 1 つに決まりません。
坂の傾きから地形へ：どの場所でも「傾き」がわかっていても、地面全体を上下にずらした形はどれも同じ傾きです。高さの基準を決めて、はじめて 1 つに決まります。

この「出発点」「基準の高さ」にあたるのが積分定数 $C$ です。まとめると、不定積分は「微分の答えから、もとの関数を定数のちがいを残して求めること」です。

微分すると 2x になる関数は、x² に定数 C をたしたもの全部

微分すると $f(x)$ になる関数 $F(x)$ を、 $f(x)$ の原始関数といいます。 $F(x)$ が 1 つの原始関数なら、ほかの原始関数は $F(x)+C$ の形をしています。これをまとめて

\int f(x)\,dx=F(x)+C\qquad(C\ \text{は積分定数})

と書き、 $f(x)$ の不定積分といいます。記号 $\displaystyle\int$ は「インテグラル」と読み、 $dx$ は「 $x$ について積分する」という目印です。

サクラちゃん

微分すると 2x になるのは x² だけじゃなくて、x²＋1 も x²−5 もそう。だから＋C をつけるのね！

正しい不定積分と、まちがった不定積分

○ 正しい

$\displaystyle\int2x\,dx=x^2+C$
$\displaystyle\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}4+C$
$\displaystyle\int5\,dx=5x+C$
$\displaystyle\int(3x^2+2x)\,dx=x^3+x^2+C$
$\displaystyle\int(x+1)^2dx=\dfrac{(x+1)^3}3+C$ （展開して $\dfrac{x^3}3+x^2+x+C$ でも正解）
（数学Ⅲ） $\displaystyle\int\dfrac1x\,dx=\log|x|+C$

× まちがい

$\displaystyle\int2x\,dx=x^2$ （ $C$ がない）
$\displaystyle\int x^3\,dx=x^4+C$ （4 でわっていない）
$\displaystyle\int5\,dx=0$ （微分と取りちがえ）
$\displaystyle\int x\cdot x\,dx=\dfrac{x^2}2\cdot\dfrac{x^2}2+C$ （かけ算は分けられない）
$\displaystyle\int x^{-1}dx=\dfrac{x^0}0+C$ （ $n=-1$ に公式は使えない）

不定積分の答えは、微分してもとの関数にもどるかでいつでも確かめられます。答えを書いたら、頭の中で微分してみるくせをつけましょう。

図で見る

$\displaystyle\int2x\,dx=x^2+C$ の $C$ にいろいろな値を入れて、グラフをかいてみます。

C をかえると上下にずれるだけ。同じ x での傾きはどれも同じ

うかるくん

答えが 1 本に決まらないなんて、なんだかすっきりしません…

合格先生

「傾きが $2x$ 」という情報だけでは、上下の位置がわからないからね。でも「点 $(1,\ 3)$ を通る」のような条件が 1 つあれば、 $C$ が決まって 1 本にしぼれるよ。

点 $(1,\ 3)$ を通るなら、 $1^2+C=3$ より $C=2$ で、 $y=x^2+2$ です。このように、「1 点を通る」「 $x=0$ のときの値」などの条件から $C$ を決める問題がよく出ます。

もう 1 つ、もとの関数 $f(x)$ と原始関数 $F(x)$ のグラフの関係を見てみましょう。 $F'(x)=f(x)$ なので、 $f(x)$ が正のところで $F(x)$ は増加し、負のところで減少します。

f(x) の符号が、原始関数 F(x) の増減を決めている

基本の公式

数学Ⅱでは、次の公式を使って多項式の不定積分を求めます。

公式	例
$\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ （ $n=0,1,2,\ldots$ ）	$\displaystyle\int x^2\,dx=\dfrac{x^3}3+C$
$\displaystyle\int k\,dx=kx+C$ （ $k$ は定数）	$\displaystyle\int7\,dx=7x+C$
$\displaystyle\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$	$\displaystyle\int6x\,dx=6\cdot\dfrac{x^2}2=3x^2+C$
$\displaystyle\int\{f(x)\pm g(x)\}dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$	項ごとに分けて積分してよい

xⁿ の積分は「肩を 1 ふやして、その数でわる」。最後に＋C

数学Ⅲでは、 $n$ が負の数や分数のとき、さらに三角関数・指数関数・対数関数の不定積分も学びます。

関数（数学Ⅲ）	不定積分
$x^\alpha$ （ $\alpha\ne-1$ ）	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$
$\dfrac1x$	$\log\|x\|+C$
$e^x$	$e^x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$

$\displaystyle\int\sin x\,dx$ の答えにマイナスがつくのは、 $(\cos x)'=-\sin x$ だからです。ここでも「微分してもどるか」で確かめるとまちがえません。そのほか、置換積分・部分積分という方法も使います。

なお、不定積分は関数を求める計算で、区間を決めて数を求めるのが定積分です。定積分は不定積分（原始関数）を使って計算します。

テスト・入試ではこう出る

不定積分は高校の数学Ⅱ（微分・積分の考え）で習い、数学Ⅲでいろいろな関数に広げます。テストでは、多項式の不定積分の計算、条件から積分定数 $C$ を決める問題、接線の傾きから曲線の式を求める問題、定積分や面積の計算の途中の計算としてよく出ます。 $C$ の書き忘れは減点の対象になりやすいので注意しましょう。

例題1（計算）

不定積分 $\displaystyle\int(3x^2-4x+1)\,dx$ を求めなさい。

項ごとに分けて積分する： $\displaystyle\int3x^2\,dx-\int4x\,dx+\int1\,dx$
$\displaystyle\int3x^2\,dx=3\cdot\dfrac{x^3}3=x^3$ 、 $\displaystyle\int4x\,dx=4\cdot\dfrac{x^2}2=2x^2$ 、 $\displaystyle\int1\,dx=x$
まとめて、最後に積分定数 $C$ を 1 つだけつける。
たしかめ： $(x^3-2x^2+x+C)'=3x^2-4x+1$

答え　 $x^3-2x^2+x+C$ （ $C$ は積分定数）

例題2（条件から C を決める）

$F'(x)=6x-2$ 、 $F(1)=3$ を満たす関数 $F(x)$ を求めなさい。

$F(x)=\displaystyle\int(6x-2)\,dx=3x^2-2x+C$
$F(1)=3$ より、 $3\cdot1^2-2\cdot1+C=3$ 、つまり $1+C=3$ 。
$C=2$ 。

答え　 $F(x)=3x^2-2x+2$ （たしかめ： $F'(x)=6x-2$ 、 $F(1)=3-2+2=3$ ）

うかるくん

答えを出したら、すぐに微分してたしかめる。これでミスがぐっとへるぞ！

まちがえやすい点

合格先生

不定積分の答えには、必ず $+C$ （ $C$ は積分定数）をつけよう！

積分定数 $C$ を書き忘れる：不定積分の答えには必ず「 $+C$ （ $C$ は積分定数）」をつけます。項ごとに $C_1$ , $C_2$ をつける必要はなく、最後に 1 つにまとめます。
$n+1$ でわるのを忘れる： $\displaystyle\int x^3\,dx$ を $x^4+C$ とするまちがいです。微分すると $4x^3$ になってしまいます。正しくは $\dfrac{x^4}4+C$ 。
かけ算をそのまま分けて積分する： $\displaystyle\int(x+1)(x-3)\,dx$ は、 $\displaystyle\int(x+1)\,dx\times\int(x-3)\,dx$ ではありません。展開してから積分します。たし算・ひき算は分けられますが、かけ算・わり算は分けられません。
答えの形がちがうと、まちがいだと思う： $\displaystyle\int(x+1)^2dx$ は $\dfrac{(x+1)^3}3+C$ でも $\dfrac{x^3}3+x^2+x+C$ でも正解です。2 つの差は定数 $\dfrac13$ だけで、その差は $C$ にふくまれます。
$\dfrac1x$ に $x^n$ の公式を使う： $n=-1$ だと $n+1=0$ でわることになります。 $\dfrac1x$ の不定積分は $\log|x|+C$ （数学Ⅲ）です。

ことばの由来

不定は「定まらない」という意味で、積分定数 $C$ がどんな値でもよく、答えが 1 つに定まらないことを表しています。区間を決めて値が定まる定積分と対になる言葉です。記号 $\displaystyle\int$ は、「和」を意味するラテン語 summa の頭文字 S を縦にのばした形からできたとされ、ライプニッツが使い始めました。英語では indefinite integral（インデフィニットインテグラル）といいます。

ミニ問題

問題1　不定積分 $\displaystyle\int(x+1)(x-3)\,dx$ を求めましょう。

答えと解き方を見る

$\dfrac{x^3}3-x^2-3x+C$ （ $C$ は積分定数）です。かけ算のままでは積分できないので、まず展開します。 $(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$ 。1 つずつ積分して $\dfrac{x^3}3-2\cdot\dfrac{x^2}2-3x+C=\dfrac{x^3}3-x^2-3x+C$ 。 $\displaystyle\int(x+1)\,dx\times\int(x-3)\,dx$ のように、別々に積分してかけるのはまちがいです。

問題2　曲線 $y=F(x)$ の上の点 $(x,\ y)$ における接線の傾きが $3x^2$ で、この曲線は点 $(1,\ 0)$ を通ります。 $F(x)$ を求めましょう。

答えと解き方を見る

$F(x)=x^3-1$ です。

接線の傾きは $F'(x)$ なので、 $F'(x)=3x^2$ 。
不定積分して $F(x)=\displaystyle\int3x^2\,dx=x^3+C$ 。
点 $(1,\ 0)$ を通るので $F(1)=1+C=0$ 、 $C=-1$ 。

問題3　（数学Ⅲ）不定積分 $\displaystyle\int(2x+1)^3\,dx$ を求めましょう。

答えと解き方を見る

$\dfrac{(2x+1)^4}8+C$ です。 $\dfrac{(2x+1)^4}4$ を微分すると、合成関数の微分で中身の微分 2 がかかり、 $2(2x+1)^3$ になってしまいます。そこで、さらに 2 でわって $\dfrac{(2x+1)^4}{8}$ 。たしかめ： $\left(\dfrac{(2x+1)^4}8\right)'=\dfrac{4(2x+1)^3\times2}8=(2x+1)^3$ 。展開してから積分しても正解です（定数項だけがちがう形になります）。

よくある質問

不定積分とは簡単にいうと何ですか？

微分するとその関数になるような関数を求める計算です。微分の逆の計算で、答えには積分定数Cをつけます。

不定積分と定積分のちがいは？

不定積分は答えが関数（＋C）になり、定積分は区間を決めて計算するので答えが数になります。定積分は不定積分を使って計算します。

なぜ＋Cをつけるのですか？

定数は微分すると0になるので、微分してf(x)になる関数は、定数のちがうものがたくさんあるからです。それらをまとめてCで表します。

xⁿの不定積分の公式は？

xのn乗の不定積分は、xの(n＋1)乗を(n＋1)でわって＋Cをつけたものです。nが−1のときは使えません。

不定積分の答えが合っているか確かめる方法は？

答えを微分して、もとの関数にもどるかを確かめます。

不定積分は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅱで多項式の不定積分を習い、数学Ⅲで三角関数・指数関数・対数関数などの不定積分を習います。

出典・参考

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学Ⅱ（微分・積分の考え）
文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学Ⅲ（積分法）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦

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