劉徽は何をした人？業績・生涯・名言をわかりやすく｜割円術・円周率3.14・海島算経・九章算術注

劉徽は何をした人？（業績をひとことで）

劉徽（りゅうき、Liu Hui）は、3世紀なかばごろ、中国の魏（三国時代）で活やくした数学者です。生まれた年と亡くなった年ははっきりせず、220年ごろ〜280年ごろと考えられています。劉徽の名を高めたのは、中国最古の数学書『九章算術』に注釈（説明と証明）を書いたことです。『九章算術』は「こうやって計算しなさい」という手順を並べた本でしたが、劉徽は「なぜその計算で正しいのか」を一つずつ説明しました。

とくに有名なのが、円に内接する正六角形から始めて、辺の数を2倍・2倍にふやしていき、円周率を求める割円術（かつえんじゅつ）です。劉徽は96角形まで進めて約3.14、のちに3072角形まで進めて約3.14159を得たと伝えられます。さらに『九章算術』注の最後にそえた測量の問題は、のちに『海島算経』として独立した本になりました。島の高さや遠くの谷の深さを、相似の考え方で測る方法が書かれています。

受験生にとっての劉徽は、「円の面積の公式を図で説明する人」「円周率を正多角形で求める人」「三平方の定理（勾股定理）と相似で長さを測る人」です。小学校で習う円の面積と円周の長さの公式や、中学の三平方の定理の証明と使い方、高校の円周率とはの話題の先に、劉徽の工夫があります。

うかるくん

円周率って、ただ3.14って覚えるだけじゃだめなんですか？

合格先生

もちろん覚えるのも大事。でも、「3.14はどうやって求めたの？」に答えられた人が、約1700年前の中国にいたんだ。それが劉徽だよ。電卓もない時代に、正多角形の辺の長さを何度も計算して、円周率に近づいたんだ。

劉徽の生涯と年表

くわしいことは分かっていない

劉徽について、はっきり分かっていることはほとんどありません。生まれた場所も、どんな仕事をしていたのかも、ほかの本にはほとんど書かれていないのです。分かっているのは、魏の人であったことと、自分で書いた注釈が残っていることだけです。数学の歴史を調べる人たちは、劉徽の人生を「本人が残した本から読みとる」しかありません。

注釈を書いた年も、劉徽自身は書いていません。のちの資料には263年に書かれたという記録があり、この年が劉徽の活やくした時期の目安になっています。263年は、魏が蜀を滅ぼした年にあたります。三国時代の中国は戦乱の世でしたが、そのなかでも数学の研究はつづいていました。

『九章算術』とは、どんな本か

『九章算術』は、紀元前後ごろまでに少しずつまとめられたと考えられている中国の数学書で、成立の時期やまとめた人には諸説あります。全9章に、役人が土地・税・穀物・工事・測量で使う246ほどの問題と、その解き方がのっています。章の名前はつぎのとおりです。

• 方田：田畑の面積と分数の計算　粟米：穀物の交換（比）　衰分：比例配分　少広：面積から辺を求める（平方根・立方根）
• 商功：土木工事の体積　均輸：運ぶ量の割りふり　盈不足：あまりと不足から答えを求める　方程：連立方程式　勾股：直角三角形（三平方の定理）

劉徽は、これらの手順に「なぜそうなるのか」を足していきました。注を読むと、劉徽が図形を切って動かしたり、同じものを2通りに数えたりして、計算の理由を説明していることが分かります。

測量の章が『海島算経』に

劉徽は、勾股の章に、直接測れない高さや距離を測る「重差」という方法をつけ加えました。この部分は、のちに独立した本『海島算経』として伝わっています（唐の時代に注釈がつけられたとされます）。9つの問題が収められ、第1問は海の向こうの島の高さを求める問題です。

劉徽の主な業績をやさしく解説

劉徽の名前がつく公式・定理・用語

劉徽の名前がそのままつく公式は、中学・高校の教科書にはほとんどありません。ただし、数学の歴史ではつぎのようによばれます。

• 割円術：円に内接する正多角形で円周率を求める方法。→ 円周率の意味と近似
• 徽率（きりつ）：劉徽が求めた円周率の近似値。3.14（$\frac{157}{50}$）をさす。
• 祖暅の原理：同じ高さの切り口の面積がいつも等しい2つの立体は、体積も等しいという考え方。西洋の「カヴァリエリの原理」にあたり、中国では祖沖之の子の祖暅の名でよばれます。劉徽が立体を切って組みなおして体積を比べた仕事が、その土台になったとされます。
• 牟合方蓋（ぼうごうほうがい）：球の体積を調べるために劉徽が考えた立体。立方体の中で、たて・よこの2本の円柱が交わる部分の形。球の体積を直接求めたのは、のちの祖暅。→ 球の体積・表面積の公式
• 重差術：2回の測量で、直接測れない高さ・距離を求める方法。『海島算経』のもと。
• 出入相補（しゅつにゅうそうほ）：図形の一部を切って別の場所に移して、面積が変わらないことを使う考え方。勾股定理の証明にも使われた。

合格先生

劉徽の仕事で一番大切なのは、答えだけでなく「理由」を書いたことだよ。答案でも、答えより「なぜそうなるか」を書ける人が高い点をとれるんだ。

劉徽の逸話と名言

「割りてまた割り……」

劉徽が割円術について書いた文章のなかに、極限の考え方をそのまま言葉にしたような一節があります。

割之彌細、所失彌少。割之又割、以至於不可割、則與圓周合體而無所失矣。

日本語にするとおよそつぎのような意味になります。「割れば割るほど細かくなり、はみ出す部分（失うところ）は少なくなる。割って、さらに割って、もう割れないところまで行けば、多角形は円とぴったり重なって、失うところはなくなる」。数学の言葉で言うと、辺の数を限りなくふやすと多角形は円に一致するという意味で、極限の意味と考え方です。高校の数学IIIで習う「限りなく近づく」という言葉を、劉徽は1700年前に自分の言葉で書いていたことになります。ただし、現代の数学のように「極限」という厳密な定義があったわけではなく、図形の直感にもとづく説明だった点には注意が必要です。それでも、「細かくするほど誤差は小さくなり、最後には消える」と言い切った点に、劉徽の数学者としての鋭さがあらわれています。

球の体積は「あとの人に任せた」

劉徽は、球の体積を求めようとしました。そのために考えたのが、牟合方蓋という不思議な立体です。球の体積とこの立体の体積の比がわかれば、球の体積が求まります。しかし劉徽は、牟合方蓋そのものの体積を求めることができず、「あとの人にゆずる」といった趣旨の言葉で注を結んだとされます。のちに、祖沖之の子の祖暅が、この問題を解いたと伝えられます。解けなかった問題をはっきり書いて次の人に託した姿勢は、数学者としての誠実さを感じさせます。

名前しか残らなかった数学者

劉徽は、同じ時代の歴史書にほとんど名前が出てきません。数学者が、ほとんど注釈だけで名前を後世に残した、まれな例です。伝記が残っていない分、数学そのものが劉徽の「人柄」を語っています。注の文章からは、前の人の誤りを見つけたら静かに直すという態度や、できないことは「できない」と書く態度が読みとれるとされます。こうした人物像は、注の文章からの推測で、実際のことは分かっていません。

サクラちゃん

電卓もなしで、辺の数を何回も2倍にして計算するなんて、すごい根気ですね……！

合格先生

そうだね。しかも平方根を何度も手計算で出したはずだよ。地道な計算を続ける力も、数学の大切な力なんだ。受験の計算ミスを減らすコツは、途中式を丁寧に書くことだよ。

受験・勉強と劉徽のつながり

中学受験：円の面積・立体の体積・植木算のような規則性

小学校の算数で、円の面積の公式を習うとき、先生が円を扇形に切って長方形にならべかえる図を見せてくれます。これが劉徽の説明そのものです。中学受験では、「円の面積を、切ってならべかえで説明しなさい」という問題や、円とおうぎ形の面積を図形の移動で求める問題が出ます。円の面積と円周の公式の使い分けをしっかり押さえましょう。また、三角すいの体積が「底面積×高さ÷3」になる理由は、中学受験でも立体の切断・組みかえとして出ます。

高校受験：三平方の定理・相似・連立方程式

高校受験では、三平方の定理と相似を組みあわせた問題が毎年出ます。遠くの建物の高さを、影の長さや目の高さから求める問題は、『海島算経』の考え方と同じです。連立方程式を加減法・代入法で解く方法も、劉徽の消去法と同じ仕組みです。

大学受験：円周率の評価・極限・区分求積

大学入試では「円周率が3.05より大きいことを示せ」のような円周率の評価の問題が出ます（東京大学で出題されたことで有名です）。正十二角形などの周や面積と、円周や面積を比べて不等式で示す、まさに劉徽の割円術の発想を使う問題です。数学IIIの区分求積法（細かく切って足して極限をとる）も、劉徽の「割りてまた割り」の考え方を式にしたものです。京都大学・東京大学の難問は、京大理系数学の出題分析（図形と極限の出方）を見ると傾向がつかめます。

勉強法として：「なぜ？」を図で説明するくせ

劉徽の最大の教えは、公式を暗記して終わりにしないことです。①公式を使って答えを出す、②その公式が正しい理由を図でかいてみる、③ほかの問題にも使えるか考える、という3段階で勉強すると、忘れにくく応用もききます。公式の理由は、算数・数学の公式一覧（公式辞典）で確かめられます。勉強の進め方全般は、数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）も読んでください。円周率の記号 $\pi$ の読み方は、ギリシャ文字の読み方一覧（π＝パイ）にまとめてあります。

劉徽がその後の数学にあたえた影響

劉徽の注釈は、中国の数学の「お手本」になりました。

• 円周率の研究：割円術を受けついだ祖沖之の円周率の研究は、小数第7位まで正しい値を出しました。
• 体積の研究：祖沖之の子・祖暅が、劉徽が残した宿題（球の体積）を解きました。
• 測量術：『海島算経』は、唐代の測量の教科書として長く読まれ、日本にも伝わりました。江戸時代の和算家の関孝和の和算も、中国の数学書を学んでいます。
• 証明の文化：「なぜそうなるのか」を説明する姿勢は、ユークリッド『原論』の証明と同じ方向をむいた、東アジアでの貴重な例です。
• 日本の和算：江戸時代の日本では、『九章算術』をもとにした中国の数学書が学ばれ、和算の発展につながりました。

なお、劉徽の本は長い間ほとんど読まれなくなった時期もありましたが、清の時代の学者たちが注釈を読みなおし、劉徽の仕事の価値が改めて評価されました。

劉徽に挑戦！練習問題

劉徽と関係する数学者

• 祖沖之（劉徽の円周率を引きついだ人）：割円術を24576角形まで進めて、円周率を小数第7位まで求めたと伝えられます。
• アルキメデス（円周率を96角形ではさんだ人）：西洋で似た方法を、同じく96角形まで進めました。
• ユークリッド（証明を重んじた人）：『原論』は図形の証明で名高く、劉徽の注と対比されます。
• タレス（影で高さを測った人）：相似を使った測量の先ぶれで、『海島算経』と同じ発想です。
• ガウス（消去法の名前になった人）：連立方程式の消去法は、中国の方程の章が先に使っていました。
• 関孝和（江戸の和算家）：中国の数学書を学んで、日本独自の数学を築きました。

数学で使う記号の読み方は数学でよく使う記号の意味一覧もどうぞ。

古代の数学者

• タレスの業績と生涯
  「半円に対する円周角は直角」（タレスの定理）。証明を数学に持ちこんだ最初の人とされる
• ピタゴラスの業績と生涯
  三平方の定理（ピタゴラスの定理）。「万物は数である」の教団を開いた
• ユークリッドの業績と生涯
  『原論』で幾何学を体系にまとめた。ユークリッドの互除法・素数が無限にあることの証明
• アルキメデスの業績と生涯
  円周率を3.14まで求め、球の体積と表面積を発見。てこ・浮力の原理
• エラトステネスの業績と生涯
  素数を見つける「エラトステネスのふるい」。地球の大きさを測った
• アポロニウスの業績と生涯
  『円錐曲線論』。楕円・放物線・双曲線の名前をつけた
• ヘロンの業績と生涯
  3辺の長さから三角形の面積を出す「ヘロンの公式」
• プトレマイオスの業績と生涯
  『アルマゲスト』。円に内接する四角形の「トレミーの定理」
• ディオファントスの業績と生涯
  『算術』。整数の解を求める方程式（ディオファントス方程式）。「代数の父」
• パップスの業績と生涯
  中線定理・パップス＝ギュルダンの定理。ギリシャ数学をまとめた
• ヒュパティアの業績と生涯
  記録に残る最初期の女性数学者。円錐曲線論などを注釈して教えた
• 祖沖之の業績と生涯
  円周率を3.1415926〜3.1415927の間と求め、355/113（密率）を示した

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