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連立方程式とは
2 つ以上の方程式を組にして、すべてを同時に満たす文字の値の組を求めるものです。 と を同時に満たすのは で、これが解です。解き方には加減法と代入法があります。
うかるくん
文字が 2 つあると、どこから手をつければいいかわかりません…
合格先生
まずどちらか 1 つの文字を消すんだ。式をたしたりひいたり（加減法）、一方を他方に入れたり（代入法）すると、ふつうの一次方程式になるよ。
この用語のポイント
- わからない数が 2 つなら、式も 2 つそろえて、同時に満たす組を求める
- 解き方は加減法（たす・ひく）と代入法（入れる）。どちらも 1 文字を消す
- 解は2 直線の交点。解は「」と組で答える
やさしく言うと
連立方程式は、2 つ以上の方程式を組にして、どれも同時に成り立つ文字の値を求めるものです。わからない数が 2 つあるとき、ヒントも 2 つそろえると、答えが 1 つに決まります。
- 買い物：「りんご 1 こ＋みかん 1 こで 150 円」「りんご 1 こ＋みかん 3 こで 250 円」。1 つ目だけでは、りんごとみかんのねだんは決まりません。2 つの情報をくらべると、みかん 2 こで 100 円とわかり、どちらのねだんも決まります。
- 入場料：大人と子どもあわせて 9 人で、料金の合計が 4600 円。人数と料金の 2 つの式から、大人と子どもの人数がわかります。
- つるかめ算：つるとかめがあわせて 10、足があわせて 32 本。中学受験の「つるかめ算」は、連立方程式で解ける問題の代表です。
まとめると、連立方程式は「わからない数の数だけ、条件の式を用意して、全部を同時に満たす答えをさがす」方法です。
うかるくん
わからないものが 2 つなら、式も 2 つ。2 つをくらべれば答えが出るんだ！
連立方程式の例と、そうでないもの
○ 連立方程式（解が 1 組に決まるもの）
- （解は ）
- （一方が「」の形）
- （つるかめ算）
- （文字が 3 つなら式も 3 つ）
- かつ （「かつ」で書いても同じ）
× うまくいかない例・まちがい
- だけ（式が 1 つでは、解は無数にある）
- （2 つ目は 1 つ目の 2 倍で、実は同じ式）
- だけを答える（ も求めて組で答える）
- （同時には成り立たない。解なし）
連立方程式の解は、「」のように、すべての文字の値の組です。 だけ求めて終わりにしないようにしましょう。
図で見る
を満たす の組はたくさんあり、グラフにすると直線になります。 も直線です。2 つの式を同時に満たす点は、2 本の直線の交点だけです。
サクラちゃん
連立方程式を解くことと、グラフの交点を求めることは、同じことなんですか？
合格先生
そうだよ。直線の上の点は、その式を満たす の組だった。だから両方の直線にのっている交点が、両方の式を満たす組、つまり解なんだ。高校入試の関数の問題でも、交点は連立方程式で求めるよ。
加減法
加減法は、2 つの式をたしたりひいたりして、1 つの文字を消す方法です。
- 消したい文字の係数を、式を何倍かしてそろえる（絶対値を同じにする）。
- 符号が反対ならたし、同じならひいて、その文字を消す。
- 残った 1 文字の方程式を解き、もとの式に代入して、もう 1 つの文字を求める。
たとえば と をたすと、 が消えて 、。これを に入れて です。上の買い物の図で「B − A」をしたのも、加減法と同じ考え方です。
代入法
代入法は、一方の式を「」（または「」）の形にして、もう一方の式に入れて文字を消す方法です。
| 加減法 | 代入法 | |
|---|---|---|
| やり方 | 式どうしをたす・ひく | 一方の式を他方に入れる |
| 向いている式 | のように、文字が左辺にそろっている | のように、もう「」の形になっている |
| 注意 | ひくとき、すべての項の符号に気をつける | 入れるときは、かっこをつける |
どちらで解いても、答えは同じです。式の形を見て、楽なほうを選びます。
サクラちゃん
「y＝」の形なら代入法、係数をそろえやすいなら加減法。使い分けがコツね！
解が 1 組にならないとき
2 本の直線の位置関係によって、解の個数は 3 通りあります。
と は平行な直線なので、同時に成り立つ組はありません。 と は同じ直線なので、解は無数にあります。中学の問題ではほとんどが 1 組ですが、「なぜ 1 組に決まるのか」をグラフで知っておくと、高校の数学につながります。
つるかめ算とのつながり
中学受験で学ぶつるかめ算は、連立方程式を、式を使わずに図で解く方法です。「全部つるだったら」と考えて、足りない足の数から、かめの数を出します。
連立方程式で解くと、 を 2 倍して 、これを からひくと 、。図で「32 − 20 ＝ 12」とした計算と、まったく同じことをしているのがわかります。
テスト・入試ではこう出る
連立方程式は中学 2 年で習います（2 つの文字をふくむ一次方程式の組）。高校入試では、計算問題として加減法・代入法で解く問題と、文章題（個数と代金、速さ・道のり・時間、割合、食塩水など）がよく出ます。文章題は、「何を 、 にするか」をはっきり決めて、わからない数の数だけ式を作るのがポイントです。高校では、一次式と二次式の連立方程式も解きます。
例題1（加減法）
連立方程式 を解きなさい。
- 2 つの式で、 の係数が と になっている。たすと が消える：
- 、
- を下の式に代入：、、
答え （たしかめ：、）
例題2（文章題）
美術館の入館料は、大人 1 人 600 円、子ども 1 人 400 円です。大人と子どもあわせて 9 人で入館したら、入館料の合計は 4600 円でした。大人と子どもはそれぞれ何人ですか。
- 大人を 人、子どもを 人とする。人数の式：
- 料金の式：。100 でわって
- 1 つ目の式から 。これを代入：、、
答え 大人 5 人、子ども 4 人（たしかめ： 円）
まちがえやすい点
合格先生
代入するときはかっこごと入れる。ひくときはすべての項の符号に注意！
- ひき算で符号をまちがえる： を とするのは×。かっこの中のすべての項の符号が変わるので、 です。
- 代入のときにかっこをつけない： に を入れて とするのは×。 と、かっこごと入れて です。
- 何倍かするとき、一部の項だけかける： を 2 倍して とするのは×。右辺にもかけて です。
- 片方の文字だけで終わる： を求めたら、必ず代入して も求め、「」と組で答えます。
- 文章題で、文字の意味と答えがずれる：「 を大人の人数」と決めたのに、答えで子どもの人数として書いてしまうミスです。はじめに文字の意味を書いておき、最後に問題の数字でたしかめましょう。
ことばの由来・歴史
連立は、「連なって（ならんで）立つ」という意味です。いくつかの方程式が同時にならび立っている、というイメージです。英語では simultaneous equations（サイマルテイニアス：「同時の」）や、system of equations（方程式の組）といいます。
中国の古い数学書『九章算術』には、「方程」という章があり、いくつかの条件から複数のわからない数を求める問題を、算木（計算用の棒）をならべて解いていました。日本語の「方程式」という言葉は、この「方程」から来ています。
ミニ問題
問題1 連立方程式 を解きましょう。
答えと解き方を見る
です。上の式がもう「」の形なので、代入法が便利です。下の式の に を入れると、、、。。たしかめ： で成り立ちます。
問題2 連立方程式 を解きましょう。
答えと解き方を見る
です。
- の係数をそろえる：上の式を 2 倍して 、下の式を 3 倍して
- たす（加減法）：、
- 上の式に代入：、
たしかめ： で、下の式も成り立ちます。
問題3 1 本 80 円のえんぴつと 1 本 120 円のペンを、あわせて 10 本買ったら、代金は 1000 円でした。それぞれ何本買いましたか。
答えと解き方を見る
えんぴつ 5 本、ペン 5 本です。
- えんぴつを 本、ペンを 本とすると、、
- 2 つ目の式を 40 でわる：
- 1 つ目の式を 2 倍してひく： より
たしかめ： 円。
関連する公式・用語
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あわせて覚えたい用語
よくある質問
連立方程式とは何ですか？
2つ以上の方程式を組にして、どれも同時に成り立つ文字の値の組を求めるものです。x＋y＝5とx−y＝1の解はx＝3、y＝2です。
加減法と代入法のちがいは？
加減法は2つの式をたしたりひいたりして文字を消す方法、代入法は一方の式をもう一方の式に入れて文字を消す方法です。答えはどちらでも同じです。
加減法と代入法はどちらを使えばいいですか？
一方の式がy＝…の形なら代入法、文字が左辺にそろっていて係数をそろえやすいなら加減法が便利です。
連立方程式の解とグラフの関係は？
2つの一次方程式のグラフはそれぞれ直線になり、その交点の座標が連立方程式の解です。
解がない連立方程式はありますか？
あります。x＋y＝5とx＋y＝7のように2本の直線が平行なときは、同時に成り立つ組がないので解はありません。
連立方程式は何年生で習いますか？
中学2年で習います。高校入試では計算問題と文章題でよく出ます。
出典・参考
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第2学年 A 数と式（連立二元一次方程式）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
