因数分解とは？意味と順番をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

因数分解とは？意味と順番をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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因数分解とは

式を、いくつかの式のかけ算の形に表すことです。たとえば x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2+5x+6=(x+2)(x+3)。かけ算をほどく展開の反対の操作です。

読み方：いんすうぶんかい／英語：factorization／習う学年：中学3年（式の展開と因数分解）、数学Ⅰ（数と式）

うかるくん

うかるくん

因数分解って、結局なにをしているんですか？ 公式を覚えるだけで精いっぱいで…

合格先生

合格先生

12 を 2×2×3 に分けるのと同じで、式をかけ算の形に分けているんだ。面積の式を「たて×横」に直す、と考えるとイメージしやすいよ。

この用語のポイント

  • 因数分解 ＝ 式をかけ算の形に分けること（展開の反対）
  • まず共通因数でくくる→公式→まだ分けられないか見直す
  • 答えは展開して元に戻るかで確かめられる

やさしく言うと

因数分解は、式を「かけ算の形」に分けることです。身近なたとえで考えてみましょう。

  • お菓子の箱づめ：クッキーが 12 枚あります。「3 枚ずつ 4 ふくろ」と言いかえると、12=3×412=3\times4 というかけ算の形になります。ばらばらの数を「何個ずつ・何組」にまとめるのが分解です。
  • タイルの並べかえ：大きいタイル、細長いタイル、小さいタイルを並べて、ぴったり長方形を作ると、全体は「たて×横」で表せます。下の図がこれです。
  • 整数の素因数分解：12 を 2×2×32\times2\times3 に分ける素因数分解の、式バージョンが因数分解です。

面積が x2+5x+6x^2+5x+6 の長方形を考えます。この長方形は、たて x+2x+2、横 x+3x+3 に並べられます。つまり「面積の式」を「たて×横」に直すのが因数分解です。

x² 3x 2x 6（1×1が6個） x3 x2 横 ＝ x＋3 たて＝ x＋2 x²＋5x＋6 ＝ (x＋2)(x＋3)
面積 x²＋5x＋6 の長方形は、たて x＋2、横 x＋3

かけ算の形に分けたときの1つ1つの式（x+2x+2 や x+3x+3）を因数といいます。まとめると、たし算・ひき算でつながった式を、因数のかけ算に書き直すことが因数分解です。

因数分解の例

○ 因数分解できている

  • x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2+5x+6=(x+2)(x+3)（かけて 6、たして 5）
  • x2−9=(x+3)(x−3)x^2-9=(x+3)(x-3)（a2−b2a^2-b^2 の形）
  • x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9=(x+3)^2（同じ因数が2つ）
  • 2x2+4x=2x(x+2)2x^2+4x=2x(x+2)（共通因数 2x2x でくくる）
  • 2x2−8=2(x+2)(x−2)2x^2-8=2(x+2)(x-2)（くくってから公式）
  • ax+ay=a(x+y)ax+ay=a(x+y)（文字でくくってもよい）

× 因数分解になっていない・まちがい

  • x2+5x+6=x(x+5)+6x^2+5x+6=x(x+5)+6（最後に +6+6 が残り、全体がかけ算になっていない）
  • 2x2−8=2(x2−4)2x^2-8=2(x^2-4)（まだ途中。2(x+2)(x−2)2(x+2)(x-2) まで分ける）
  • (x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+2)(x+3)=x^2+5x+6（これは反対の「展開」）
  • x2+9=(x+3)(x−3)x^2+9=(x+3)(x-3)（展開すると x2−9x^2-9。符号がちがう）
  • x2−x−6=(x−2)(x+3)x^2-x-6=(x-2)(x+3)（展開すると x2+x−6x^2+x-6）
  • 4x2−1=(4x+1)(4x−1)4x^2-1=(4x+1)(4x-1)（正しくは (2x+1)(2x−1)(2x+1)(2x-1)）

因数分解の答えは、式全体が1つのかけ算になっている必要があります。一部だけかけ算にしても、因数分解ではありません。また、右の列の下の3つは、展開すると元の式に戻らないので×です。

図で見る

因数分解と展開は、行きと帰りの関係です。整数の素因数分解と並べると、つながりがよくわかります。

整数 122×2×3 素因数分解 式 x²＋5x＋6(x＋2)(x＋3) 因数分解 展開 因数分解 ＝ 式を「かけ算の形」に分けること 展開 ＝ かけ算をほどいて「たし算の形」に戻すこと
素因数分解・因数分解・展開の関係

行きと帰りの関係なので、因数分解した答えは、展開すると元に戻るかで確かめられます。

ひらめいたうかるくん

うかるくん

因数分解できたら、展開して元の式に戻るか確かめればいいんだ！

a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b) も、面積で見るとなっとくできます。1辺 aa の正方形から1辺 bb の正方形を切り取ったL字形は、青い部分を横にたおし、緑の部分をとなりに並べると、横 a+ba+b、たて a−ba-b の長方形になります。

b² a − bb a a² − b²（L字形） 並べかえる a ＋ b a − b (a＋b)(a−b) a² − b² ＝ (a ＋ b)(a − b)
正方形から小さい正方形を切り取った面積 a²−b² は、並べかえると (a＋b)(a−b) の長方形になる

因数分解の順番

どの式でも、次の順番で考えるとうまくいきます。

  1. 共通因数でくくる：どの項にもある文字や数を前に出す（3x2−6x=3x(x−2)3x^2-6x=3x(x-2)）。
  2. 公式を使う：下の表の形にならないか見る。
  3. まだ分けられないか見直す：くくった後の式も、さらに分けられることがあります。
公式例
a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)x2−25=(x+5)(x−5)x^2-25=(x+5)(x-5)
a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2x2+8x+16=(x+4)2x^2+8x+16=(x+4)^2
a2−2ab+b2=(a−b)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2x2−10x+25=(x−5)2x^2-10x+25=(x-5)^2
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2−x−6=(x+2)(x−3)x^2-x-6=(x+2)(x-3)

いちばんよく使うのは、最後の x2+(a+b)x+abx^2+(a+b)x+ab の形です。かけて定数項、たして xx の係数になる2つの数をさがします。かけ算の組から先に書き出すと、もれなく調べられます。

x² − x − 6 を分ける かけて −6、たして −1 になる2つの数は？ 2つの数かけるとたすと1 と −6−6−5−1 と 6−652 と −3−6−1◎−2 と 3−61 x² − x − 6 ＝ (x ＋ 2)(x − 3) かけ算の組から先にさがすと、もれなく調べられる
かけて −6 になる組を全部書き、たして −1 になるものを選ぶ

高校の数学Ⅰでは、2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)2x^2+5x+3=(x+1)(2x+3) のような「たすきがけ」も使います。公式の使い方と練習は、公式辞典の乗法公式と因数分解の公式にくわしくまとめています。

何の役に立つの？

いちばん大きな使い道は、方程式を解くことです。x2+5x+6=0x^2+5x+6=0 は、(x+2)(x+3)=0(x+2)(x+3)=0 と分ければ、「かけて0になるのは、どちらかが0のとき」なので x=−2, −3x=-2,\ -3 とすぐ求まります。

ほかにも、計算のくふうに使えます。たとえば 512−49251^2-49^2 は、a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b) を使うと (51+49)(51−49)=100×2=200(51+49)(51-49)=100\times2=200 と暗算できます。また、整数の問題で「n2+n=n(n+1)n^2+n=n(n+1) は連続する2つの整数の積だから偶数」のように、性質を説明するときにも使います。

なお、「どこまで分けるか」は数の範囲で変わります。ふつうは係数が有理数（分数）の範囲で考えるので、x2−2x^2-2 はこれ以上分けません。実数の範囲まで広げると (x+2)(x−2)(x+\sqrt2)(x-\sqrt2) と分けられます。

テスト・入試ではこう出る

因数分解は中学3年で習い、高校入試の計算問題でほぼ毎年出ます。共通因数でくくってから公式を使う問題、2次方程式を因数分解で解く問題がよく出ます。高校の数学Ⅰでは、たすきがけや、文字が2つ以上ある式、おきかえを使う式など、むずかしい形も出てきます。

例題1（共通因数→公式）

3x2−12x+123x^2-12x+12 を因数分解しなさい。

  1. どの項も 3 でわれるので、共通因数 3 でくくる：3x2−12x+12=3(x2−4x+4)3x^2-12x+12=3(x^2-4x+4)
  2. かっこの中は a2−2ab+b2a^2-2ab+b^2 の形（x2−2×x×2+22x^2-2\times x\times2+2^2）なので、x2−4x+4=(x−2)2x^2-4x+4=(x-2)^2
  3. 展開してたしかめ：3(x−2)2=3(x2−4x+4)=3x2−12x+123(x-2)^2=3(x^2-4x+4)=3x^2-12x+12 で元に戻る。

答え　3(x−2)23(x-2)^2

例題2（2次方程式を解く）

2次方程式 x2−3x−10=0x^2-3x-10=0 を解きなさい。

  1. かけて −10-10、たして −3-3 になる2つの数をさがす。2×(−5)=−102\times(-5)=-10、2+(−5)=−32+(-5)=-3 なので、22 と −5-5。
  2. x2−3x−10=(x+2)(x−5)x^2-3x-10=(x+2)(x-5) と因数分解できるので、方程式は (x+2)(x−5)=0(x+2)(x-5)=0。
  3. かけて 0 になるのは、どちらかが 0 のとき。x+2=0x+2=0 または x−5=0x-5=0。

答え　x=−2, 5x=-2,\ 5（たしかめ：x=5x=5 なら 25−15−10=025-15-10=0）

サクラちゃん

サクラちゃん

方程式を解くとき、どうして因数分解するとすぐ答えが出るんですか？

合格先生

合格先生

「かけて 0 なら、どちらかが 0」という決まりがあるからだよ。かけ算の形にしておけば、1つ1つの因数を 0 にするだけで答えが出るんだ。

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

2(x2−4)2(x^2-4) で止めるのは×！ かっこの中もまだ分けられないか、最後に必ず見直そう。

  • 共通因数を見落として途中で止まる：2x2−82x^2-8 を 2(x2−4)2(x^2-4) で終えるのは×。2(x+2)(x−2)2(x+2)(x-2) まで分けます。
  • 共通因数を最初にくくらない：2x2+10x+122x^2+10x+12 をいきなり公式にあてはめようとすると、うまくいきません。まず 2(x2+5x+6)2(x^2+5x+6) とくくってから 2(x+2)(x+3)2(x+2)(x+3) にします。
  • くくったときの符号：−x2+3x=−x(x−3)-x^2+3x=-x(x-3) です。−x(x+3)-x(x+3) としてしまうミスが多いです。マイナスでくくったら、かっこの中の符号は全部変わります。
  • 2つの数の符号をまちがえる：x2−x−6x^2-x-6 で「かけて −6、たして −1」は 2 と −3。(x−2)(x+3)(x-2)(x+3) とすると、展開して x2+x−6x^2+x-6 になり元に戻りません。
  • 一部だけかけ算にする：x(x+5)+6x(x+5)+6 のように、たし算が残る形は因数分解ではありません。

ことばの由来

因数は「かけ算のもとになる数（式）」、分解は「ばらばらに分けること」です。合わせて「因数に分けること」という意味です。英語では factorization（ファクタリゼーション）といい、因数を factor（ファクター）とよびます。factor は「要因・要素」という意味でも使われることばです。

ミニ問題

問題1　x2+7x+12x^2+7x+12 を因数分解しましょう。

答えと解き方を見る

(x+3)(x+4)(x+3)(x+4) です。かけて 12、たして 7 になる2つの数をさがします。12 になる組は 1と12、2と6、3と4 で、たして 7 になるのは 3 と 4 です。展開すると x2+7x+12x^2+7x+12 に戻ります。

問題2　4x2−254x^2-25 を因数分解しましょう。

答えと解き方を見る

(2x+5)(2x−5)(2x+5)(2x-5) です。4x2=(2x)24x^2=(2x)^2、25=5225=5^2 なので、a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b) の aa が 2x2x、bb が 5 です。(4x+5)(4x−5)(4x+5)(4x-5) としないように注意しましょう（展開すると 16x2−2516x^2-25 になってしまいます）。

問題3　（数学Ⅰ）2x2−x−32x^2-x-3 を因数分解しましょう。

答えと解き方を見る

(x+1)(2x−3)(x+1)(2x-3) です。x2x^2 の係数が 2 なので、「たすきがけ」を使います。2=1×22=1\times2、−3=1×(−3)-3=1\times(-3) と分けて、ななめにかけた 1×(−3)+1×2=−11\times(-3)+1\times2=-1 が xx の係数 −1-1 に合います。展開してたしかめ：(x+1)(2x−3)=2x2−3x+2x−3=2x2−x−3(x+1)(2x-3)=2x^2-3x+2x-3=2x^2-x-3。

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よくある質問

因数分解とは簡単にいうと何ですか？

式をかけ算の形に分けることです。たとえば x²＋5x＋6 を (x＋2)(x＋3) と表します。整数の素因数分解の、式バージョンです。

因数分解と展開のちがいは？

展開はかけ算をほどいてたし算の形にすること、因数分解はその反対で、たし算の形をかけ算の形にすることです。

因数分解は何から始めればいいですか？

まず全部の項に共通する数や文字（共通因数）でくくります。次に公式の形にならないかを見て、最後にまだ分けられないか見直します。

x²＋5x＋6 のような式はどう分けますか？

かけて定数項の6、たしてxの係数の5になる2つの数をさがします。2と3なので (x＋2)(x＋3) です。

因数分解は何年生で習いますか？

中学3年で基本の公式を習い、高校の数学Ⅰでたすきがけなど、さらにくわしく学びます。

因数分解は何の役に立ちますか？

方程式を解くときに役立ちます。かけて0になるのはどちらかが0のときなので、因数分解すると答えがすぐに求まります。計算のくふうにも使えます。

出典・参考

  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第3学年 A 数と式（式の展開と因数分解）
  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（数と式）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦