奇数の完全数はあるか？わかりやすく｜6と28の秘密・メルセンヌ素数・見つかっていない未解決問題

奇数の完全数はあるか？（ひとことで）

完全数とは、自分自身をのぞく約数の和が、もとの数と等しくなる数のことです。いちばん小さい完全数は6（1＋2＋3＝6）、次は28（1＋2＋4＋7＋14＝28）。ここまでは小学生でも確かめられます。

知られている完全数は、すべて偶数です。そこで、数学者はずっと問いつづけています。「奇数の完全数は、あるのか、ないのか」。古代ギリシャの時代から2000年以上たった今も（2026年時点）、見つかっておらず、「ない」という証明もありません。

この問題は、数論の中でも最も古い未解決問題の1つです。偶数の完全数は、紀元前から知られていたユークリッドの方法と、オイラーの定理で、完全に分かっています。ところが奇数のほうは、手がかりすら乏しいのです。

約数の和の考え方は、公式辞典の約数の和と完全数の公式で、素数の基本は素数とは何かで復習できます。

奇数の完全数の意味をやさしく解説

完全数とは

ある数の約数とは、その数をわり切れる数のことです。6の約数は、1、2、3、6。このうち、6自身をのぞいた1、2、3を足すと、ちょうど6になります。28の約数は、1、2、4、7、14、28で、28自身をのぞいた和は、1＋2＋4＋7＋14＝28です。

不足数・過剰数・完全数

1から順にいろいろな数で試してみると、自分自身をのぞく約数の和が、もとの数より小さい数（不足数）や大きい数（過剰数）が見つかります。たとえば、8は1＋2＋4＝7で不足数、12は1＋2＋3＋4＋6＝16で過剰数です。ちょうど等しくなる数が完全数です。

1から30の間には完全数が2つしかなく、その後はなかなか現れません。次の完全数は496で、その次は8128です。

古代ギリシャの人々は完全数を特別な数と考えた

ピタゴラス学派の人々は、完全数に特別な意味を見ていたと伝えられます。「世界は6日でつくられた」「月が地球を回る周期はおよそ28日」といった話も、のちの時代の人々によって、完全数と結びつけられました（これらは伝承で、数学の事実ではありません）。

偶数の完全数の作り方（ユークリッド）

紀元前300年ごろ、ユークリッドの業績と生涯は『原論』で、完全数の作り方を示しました。それは次のような方法です。

2^p−1 × (2^p−1)　（2^p−1が素数のとき、これは完全数）

p＝2のとき、2²−1＝3は素数なので、2×3＝6。p＝3のとき、2³−1＝7は素数なので、4×7＝28。p＝5のとき、31は素数で、16×31＝496。p＝7のとき、127は素数で、64×127＝8128です。

ここに出てくる「2^p−1」の形の素数をメルセンヌ素数といいます（17世紀のフランスの修道士メルセンヌにちなむ名前です）。つまり、メルセンヌ素数が1つ見つかるごとに、偶数の完全数が1つできるのです。

オイラーの定理：偶数の完全数はこれで全部

では、この作り方以外の偶数の完全数はあるのでしょうか。18世紀にオイラーの業績と生涯が、「偶数の完全数は、ユークリッドの作り方でできるものだけ」であることを証明しました。この定理は、ユークリッド＝オイラーの定理とよばれます。つまり、偶数の完全数とメルセンヌ素数は、1対1に対応しています。

こうして、偶数の完全数の問題は、「メルセンヌ素数をさがす問題」に置きかわりました。そして、メルセンヌ素数が無限にあるかどうかは、これも未解決です（双子素数予想などと同じく、素数にまつわる難問です）。

2進法で見る完全数

偶数の完全数を2進法で書くと、おもしろい形が見えてきます。6は110、28は11100、496は111110000。1がp個ならび、そのあとに0がp−1個ならぶ形です。n進法の変換のしかたで2進法に変えてみましょう。

完全数のふしぎな性質

完全数には、ほかにも美しい性質があります。ここでは、小学生でも確かめられるものを紹介します。

• 三角数になっている：1から順に足した数（三角数）で、6＝1＋2＋3、28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7、496＝1＋2＋…＋31です。足す最後の数は、3、7、31、127と、2^p−1の形の数（メルセンヌ素数）になっています。
• 約数の逆数の和が2：6の約数の逆数の和は 1＋1/2＋1/3＋1/6＝2。28でも 1＋1/2＋1/4＋1/7＋1/14＋1/28＝2。完全数では、いつもちょうど2です。
• 奇数の3乗の和：28＝1³＋3³（＝1＋27）、496＝1³＋3³＋5³＋7³（＝1＋27＋125＋343）。6をのぞく偶数の完全数は、連続する奇数の3乗の和で書けることが知られています。
• 一の位は6か8：偶数の完全数の一の位は、いつも6か8です（6、28、496、8128、33550336、…）。ただし、古代の「6と8が交互に出る」という主張は正しくありません（6、8、6、8、6、…と見えても、必ず交互とはかぎりません）。

偶数の完全数が「ユークリッドの形だけ」である理由（あらすじ）

オイラーの定理のあらすじを、中学生にも分かるようにたどってみましょう。偶数の完全数Nを、N＝2^k−1×m（mは奇数、k≧2）と書きます。Nの約数の和（Nそのものもふくむ）は、完全数の定義から2Nです。一方、約数の和は「かけ算に分けて計算できる」性質があるので、(2^k−1)×(mの約数の和)＝2^k×m と書けます。ここから、mは(2^k−1)の倍数で、m＝(2^k−1)×tとおくと、mの約数の和は 2^k×t になります。ところが、mの約数には、少なくともm自身とt（とm）が入るので、約数の和は m＋t 以上です。m＋t＝2^k×t のとき、ちょうどmの約数が「m自身とt」だけのときです。1もmの約数なので、t＝1となり、つまりm＝2^k−1が素数だと分かります。これが、ユークリッドの形そのものです。細かい部分は省いていますが、考え方の流れはこのとおりです。

奇数の完全数の問い

ここまで見たとおり、偶数の完全数は完全に分かっています。残るのは、「奇数の完全数はあるか」という問いです。もし1つでも見つかれば歴史的な発見ですが、「ない」ことが証明されれば、完全数は偶数だけになります。

完全数の歴史と年表

古代ギリシャ：最初の4つ

紀元前300年ごろ、ユークリッドは『原論』第9巻で、完全数を作る方法を示しました。紀元100年ごろには、ニコマコスが、6、28、496、8128の4つを挙げ、「完全数はこの形で、順番にあらわれる」と書いたとされます。しかし、これには誤りがありました。完全数の一の位が、6と8を交互にくり返すという主張や、完全数がp＝2、3、5、7と、1つずつ順に見つかるという主張は、正しくなかったのです（5つ目はp＝13で、33550336）。

中世〜17世紀：5つ目以降を探して

5つ目の完全数33550336は、中世ヨーロッパの写本で知られていたといわれます（くわしい経緯は確かめられていません）。17世紀、デカルトとフェルマーは手紙で、完全数やメルセンヌ素数について議論しました。フランスの修道士メルセンヌは、2^p−1が素数になるpの一覧を発表し、のちに誤りも見つかりましたが、この形の素数の研究のきっかけになりました。デカルトの業績と生涯は「もし22021が素数なら、奇数の完全数が見つかる」という数（198585576189）を見つけましたが、実際は22021＝19²×61で素数ではなく、完全数ではありませんでした。

1772年：オイラーが8つ目を確認

オイラーは1772年に、2³¹−1＝2147483647が素数であることを示しました。これにより、8つ目の完全数2305843008139952128が確定しました。そして、偶数の完全数はすべてユークリッドの形であることも、オイラーが証明しています（死後に出版）。

1876年〜：計算の時代へ

フランスのリュカは、1876年に2¹²⁷−1が素数であることを手計算で示しました。この記録は、1951年まで約75年間、知られている最大の素数でした。1952年以降は、コンピューターが記録を塗りかえていきます。1996年には、世界中のパソコンを使ってメルセンヌ素数をさがすGIMPS（ギムプス）が始まりました。

2024年：52個目

2024年10月、52個目のメルセンヌ素数 2^136279841−1が見つかりました。これに対応する完全数は82,048,640桁の巨大な数です。これで、見つかっている偶数の完全数は52個になりました（2026年時点で確認できた資料による）。

奇数の完全数は今どこまで分かっている？

奇数の完全数は、2026年時点で、見つかっておらず、存在しないという証明もありません。ただし、「もしあるとしたら、こういう数でなければならない」という条件は、たくさん分かっています。

1. 非常に大きい数でなければならない

2012年にオシェムとラオは、奇数の完全数があるとしたら、10の1500乗より大きいことを示しました。10の1500乗は、1のあとに0が1500個ならぶ数です。コンピューターで調べつくされた範囲は、これよりずっと下までです。

2. 素因数がたくさん必要

奇数の完全数は、異なる素因数を10個以上もたなければなりません（3でわり切れない場合は12個以上）。さらに、同じ素数を重ねて数えると、素因数の個数は101個以上必要です。また、最大の素因数は1億より大きく、2番目の素因数は1万より大きいなどの条件も知られています。

3. オイラーが見つけた「形」

オイラーは、奇数の完全数があるなら、次の形でなければならないことを示しました。

N ＝ q^a × m²　（qは素数で、q と a は4でわって1あまる。mは奇数）

つまり、ある特別な素数を（4でわって1あまる回数だけ）かけ、残りは平方数になっている、という形です。これは「奇数の完全数なら、ほとんど平方数の形をしている」という、強い制約です。

4. 見つかっていないのに、あるかもしれない理由

条件がこれだけきびしくなると、「ないのでは」と考えたくなります。実際、多くの数学者は、奇数の完全数は存在しないと予想しています。しかし、これは予想であって証明ではありません。「条件がきびしい」ことと「ない」ことは別だからです。たとえばゴールドバッハ予想のように、計算で確かめた範囲では例外がなくても、証明されていない問題は多くあります。

5. 「3倍完全数」などの親せき

約数の和が、もとの数のちょうど2倍になる数が完全数でした。3倍、4倍などになる数は多重完全数とよばれます。たとえば120は、約数の和が360（120の3倍）になる、3倍完全数です。多重完全数の中には奇数のものは見つかっていません。

奇数の完全数はなぜ難しい？

1. 見つけるための「作り方」がない

偶数の完全数には、ユークリッドの作り方がありました。しかし、奇数にはそのような作り方が見つかっていません。何も手がかりがない状態で、無限にある奇数の中から探さなければなりません。

2. 約数の和は、かけ算に強い

約数の和をσ（シグマ）とすると、互いに素な2つの数m、nについて、σ(mn)＝σ(m)×σ(n)が成り立ちます。この性質があるため、約数の和は、素因数分解ととても相性がよいのですが、奇数の完全数の場合は、σ(N)＝2Nという条件が、素因数の組み合わせに強い制約をつくります。そのため、満たす組み合わせが見つかるか、すべてだめなのかを決めるのは、非常にむずかしいのです。

3. 「計算で調べる」にも限界がある

奇数の完全数があるとしても、10の1500乗より大きい数です。10の1500乗までの奇数を1つずつ調べるなど、どんなコンピューターにも不可能です。だから、計算で「ない」と示すことはできず、証明が必要になります。

4. 偶数の場合は「メルセンヌ素数」という手がかりがあった

偶数の完全数が、メルセンヌ素数と1対1に結びつくのは、とても美しい性質です。でも奇数の場合、それに代わる手がかりがありません。偶数と奇数でここまで事情がちがうのは、約数の和の性質が、2という素数に特別に関わっているからです。

受験・勉強と完全数のつながり

中学受験：約数と約数の個数・和

中学受験の算数では、「ある数の約数をすべて書き出し、その個数や和を求める」問題が出ます。約数を漏れなく書き出すには、小さい約数と大きい約数をペアで書く方法が便利です。たとえば28なら、1と28、2と14、4と7のペアで書き出せます。素因数分解と約数の個数の求め方を使うと、約数の個数や和は、素因数分解からすばやく計算できます。

高校受験・大学受験：約数の和と指数

高校で習う等比数列の和の公式（等比数列の和の公式）は、完全数の証明で大活躍します。2^p−1の約数の和は、1＋2＋4＋…＋2^p−1＝2^p−1と計算できるからです。大学入試でも、「nの約数の和をσ(n)とするとき…」という誘導つきの整数問題がときどき出ます。約数と倍数の基本を固めておきましょう。

勉強法として：定義をていねいに

完全数は、「自分自身をのぞく約数の和」という定義が大切です。自分自身をのぞくか、ふくめるかで、条件が「和＝もとの数」か「和＝もとの数の2倍」かに変わります。入試の問題でも、定義を最初に正しく読む習慣が、ミスを防ぎます。勉強法は数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）、素数についての読みものは唯一の偶数の素数「2」の話や2027は素数？双子素数と西暦の入試問題もどうぞ。

完全数が数学・社会にあたえた影響

• メルセンヌ素数の探索：完全数をさがす問題が、巨大な素数をさがす研究を生みました。今、見つかっている最大の素数は、メルセンヌ素数です。
• GIMPSと分散コンピューティング：1996年に始まったGIMPSは、世界中の人々のパソコンの計算力を借りて、新しいメルセンヌ素数を探すプロジェクトです。インターネットを使った共同計算の先がけの1つです。
• 約数関数の研究：約数の和σ(n)の性質を調べる研究は、数論の基本的な道具になりました。フェルマーの業績と生涯やオイラーの時代から、数論は完全数・友愛数とともに発展しました。
• 友愛数：220の約数の和は284、284の約数の和は220になる、ふしぎな数の組を友愛数といいます。ピタゴラス学派が知っていたといわれ、完全数と同じ「約数の和」の世界のなかまです。
• 数学の「分からなさ」の象徴：コラッツ予想（3n＋1問題）やゴールドバッハ予想とならんで、「意味は小学生にも分かるが、誰も解いていない」問題の代表です。

完全数の探究は、エルデシュの業績と生涯のような20世紀の数学者にも引きつがれ、「ほぼ完全数」など、周辺の問題も生みました。

完全数に挑戦！練習問題

完全数と関係する数学者・難問

• ユークリッド：偶数の完全数の作り方を示しました。
• オイラー：偶数の完全数はユークリッドの形だけと証明し、8つ目の完全数を確定させました。
• フェルマー：メルセンヌらと、素数や完全数について手紙で議論しました。
• デカルト：「22021が素数なら奇数の完全数」という数を示しました（実際は素数ではありませんでした）。
• ゴールドバッハ予想・双子素数予想・コラッツ予想・リーマン予想：素数・約数・整数の性質についての、並び立つ難問です。

ほかの未解決の難問

• ゴールドバッハ予想とは（未解決）
  4以上の偶数は2つの素数の和で表せるか。とても大きな数まで確かめられているが証明はない（奇数版の「弱い予想」は2013年に証明が発表された）
• 双子素数予想とは（未解決）
  3と5、11と13のように差が2の素数の組は無限にあるか。2013年に「差が7000万以下の組は無限」と分かり、その後246まで縮まった
• リーマン予想とは（未解決）
  ゼータ関数の「自明でない零点」は、すべて実部が1/2の直線上にあるか。素数の分布のかぎ。ミレニアム懸賞問題
• コラッツ予想とは（未解決）
  偶数なら2でわり、奇数なら3倍して1を足す。どんな数から始めても1にたどり着くか
• P≠NP 予想とは（未解決）
  答えを確かめるのが速い問題は、答えを見つけるのも速いのか。コンピューターの世界の最大の難問。ミレニアム懸賞問題

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読みもの（合格大作戦の数学の記事）

• 唯一の偶数の素数「2」の話
  素数から学ぶ逆転合格の考え方
• 2027は素数？双子素数と西暦の入試問題
  2027＝45²＋2
• 算数・数学の公式一覧（公式辞典）
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• 数学用語辞典（用語の意味を1語1ページ）
  素数・漸近線など200語
• 数学オリンピックの問題（長方形に詰めた正方形）
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• 数学の勉強法（解法の暗記→演習→過去問）
  青・黄・赤チャートの使い分け
• 算数・数学 公式と用語の一覧（学年別・分野別）
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よくある質問

あわせて読みたい

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