合格大作戦 数学用語辞典 › 数と式
中学受験高校受験大学受験
最大公約数・最小公倍数とは
最大公約数は、2つ以上の数に共通する約数のうち、いちばん大きい数です。最小公倍数は、共通する倍数のうち、いちばん小さい数（0 は除く）です。12 と 18 なら、最大公約数は 6、最小公倍数は 36 です。
まなぶくん
最大公約数と最小公倍数、どっちを使う問題なのか、いつも迷っちゃう…
合格先生
「分ける・しきつめる」なら最大公約数、「次に同時に」なら最小公倍数だよ。最大公約数はもとの数より小さく、最小公倍数は大きくなることも目安になるね。
この用語のポイント
- 最大公約数 ＝ 共通の約数でいちばん大きい数。最小公倍数 ＝ 共通の倍数でいちばん小さい数
- 素因数分解の共通部分が最大公約数、全部が最小公倍数
- 「しきつめる・分ける」は最大公約数、「同時に・並べる」は最小公倍数
やさしく言うと
2つの数のどちらも割り切れる数を公約数、そのうちいちばん大きいものを最大公約数といいます。2つの数のどちらの倍数にもなっている数を公倍数、そのうちいちばん小さいもの（0 は入れない）を最小公倍数といいます。
- おかしを分ける（最大公約数）：12 個のあめと 18 個のクッキーを、どちらもあまりなく同じ数ずつ分けられる人数は 1, 2, 3, 6 人。いちばん多くて 6 人です。
- バスが同時に出る（最小公倍数）：6 分ごとのバスと 8 分ごとのバスが同時に出たら、次に同時に出るのは 24 分後です。
- 歯車がもとにもどる（最小公倍数）：歯の数が 12 と 18 の歯車をかみ合わせると、歯が 36 個分進んだとき、はじめてどちらも同じ位置にもどります。
まとめると、「分ける・しきつめる」は最大公約数、「そろう・重なる」は最小公倍数です。
例と、まちがった例
○ 正しい
- 12 と 18 → 最大公約数 6、最小公倍数 36
- 4 と 6 → 最大公約数 2、最小公倍数 12
- 8 と 15 → 最大公約数 1、最小公倍数 120（互いに素）
- 6 と 18 → 最大公約数 6、最小公倍数 18（一方がもう一方の倍数）
- 12、18、30 → 最大公約数 6、最小公倍数 180
- 24 と 36 → 最大公約数 12、最小公倍数 72
× まちがい
- 12 と 18 の最小公倍数を とする（216 は公倍数だが最小ではない）
- 12 と 18 の最大公約数を 3 とする（3 は公約数だが最大ではない）
- 最小公倍数を 0 とする（0 は入れない）
- 最大公約数が、もとの数より大きい（ありえない）
- 「最小公約数」を答える（いつも 1 なので考えない）
- 「最大公倍数」を答える（公倍数は限りなくある）
8 と 15 のように、最大公約数が 1 の2つの数を互いに素といいます。このときは、最小公倍数は2つの数の積（）です。
図で見る
2つの数を素数のかけ算に分け（素因数分解）、円の図に入れると、共通の部分が最大公約数、全部（共通の部分は1回だけ）が最小公倍数だとひと目でわかります。
最小公倍数は、時間の数直線で考えるとわかりやすくなります。
ハルちゃん
どうして 6×8＝48 じゃなくて 24 なの？
合格先生
6＝2×3、8＝2×2×2 で、2 が共通しているからだよ。かけ算すると共通の 2 を2回かけてしまうんだ。2 を1回にすると になるね。
求め方
① すだれ算で求める：2つの数を並べて、両方を割り切れる数で割っていきます。12 と 18 なら、2 で割って 6 と 9、3 で割って 2 と 3 になり、もう共通に割れません。
| 求め方 | 12 と 18 では | |
|---|---|---|
| 最大公約数 | 左に並んだ割った数をかける | |
| 最小公倍数 | 左の数と、下に残った数を全部かける |
ハルちゃん
左だけかけると最大公約数、下の数もかけると最小公倍数なんだね！
② 素因数分解で求める：、 のように分け、最大公約数は共通の素数を少ないほうの個数で、最小公倍数は出てくる素数を多いほうの個数でかけます。最大公約数は 、最小公倍数は です。3つ以上の数でも同じやり方で求められます。
2つの数 , では、 最大公約数 最小公倍数 になります（）。
大きな数ならユークリッドの互除法
高校の数学Aでは、ユークリッドの互除法を習います。「大きいほうを小さいほうで割ったあまり」に置きかえていくと、最後に割り切れたときの割る数が最大公約数です。
84 と 60 なら、、、 で割り切れたので、最大公約数は 12 です。素因数分解しにくい大きな数でも使えるのが強みです。
文章題での見分け方
| 使う数 | 問題に出てくることば | 例 |
|---|---|---|
| 最大公約数 | 「あまりなく分ける」「同じ大きさの正方形でしきつめる」「できるだけ大きく」「できるだけ多くの人に」 | 12 個と 18 個を同じ数ずつ分ける |
| 最小公倍数 | 「次に同時に」「長方形を並べて正方形を作る」「できるだけ小さく」「歯車がもとにもどる」 | 6 分ごとと 8 分ごとのバス |
テスト・入試ではこう出る
公約数・公倍数は小学 5 年で習い、中学受験でとてもよく出ます。しきつめ・分配（最大公約数）、同時に出発・歯車（最小公倍数）、あまりのある割り算から公約数を考える問題が定番です。中学では素因数分解と結びつき、高校の数学Aではユークリッドの互除法や、「最大公約数と最小公倍数から 2 つの数を求める」問題が出ます。
例題1（しきつめ）
たて 24cm、横 40cm の長方形の紙を、同じ大きさの正方形の紙で、すきまなくしきつめます。できるだけ大きな正方形にするとき、1 辺は何 cm で、何枚いりますか。
- 正方形の 1 辺は、24 も 40 も割り切れる長さ（公約数）。できるだけ大きくするので最大公約数。
- すだれ算：2 で割って 12 と 20、2 で割って 6 と 10、2 で割って 3 と 5。最大公約数は 。
- 枚数は、たてに 枚、横に 枚で、 枚。
答え 1 辺 8cm、15 枚
例題2（あまりのある割り算）
50 を割っても 74 を割っても 2 あまる整数のうち、いちばん大きい数を求めなさい。
- 50 を割ると 2 あまるので、その数は を割り切る。
- 74 を割ると 2 あまるので、その数は を割り切る。
- つまり 48 と 72 の公約数。いちばん大きいのは最大公約数で、すだれ算（2, 2, 2, 3 で割ると 2 と 3 が残る）より 。
- あまり 2 より大きい数でないと、「2 あまる」にならない。24 は 2 より大きいので OK。
答え 24
まちがえやすい点
合格先生
2つの数をかけただけでは、最小公倍数にならないことが多いよ！ 12 と 18 の最小公倍数は 216 ではなく 36。
- 最大と最小を取りちがえる：最大公約数は2つの数以下、最小公倍数は2つの数以上になります。答えがおかしくないか、大きさで確かめましょう。
- 2つの数をかけただけで最小公倍数にする： は公倍数ですが、最小は 36 です。積が最小公倍数になるのは、互いに素のときだけです。
- すだれ算で止めるのが早すぎる：12 と 18 を 2 で割って 6 と 9 で止めると、最大公約数を 2 とまちがえます。下の 2 つの数が 1 以外で共通に割れなくなるまで続けます。
- あまりのある問題で、あまりを引き忘れる：「50 を割ると 2 あまる」なら、割り切れるのは です。50 のまま考えるとまちがえます。
- 3つの数に「積＝最大公約数×最小公倍数」を使う：この関係は2つの数のときだけ成り立ちます。4, 6, 8 では、積は 192、最大公約数×最小公倍数は で、ちがいます。
ことばの由来
「公」には「みんなに共通の」という意味があり、「公約数」は共通の約数、「公倍数」は共通の倍数です。英語では、最大公約数を greatest common divisor（GCD）、最小公倍数を least common multiple（LCM）といいます。common が「共通の」、greatest が「いちばん大きい」、least が「いちばん小さい」という意味で、日本語と同じ組み立てです。
ミニ問題
問題1 24 と 36 の最大公約数と最小公倍数を求めましょう。
答えと解き方を見る
最大公約数は 12、最小公倍数は 72 です。すだれ算で、2 で割って 12 と 18、2 で割って 6 と 9、3 で割って 2 と 3。左の が最大公約数、 が最小公倍数です。たしかめ：。
問題2 8、12、20 の 3 つの数の最大公約数と最小公倍数を求めましょう。
答えと解き方を見る
素因数分解すると、、、 です。
- 最大公約数：3 つに共通なのは なので 4。
- 最小公倍数：2 は最も多い 3 個、3 と 5 は 1 個ずつ使って、 120。
問題3 2 つの整数があり、最大公約数は 6、最小公倍数は 72 です。一方の数が 18 のとき、もう一方の数を求めましょう。
答えと解き方を見る
2 つの数の積 ＝ 最大公約数 × 最小公倍数 なので、もう一方の数は 24 です。たしかめ：18 と 24 の最大公約数は 6、最小公倍数は 72 で合っています。
まなぶくん
分けるなら最大公約数、そろうなら最小公倍数。すだれ算で一気に出せるね！
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
最大公約数と最小公倍数のちがいは何ですか？
最大公約数は、共通する約数のうちいちばん大きい数です。最小公倍数は、共通する倍数のうちいちばん小さい数です。12と18なら、最大公約数は6、最小公倍数は36です。
最大公約数と最小公倍数はどう求めますか？
両方を割り切れる数で割っていくすだれ算が便利です。左に並んだ割った数をかけると最大公約数、それに下に残った数もかけると最小公倍数になります。素因数分解して求める方法もあります。
文章題ではどちらを使えばいいですか？
あまりなく分ける、正方形でしきつめる問題は最大公約数です。次に同時に起こる時刻や、長方形を並べて正方形を作る問題は最小公倍数です。
2つの数の積と最大公約数・最小公倍数にはどんな関係がありますか？
2つの数の積は、最大公約数と最小公倍数の積に等しくなります。12×18＝216＝6×36です。3つ以上の数では成り立ちません。
3つの数の最小公倍数はどう求めますか？
それぞれを素因数分解し、出てくる素数を、いちばん多く出てくる個数だけかけます。8、12、20なら2×2×2×3×5＝120です。
最大公約数と最小公倍数は何年生で習いますか？
公約数・公倍数は小学5年で習います。中学では素因数分解と結びつき、高校の数学Aではユークリッドの互除法を学びます。
出典・参考
- 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第5学年 A 数と計算（整数の性質）
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（数学と人間の活動）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
