数学的帰納法とは？意味と書き方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

数学的帰納法とは

自然数 nn についての命題を、[1] n=1n=1 のとき成り立つ、[2] n=kn=k のとき成り立てば n=k+1n=k+1 のときも成り立つ、の2つを示して、すべての自然数 nn で成り立つと証明する方法です。

読み方：すうがくてききのうほう／英語：mathematical induction／習う学年：数学B（数列）

うかるくん

うかるくん

数学的帰納法って、[1] とか [2] とか、何をしているのかよく分からないんです…

合格先生

合格先生

ドミノ倒しを思い出そう。「1枚目が倒れる」が [1]、「倒れたら次も倒れる」が [2]。この2つで、全部倒れると言えるんだ。

この用語のポイント

  • [1] n=1n=1 で成り立つ＋[2] n=kn=k なら n=k+1n=k+1 の2つを示す
  • ドミノ倒しと同じしくみ。[1] を省くと証明にならない
  • 出発点は n=1n=1 とは限らない（n≧5n\geqq5 なら n=5n=5 から）

やさしく言うと

数学的帰納法は、「最初が正しい」と「1つ正しければ次も正しい」の2つから、全部が正しいと言う証明の方法です。身近なたとえで考えてみましょう。

  • ドミノ倒し：ドミノが全部倒れることを言うのに、1枚ずつ見る必要はありません。「1枚目が倒れる」「どのドミノも、倒れたら次を倒す」の2つが言えれば、全部倒れます。
  • はしご：「1段目には上れる」「どの段にいても、次の段に上れる」なら、何段目でも上れます。100段目に行けるかを、100段ぶん試す必要はありません。
  • うわさの伝わり方：「1番の人が知っている」「知った人は、必ず次の番号の人に伝える」なら、列の全員にうわさが届きます。

数学の言葉にすると、次の2つを示します。

  1. [1] n=1n=1 のとき成り立つ（1枚目が倒れる）
  2. [2] n=kn=k のとき成り立つと仮定すると、n=k+1n=k+1 のときも成り立つ（倒れたら次も倒れる）
123456kk＋1 ① 1枚目が倒れる（n＝1 で成り立つ） ② k枚目が倒れたら、k＋1枚目も倒れる ①と②がそろえば、ドミノは全部倒れる → すべての自然数 n で成り立つ
①1枚目が倒れる ②倒れたら次も倒れる → 全部倒れる

まとめると、数学的帰納法は「出発点」と「次へ進むしくみ」の2つで、無限に続く自然数を全部まとめて証明する方法です。

数学的帰納法を使う場面

○ 使える

  • 自然数 nn についての等式：1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2（nn を1つずつ進められる）
  • 自然数 nn についての不等式：n≧5n\geqq5 のとき 2n>n22^n>n^2（出発点を n=5n=5 にする）
  • 倍数の証明：4n−14^n-1 は 3 の倍数（4k+14^{k+1} を 4k4^k で表せる）
  • 漸化式から予想した一般項 an=2n−1a_n=2^n-1 の証明（ak+1a_{k+1} を aka_k で表せる）
  • nn 個の数についての不等式や、nn 角形の対角線の本数など（nn を 1 ずつふやして考えられる）

× 数学的帰納法にならないもの

  • 実数 xx についての命題（xx には「次の数」がないので、順にたどれない）
  • n=1, 2, 3n=1,\ 2,\ 3 で確かめただけ（いくつ確かめても、それだけでは証明ではない）
  • [2] だけ示して [1] を確かめていないもの（出発点がない）
  • 「n=k+1n=k+1 で成り立つ」を最初から正しいとして使ったもの（示したいことを使っている）
  • 1 つの具体的な式 210=10242^{10}=1024 の確認（自然数 nn 全体の話ではない）

ポイントは、自然数のように「1, 2, 3, …」と順番にたどれるものについて使う、ということです。数学的帰納法は、高校の数学B（数列）で、漸化式や和の公式とセットで習います。

図で見る

[1] と [2] がどうつながって「すべての nn」になるのかを、図で見てみます。[1] で n=1n=1 を確かめたら、[2] を k=1k=1 として使うと n=2n=2、もう一度 k=2k=2 として使うと n=3n=3 …と、次々に成り立つことが伝わります。

[2] を何回もくり返して、次へ次へと伝える n＝1[2]n＝2[2]n＝3[2]n＝4[2]n＝5 … [1] n＝1 を直接たしかめる（出発点） [2] は「どの k でも、k から k＋1 へ進める」という保証
[1] で出発し、[2] をくり返し使うと、どの n にもいつか届く
うかるくん

うかるくん

[2] で「n=kn=k のとき成り立つと仮定する」って、まだ示していないことを使っていて、ずるくないですか？

合格先生

合格先生

[2] で示しているのは「もし kk で成り立つなら、k+1k+1 でも成り立つ」というつながりだけなんだ。kk で本当に成り立つかは、[1] から順にたどれば分かる。だから [1] と [2] がそろって、はじめて証明になるんだよ。

等式 1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2 の [2] のしくみも、図にするとよく分かります。1 辺が kk の正方形（k2k^2 個）に、次の奇数 2k+12k+1 個を L 字につけ足すと、1 辺が k+1k+1 の正方形になります。

1 ＝ 1²1＋3 ＝ 2²1＋3＋5 ＝ 3²1＋3＋5＋7 ＝ 4² k² の正方形に、L字の 2k＋1 個を足すと (k＋1)² の正方形になる（[2] のしくみ）
奇数を L 字に足していくと、正方形が1まわりずつ大きくなる

証明の書き方

例として、1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2 …(＊) を証明します。答案は、次の形で書くのが基本です。

[1] n=1n=1 のとき、左辺 =1=1、右辺 =12=1=1^2=1 なので、(＊) は成り立つ。

[2] n=kn=k のとき (＊) が成り立つ、つまり 1+3+⋯+(2k−1)=k21+3+\cdots+(2k-1)=k^2 と仮定する。n=k+1n=k+1 のとき、左辺は

1+3+⋯+(2k−1)⏟k2+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2\underbrace{1+3+\cdots+(2k-1)}_{k^2}+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2

となり、n=k+1n=k+1 のときも (＊) は成り立つ。

[1]、[2] より、すべての自然数 nn について (＊) は成り立つ。

書くこと中身ドミノでいうと
[1]出発点の nn（ふつうは 1）で、両辺を計算して成り立つことを示す1枚目が倒れる
[2] の仮定「n=kn=k のとき成り立つ」と仮定し、その式を書くk枚目が倒れたとする
[2] の本体n=k+1n=k+1 の式を、仮定を使って変形して示すk＋1枚目も倒れる
結論「[1]、[2] より、すべての自然数 nn で成り立つ」全部倒れる
「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

[2] では、どこで仮定を使ったかがはっきり見えるように書こう。そこが採点のポイントだ！

いろいろな形の帰納法

基本は [1]・[2] の2段ですが、問題によって少し形が変わります。

  • 出発点が 1 でない：「n≧5n\geqq5 のとき 2n>n22^n>n^2」なら、[1] は n=5n=5 で確かめ、[2] は k≧5k\geqq5 として示します。下の図のように、n=3n=3 では 8<98<9 で成り立たないので、出発点を正しく選ぶことが大事です。
  • 2つ前までを仮定する：an+2=an+1+ana_{n+2}=a_{n+1}+a_n のように、前の2つの項から次が決まる数列では、[1] で n=1, 2n=1,\ 2 の2つを確かめ、[2] で「n=k, k+1n=k,\ k+1 のとき成り立つ」と仮定して n=k+2n=k+2 を示す形を使います。
  • それまで全部を仮定する：「n≦kn\leqq k のすべてで成り立つ」と仮定して n=k+1n=k+1 を示す形もあります。大学入試の整数問題などで出てきます。
2ⁿ n² ここから先 2ⁿ ＞ n² 21n＝144n＝289n＝31616n＝43225n＝56436n＝6 n＝3 では 8 ＜ 9 なので、出発点は n＝5 にする
2ⁿ（青）と n²（橙）。n＝5 から先は 2ⁿ のほうが大きい

「数学的」とつく理由

ふつうの「帰納」は、たくさんの例を観察してきまりを推測することです（理科の実験など）。推測なので、例外が見つかる可能性が残ります。

数学的帰納法は名前に「帰納」とつきますが、例を集める方法ではありません。[1] と [2] からすべての nn について確実に言える、正式な証明です。区別するために「数学的」とつけています。英語では mathematical induction（induction は「帰納」の意味）といいます。

テスト・入試ではこう出る

数学的帰納法は、高校の数学B（数列）で習います。定期テストでは和の等式の証明、大学入試では倍数の証明、不等式の証明、漸化式で予想した一般項の証明がよく出ます。[1]・[2]・結論の形がそろっているかも採点されます。

例題1（倍数の証明）

すべての自然数 nn について、4n−14^n-1 は 3 の倍数であることを証明しなさい。

[1] n=1n=1 のとき、41−1=34^1-1=3 は 3 の倍数。

[2] n=kn=k のとき成り立つ、つまり 4k−1=3m4^k-1=3m（mm は整数）と仮定する。n=k+1n=k+1 のとき、

  1. 4k+1−1=4×4k−14^{k+1}-1=4\times4^k-1 と、仮定の形 4k4^k を取り出す。
  2. 仮定より 4k=3m+14^k=3m+1 なので、4(3m+1)−1=12m+34(3m+1)-1=12m+3。
  3. 12m+3=3(4m+1)12m+3=3(4m+1) で、4m+14m+1 は整数。よって 3 の倍数。
[1]、[2] より、すべての自然数 nn について 4n−14^n-1 は 3 の倍数である。

例題2（不等式の証明）

5 以上のすべての自然数 nn について、2n>n22^n>n^2 が成り立つことを証明しなさい。

[1] n=5n=5 のとき、25=322^5=32、52=255^2=25 で、32>2532>25 なので成り立つ。

[2] k≧5k\geqq5 として、n=kn=k のとき 2k>k22^k>k^2 が成り立つと仮定する。

  1. 2k+1=2×2k>2k22^{k+1}=2\times2^k>2k^2（仮定を使う）。
  2. あとは 2k2≧(k+1)22k^2\geqq(k+1)^2 を示せばよい。2k2−(k+1)2=k2−2k−1=(k−1)2−22k^2-(k+1)^2=k^2-2k-1=(k-1)^2-2。
  3. k≧5k\geqq5 なので (k−1)2−2≧16−2=14>0(k-1)^2-2\geqq16-2=14>0。
  4. よって 2k+1>2k2>(k+1)22^{k+1}>2k^2>(k+1)^2 となり、n=k+1n=k+1 のときも成り立つ。
[1]、[2] より、5 以上のすべての自然数 nn について 2n>n22^n>n^2 である。

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

[1] の n=1n=1 の確認を忘れたら証明にならない！

  • [1] を省く：「n2+n+1n^2+n+1 は偶数」は、n=kn=k で偶数と仮定すると (k+1)2+(k+1)+1=(k2+k+1)+2(k+1)(k+1)^2+(k+1)+1=(k^2+k+1)+2(k+1) も偶数になり、[2] は通ります。でも n=1n=1 で 33（奇数）なので、実は1つも成り立ちません。[1] がないと証明になりません。
  • 示したい式を先に使う：[2] で使ってよい仮定は「n=kn=k のとき」だけです。n=k+1n=k+1 の式を正しいものとして両辺を変形し、「0=00=0 になったから正しい」とするのは×。左辺から右辺へ、一方向に変形します。
  • 出発点をいつも n=1n=1 にする：「n≧5n\geqq5 のとき 2n>n22^n>n^2」なら、[1] は n=5n=5（32>2532>25）から始めます。n=4n=4 では 16=1616=16 で成り立ちません。
  • n=k+1n=k+1 のときの「次の項」をまちがえる：1+3+⋯+(2k−1)1+3+\cdots+(2k-1) の次の項は、2k−12k-1 の kk を k+1k+1 にした 2(k+1)−1=2k+12(k+1)-1=2k+1 です。2k2k や 2k−1+12k-1+1 とするのは×。
  • 仮定を使わずに終わる：[2] で仮定を1回も使っていないなら、どこかがおかしいか、帰納法を使う必要がない問題です。どこで仮定を使ったかを確かめましょう。

ミニ問題

問題1　1+2+3+⋯+n=n(n+1)21+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2 を数学的帰納法で証明します。[2] で n=kn=k のとき成り立つと仮定したとき、n=k+1n=k+1 のときの左辺を kk の式で表し、右辺と等しくなることを確かめましょう。

答えと解き方を見る

n=k+1n=k+1 のときの左辺は、1+2+⋯+k1+2+\cdots+k に次の項 k+1k+1 を足したものです。仮定より

k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k+2)2\frac{k(k+1)}2+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}2

右辺は n=k+1n=k+1 を代入した (k+1){(k+1)+1}2=(k+1)(k+2)2\dfrac{(k+1)\{(k+1)+1\}}2=\dfrac{(k+1)(k+2)}2 なので、等しくなります。(k+1)(k+1) でくくるのがコツです。

問題2　式 n2−n+41n^2-n+41 に n=1, 2, 3, ⋯ , 40n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 40 を代入すると、どれも素数になります。では「すべての自然数 nn で素数」と言ってよいでしょうか。

答えと解き方を見る

言えません。n=41n=41 のとき 412−41+41=412=168141^2-41+41=41^2=1681 で、41 で割り切れるので素数ではありません。40 個確かめても、それは例を集めただけです。すべての nn について言うには、数学的帰納法などの証明が必要です（この式は [2] が示せないので、帰納法でも証明できません）。

問題3　a1=1a_1=1、an+1=2an+1a_{n+1}=2a_n+1 で決まる数列は、a1=1, a2=3, a3=7, a4=15a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=7,\ a_4=15 となるので、an=2n−1a_n=2^n-1 と予想できます。この予想が正しいことを数学的帰納法で示しましょう。

答えと解き方を見る

[1] n=1n=1 のとき、21−1=1=a12^1-1=1=a_1 で成り立つ。

[2] n=kn=k のとき ak=2k−1a_k=2^k-1 と仮定すると、漸化式より ak+1=2ak+1=2(2k−1)+1=2k+1−1a_{k+1}=2a_k+1=2(2^k-1)+1=2^{k+1}-1。これは n=k+1n=k+1 のときの予想の式そのものなので、成り立つ。

よって、すべての自然数 nn で an=2n−1a_n=2^n-1 です。「予想 → 帰納法で確かめる」は漸化式の問題でよく使う流れです。

ひらめいたうかるくん

うかるくん

予想した式を、帰納法できっちり証明する。漸化式の問題がぐっと楽になった！

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よくある質問

数学的帰納法とは何ですか？

n＝1で成り立つことと、n＝kで成り立てばn＝k＋1でも成り立つことの2つを示して、すべての自然数nで成り立つと証明する方法です。

なぜドミノ倒しにたとえるのですか？

1枚目が倒れ、どのドミノも倒れたら次を倒すなら、全部倒れるからです。これが数学的帰納法の2つの段階にあたります。

n＝1 の確認は必要ですか？

必要です。n＝kからn＝k＋1への部分だけが正しくても、出発点がなければ1つも成り立たない場合があります。

n＝k で成り立つと仮定してよいのはなぜですか？

示しているのは「kで成り立てばk＋1でも成り立つ」というつながりだからです。kで本当に成り立つことは、n＝1から順にたどることで保証されます。

いくつかの n で確かめれば証明になりますか？

なりません。n²−n＋41 は n＝1〜40 で素数ですが、n＝41 では41²で素数ではありません。例をいくつ集めても証明にはなりません。

数学的帰納法は何年生で習いますか？

高校の数学B（数列）で習います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学B（数列）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦