ハルちゃん
1÷3 をしたら、3 がずっと終わらないよ。計算をまちがえたのかな？
合格先生
まちがいじゃないよ。同じ数字がずっとくり返す小数を循環小数というんだ。 と、点をつけて短く書けるよ。
この用語のポイント
- 同じ数字の並びがかぎりなくくり返す小数：、
- 約分した分母が2 と 5 だけなら有限小数、ほかの素数があれば循環小数
- 循環小数は必ず分数に直せる。
やさしく言うと
循環小数は、小数点の下で、同じ数字の並びが、どこまでも同じ順番でくり返す小数です。「循環」は、ぐるぐる回ってもとにもどることです。
- お金を 3 人で分ける：1000 円を 3 人で同じだけ分けると、1 人分は 円です。3 がいつまでも続き、ぴったりには分けられません。
- リボンを 7 等分する：1m のリボンを 7 等分すると、1 本は m。「142857」の 6 けたが、同じ順番で何度も出てきます。
- 電卓で ：画面には 0.6666666 のように 6 がならびます。画面のけたが足りないので途中で切れていますが、本当は 6 が終わりなく続きます。
どうしてくり返すのでしょうか。 の筆算をすると、あまりは必ず 1〜6 のどれかです。あまりの種類が 6 つしかないので、いつか同じあまりが出てきます。そこから先は、前と同じ計算のくり返しになるのです。
まとめると、循環小数は「わり切れないわり算で、あまりがめぐって、同じ数字の並びがくり返す小数」です。
ハルちゃん
あまりの種類には限りがあるから、いつか同じあまりにもどってくるんだね！
循環小数の例と、循環小数ではない小数
○ 循環小数
- （3 がくり返す。）
- （27 がくり返す。）
- （6 がくり返す。）
- （142857 がくり返す。）
- ＝（整数の部分があってもよい）
- （9 がくり返す。じつは 1 と等しい）
× 循環小数ではないもの
- （終わる小数。有限小数）
- （円周率。くり返さずに続く）
- （。くり返さない）
- （1 の間の 0 が 1 個ずつふえる。同じ並びのくり返しではない）
- （整数を順に並べた小数。くり返さない）
「終わらない小数」がすべて循環小数なのではありません。 や円周率のように、くり返さずに終わらない小数もあります。また、 のように規則はあっても、同じ長さの同じ並びがくり返していなければ、循環小数ではありません。
図で見る（書き方）
循環小数は、くり返す部分の最初と最後の数字の上に点（・）を打って短く書きます。
たとえば は 、 は と書きます。 と は別の数です（）。点の位置で、どこからくり返すかが決まるので、ていねいに書きましょう。
本や国によっては、くり返す部分の上に横線を引いて と書くこともあります。日本の教科書では点の書き方がよく使われます。
まなぶくん
どんな分数でも、小数にすると循環小数になるの？
合格先生
分数を小数にすると、わり切れて終わる（有限小数）か、循環小数になるかのどちらかなんだ。わり切れないときは、あまりがいつかくり返すからね。どちらになるかは、分母を見ればわかるよ。
有限小数か循環小数かの見分け方
分数を小数にしたとき、終わるか、くり返すかは、約分したあとの分母を素因数分解するとわかります。
小数は「10 分の いくつ」「100 分の いくつ」…を表す書き方です。 なので、分母を 10、100、1000…に直せるのは、分母の素因数が 2 と 5 だけのときです。 は直せますが、 は何倍しても分母が 10、100、1000… にならないので、わり切れずにくり返します。
大事なのは「約分してから」見ることです。 は分母に 3 がありますが、約分すると で有限小数です。
循環小数を分数に直す
循環小数は、必ず分数で表せます。くり返す部分の長さに合わせて、10 倍・100 倍・1000 倍…して、もとの数を引くのがコツです。
| 循環小数 | かける数 | 分数 |
|---|---|---|
| 10 倍（くり返し 1 けた） | ||
| 100 倍（くり返し 2 けた） | ||
| 1000 倍（くり返し 3 けた） | ||
| 10 倍 |
小数点のすぐ後ろからくり返すときは、「くり返す数字 ÷ 9 をくり返しの数だけ並べた数（9、99、999…）」になります。 のように、くり返しが途中から始まるときは、例題 2 のように 2 つの式の差をとります。
0.999… は 1 と等しい
（9 が終わりなく続く数）は、1 と等しい数です。「1 より少しだけ小さい」と感じる人が多いのですが、次のように確かめられます。
- の両辺を 3 倍すると、。
- とおくと、。引くと なので 。
もし が 1 より小さいなら、その間にはさまる数があるはずです。しかし 9 が終わりなく続くので、間に入る数は見つかりません。1 という数に、2 つの書き方があるということです。
テスト・入試ではこう出る
中学受験では、「 を小数で表したとき、小数第 100 位の数字は？」のような規則性（周期）の問題でよく出ます。中学 3 年の平方根の単元では、有理数・無理数とあわせて循環小数にふれる教科書もあります。高校の数学Ⅰでは、循環小数を分数に直す問題や、有理数は有限小数か循環小数で表せる、という実数の性質を学びます。
例題1（中学受験・規則性）
を小数で表したとき、小数第 100 位の数字を答えなさい。
- で、「142857」の 6 けたがくり返す。
- あまり 。小数第 100 位は、6 けたのかたまりを 16 回くり返したあとの 4 番目の数字。
- 「1, 4, 2, 8, 5, 7」の 4 番目は 8。
答え 8（わり切れたときは、かたまりの最後の数字 7 になります）
例題2（くり返しが途中から始まる）
循環小数 を分数で表しなさい。
- とおく。くり返しは「6」の 1 けただが、小数第 1 位の 1 はくり返さない。
- くり返しの始まりを小数点のすぐ後ろにそろえるため、、 を作る。
- で、うしろの が消えて 。
答え （たしかめ：）
まなぶくん
くり返す「かたまり」が何けたかを、まず数えるのがコツだよ！
まちがえやすい点
合格先生
は 1 より小さいのではなく、1 とぴったり同じだよ！
- は 1 より小さいと思う： です。 を 3 倍すると確かめられます。
- 点を全部の数字に打つ・1 つ目だけに打つ： は、くり返しの最初の 1 と最後の 7 の上に点を打って と書きます。
- かける数がくり返しの長さと合っていない： を 10 倍して引くと となり、くり返しが消えません。2 けたのくり返しなら 100 倍です。
- 約分せずに分母を見る： は分母に 7 があっても、約分すると で有限小数です。
- 終わらない小数を全部「循環小数」とよぶ： や円周率はくり返さないので、循環小数ではありません。これらは分数で表せない無理数です。
ことばの由来
循環は「ひとめぐりして、もとにもどる」という意味の言葉で、血液の循環・水の循環などにも使います。あまりがひとめぐりして、同じ数字の並びにもどってくる小数なので、循環小数といいます。英語では repeating decimal（くり返す小数）や recurring decimal といいます。recurring は「くり返し起こる」という意味です。
くり返す部分を循環節といいます。 の循環節は 142857 で、長さは 6 です。
ミニ問題
問題1 を小数で表し、循環小数の点をつけて書きましょう。
答えと解き方を見る
です。 で、「45」がくり返します。くり返しが 2 けたなので、4 と 5 の上に点を打ちます。
問題2 次の分数のうち、小数で表すと有限小数になるものをすべて選びましょう。 ア イ ウ エ
答えと解き方を見る
アとウです。
- ア：分母 で、2 だけ →
- イ：分母 に 3 がある →
- ウ：先に約分すると 。分母は →
- エ：分母 に 3 がある →
ウは、約分する前の分母 28 に 7 がふくまれるので、うっかり循環小数と答えやすい問題です。
問題3 循環小数 を分数で表しましょう。
答えと解き方を見る
です。 とおくと、くり返しが 2 けたなので 。引くと 、 です。たしかめ： で合っています。
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
循環小数とは簡単にいうと何ですか？
小数点の下で、同じ数字の並びがかぎりなくくり返す小数です。1÷3＝0.333… や 1÷7＝0.142857142857… がその例です。
循環小数の点はどこに打ちますか？
くり返す部分の最初と最後の数字の上に打ちます。くり返しが1けたなら、その数字の上に1つだけ打ちます。
どんな分数が循環小数になりますか？
約分した分数の分母に、2と5以外の素因数があるときです。分母の素因数が2と5だけなら、わり切れて有限小数になります。
循環小数を分数に直すにはどうしますか？
くり返しの長さに合わせて10倍・100倍などをして、もとの数を引きます。0.2727… なら100x−x＝27 より 27/99＝3/11 です。
0.999… は1と等しいのですか？
等しいです。1/3＝0.333… を3倍すると 1＝0.999… になります。1という数の、別の書き方です。
円周率や√2は循環小数ですか？
いいえ。どちらもくり返さずにかぎりなく続く小数で、分数で表せない無理数です。
出典・参考
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（数と式）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
