約分できない分数の個数の求め方と公式｜素因数とベン図で数える理由・近道の式・分数の和は個数÷2の例題【中学受験】

うかるくん

分母が60の分数で約分できないものって、どうやって数えるの？

合格先生

60＝2×2×3×5 だから、分子が2・3・5のどれの倍数でもなければ約分できない。ベン図で数えると16個だ。

約分できない分数の個数の求め方

「分母が 60 で、0 より大きく 1 より小さい分数のうち、約分できないものは何個？」――こんな問題は、分母を素因数分解すると見通しよく解けます。

なぜ素因数で決まるのか

約分できるのは、分子と分母を同じ数で割れるときです。分子と分母が2以上の同じ数で割れるなら、その数を割り切る素数でも割れます。分母 60＝2×2×3×5 を割り切る素数は 2, 3, 5 だけなので、「約分できる」とは「分子が 2, 3, 5 のどれかの倍数」ということです。

だから、分子 1〜59 のうち、2の倍数でも3の倍数でも5の倍数でもない数を数えればよいのです。分子を 1〜60 で考えても、60 は約分できるので個数は変わりません。

ベン図で数える

1〜60 で、2の倍数は 30個、3の倍数は 20個、5の倍数は 12個。2つの倍数が重なる 6の倍数は 10個、10の倍数は 6個、15の倍数は 4個、3つとも重なる 30の倍数は 2個です。どれかの倍数は 30＋20＋12−10−6−4＋2＝44（個）なので、どれでもない数は 60−44＝16個（集合の要素の個数）。

近道の式：60個のうち、2の倍数でないのは $\dfrac{1}{2}$。そのうち3の倍数でないのは $\dfrac{2}{3}$、さらに5の倍数でないのは $\dfrac{4}{5}$。分母が 2×3×5＝30 の倍数なので、この割合がちょうど成り立ち、$60\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}=16$ と計算できます。高校で習う「オイラー関数」と同じ考え方です。

和は「個数÷2」

$\dfrac{k}{60}$ が約分できないなら、$\dfrac{60-k}{60}$ も約分できません（60−k が 2, 3, 5 の倍数なら、k もそうなってしまうから）。この2つをたすとちょうど 1 です。約分できない分数は和が 1 のペアに分けられるので、和＝個数÷2になります。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

倍数の個数をたすだけではだめだ。6の倍数は2の倍数にも3の倍数にも入っている。重なりをひこう。

• 倍数をたすだけで、重なりをひかない：6の倍数は2の倍数にも3の倍数にも入っている。ベン図で重なりを考える。
• 素因数ではなく約数ぜんぶで考える：4 や 6 の倍数を別に数えると重なる。調べるのは素数（60 なら 2, 3, 5）だけでよい。
• 近道の式を、素因数でない数で使う：$\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{4}{5}$ のように、分母の素因数 p ごとに「1−1/p」をかける。

練習問題

サクラちゃん

和は個数÷2で出せるなんて、べんりだね！

1. 中学受験 分母が 30 で、0 より大きく 1 より小さい分数のうち、約分できないものは何個ありますか。
   答えと解説を見る

   $30=2\times3\times5$。$30\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}=8$。（1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29）答え $8$ 個
2. 中学受験 分母が 36 で、0 より大きく 1 より小さい分数のうち、約分できないものは何個ありますか。
   答えと解説を見る

   $36=2\times2\times3\times3$。2 の倍数でも 3 の倍数でもない数。2 の倍数 18、3 の倍数 12、6 の倍数 6 なので 36−(18＋12−6)＝12。答え $12$ 個
3. 中学受験 分母が 42 で、0 より大きく 1 より小さい分数のうち、約分できないものをすべてたすといくつですか。
   答えと解説を見る

   $42=2\times3\times7$。個数は $42\times\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{6}{7}=12$。和は 12÷2＝6。答え $6$

関連する公式

• 素因数分解と約数の個数
• 集合の要素の個数（ベン図）
• 最大公約数・最小公倍数
• 分数の計算のくふう
• 整数の性質
• オイラー関数とオイラーの定理（高校）

よくある質問

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