分数の計算のくふう（部分分数分解）の解き方と公式｜1/(A×B)を差に分ける理由・例題【中学受験】

分数の計算のくふう（部分分数分解）の公式

$\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\dfrac{1}{3\times4}+\cdots$ のように、分母がかけ算になっている分数をたくさん足す問題は、1つ1つ通分するととても大変です。そこで、1つの分数を2つの分数の差（ひき算）に分けます。これを部分分数分解（ぶぶんぶんすうぶんかい）といいます。分けると、となりどうしが消えて、最初と最後だけが残ります。

なぜ差に分けられるのか

① 差が1のとき：$\dfrac12-\dfrac13$ を計算してみます。通分すると $\dfrac36-\dfrac26=\dfrac16$ です。分母の6は「2×3」、分子の1は「3−2」です。上の図のように、1を6つに分けると、$\dfrac12$ は3こ分、$\dfrac13$ は2こ分。ちがいはちょうど1こ分で $\dfrac16$ になります。

どんな数でも同じです。$\dfrac1A-\dfrac1B$ を通分すると、分母は $A\times B$、分子は $B-A$（大きいほうから小さいほうをひいた数）になります。だから、差が1なら $\dfrac{1}{A\times B}$ がそのまま出てきます。

② 差が2以上のとき：$\dfrac13-\dfrac15=\dfrac{5}{15}-\dfrac{3}{15}=\dfrac{2}{15}$ です。分子が「5−3＝2」なので、ほしい $\dfrac{1}{15}$ の2倍になっています。だから最後に差の2でわれば $\dfrac{1}{3\times5}$ になります（下の図3）。

③ どうして消えるのか：$\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\left(\dfrac13-\dfrac14\right)+\left(\dfrac14-\dfrac15\right)$ では、$-\dfrac12$ と $+\dfrac12$、$-\dfrac13$ と $+\dfrac13$ …が打ち消し合います。数直線で見ると、0 から $\dfrac12$、$\dfrac12$ から $\dfrac23$ … とつながった区間を足しているので、合計は「最後の点 $\dfrac45$」です（$1-\dfrac15$ と同じ）。

中学受験（算数）での使い方

まず分母をかけ算に直し、かけ算の2つの数の差を見ます。差が1ならそのまま、差が2なら最後に÷2、差が3なら÷3です。$\dfrac12,\dfrac16,\dfrac1{12},\dfrac1{20},\dfrac1{30},\dfrac1{42}$ は、分母が $1\times2,\ 2\times3,\ 3\times4,\ 4\times5,\ 5\times6,\ 6\times7$ だと気づけるようにしましょう。

3つの数のかけ算（発展）

$\dfrac{1}{1\times2\times3}$ のような分数は、$\dfrac{1}{1\times2}-\dfrac{1}{2\times3}=\dfrac{3-1}{1\times2\times3}=\dfrac{2}{1\times2\times3}$ となるので、2つずつのかけ算の差を2でわると分けられます。

よくある間違い

• 差が2なのに÷2を忘れる：$\dfrac{1}{3\times5}$ は $\dfrac13-\dfrac15$ ではありません。$\dfrac13-\dfrac15=\dfrac{2}{15}$ なので、2でわる必要があります。
• 最後の分数をまちがえる：$\dfrac{1}{9\times10}$ で終わるとき、残るのは $-\dfrac1{10}$（大きいほうの数）です。$-\dfrac19$ ではありません。
• ひく順番を逆にする：小さい数の分数から大きい数の分数をひきます（$\dfrac12-\dfrac13$）。逆だと答えがマイナスになります。

練習問題

1. 中学受験 $\dfrac{1}{4\times5}+\dfrac{1}{5\times6}+\dfrac{1}{6\times7}+\dfrac{1}{7\times8}$ を計算しなさい。
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   $\left(\dfrac14-\dfrac15\right)+\cdots+\left(\dfrac17-\dfrac18\right)=\dfrac14-\dfrac18=\dfrac18$。答え $\dfrac18$
2. 中学受験 $\dfrac{1}{2\times4}+\dfrac{1}{4\times6}+\dfrac{1}{6\times8}+\dfrac{1}{8\times10}+\dfrac{1}{10\times12}$ を計算しなさい。
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   差は2なので $\left(\dfrac12-\dfrac1{12}\right)\div2=\dfrac{5}{12}\div2=\dfrac{5}{24}$。答え $\dfrac{5}{24}$
3. 中学受験 $\dfrac16+\dfrac1{12}+\dfrac1{20}+\dfrac1{30}+\dfrac1{42}+\dfrac1{56}+\dfrac1{72}$ を計算しなさい。
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   分母は $2\times3$ から $8\times9$ まで。$\dfrac12-\dfrac19=\dfrac{7}{18}$。答え $\dfrac{7}{18}$

関連する公式

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• 等差数列の和
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よくある質問

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