水そうとグラフの解き方と公式｜深さ＝体積÷底面積・グラフが折れる理由・仕切り板で平らになるわけ【中学受験】

うかるくん

水そうのグラフって、どうしてとちゅうで折れ曲がるの？

合格先生

底面積が変わる高さで折れるんだ。広くなると、1分で上がる深さが小さくなるぞ。

水そうとグラフの公式

水そうに一定の割合で水を入れる問題は、水の深さ＝入れた水の体積÷水面の面積（底面積）がもとになります。水そうの形が変わると、グラフのかたむきが変わります。

なぜそうなるのか

深さ＝体積÷底面積

水がたまった部分は直方体です。直方体の体積は「底面積×高さ」なので、高さ（深さ）は「体積÷底面積」です。毎分同じ量の水を入れると、底面積が同じ間は、深さも毎分同じだけ上がります。だからグラフはまっすぐな線になります。

底面積が大きいとグラフがゆるやかになるわけ

同じ 2 L（2000 cm³）の水でも、広い所に入れると、うすく広がるので、深さは少ししか上がりません。図1では、下の部分の底面積は 30×20＝600 cm²、上の部分は 50×20＝1000 cm²。1分で上がる深さは、下が 2000÷600＝$\dfrac{10}{3}$ cm、上が 2000÷1000＝2 cm です。底面積の比 600：1000＝3：5 の逆比 5：3 になっています（逆比）。グラフが折れ曲がる所は、水そうの形が変わる高さです。

仕切り板でグラフが平らになるわけ

図2で、左に入れた水は、深さが仕切り板の高さ 15 cm になると、仕切りをこえて右へ流れます。右が 15 cm になるまでは、入れた水は全部右へ行くので、左の深さは 15 cm のまま。これがグラフの平らな部分です。右も 15 cm になると、左右が1つの水そうになって、底面積が全体（60×20＝1200 cm²）に変わります。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

L のまま底面積でわってはだめだ。1 L＝1000 cm³ に直してから計算するんだぞ。

• L と cm³ をそのまま計算する：$1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3$ に直してから、底面積（cm²）でわる。
• 形が変わっても同じかたむきで計算する：底面積が変わる高さで、1分で上がる深さも変わる。
• 仕切り板の平らな部分を忘れる：となりに流れている間、入れている側の深さは変わらない。

練習問題

合格先生

深さは、入れた水の体積÷底面積だ。まずこれを使おう。

1. 中学受験 底面積が 500 cm² の直方体の水そうに、毎分 1.5 L の水を入れます。10 分後の水の深さは何 cm ですか。
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   1.5 L＝1500 cm³。10 分で 15000 cm³。15000÷500＝30。答え 30 cm
2. 中学受験 例題2の水そうで、水を毎分 2 L にしました。左の深さのグラフが平らになっているのは、何分後から何分後までですか。
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   左に 15 cm：6000÷2000＝3 分後。右に 15 cm：12000÷2000＝6 分かかるので 9 分後まで。答え 3 分後から 9 分後まで
3. 中学受験 底面が縦 25 cm、横 40 cm の直方体の水そうに、毎分 2.5 L の水を入れます。深さが 12 cm になるのは何分何秒後ですか。
   答えと解説を見る

   底面積 1000 cm²。12 cm で 12000 cm³。12000÷2500＝4.8 分＝4 分 48 秒。答え 4 分 48 秒後

関連する公式

• 逆比（底面積とかたむき）
• 点の移動とグラフ
• 単位の換算（L と cm³）
• 速さのグラフ（ダイヤグラム）
• 一次関数

よくある質問

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