ニュートン算の解き方｜はじめの量÷（減る速さ−増える速さ）の理由・窓口の数・牧草と牛の例題【中学受験】

うかるくん

ニュートン算って、増えながら減るからこんがらがるよ。

合格先生

1分ごとに「減らす速さ−増える速さ」ずつ減ると考えよう。旅人算の追いつきと同じ形だぞ。

ニュートン算の公式

ニュートン算は、増えながら減っていく量を考える特殊算です。行列（人が並び続ける中で窓口が入場させる）、牧草（草がのびる中で牛が食べる）、わき水のある井戸（水がわく中でポンプでくみ出す）などが代表です。名前は、物理学者ニュートンの著作に牧草と牛の問題があることに由来するといわれます。

なぜこの式になるのか

行列がなくなるまでに窓口が入場させた人数は、「はじめに並んでいた人」と「その間に新しく加わった人」の合計です（線分図の上と下が同じ長さ）。1分ごとに見ると、行列は「減らす速さ−増える速さ」ずつ短くなるので、はじめの量÷（減らす速さ−増える速さ）でなくなるまでの時間が出ます。

これは旅人算の追いつきと同じ形です。はじめの量が「はじめのきょり」、減らす速さと増える速さが「追う人と逃げる人の速さ」にあたります。

増える速さが分からないとき

入試では「窓口2つなら○分、3つなら△分」のように2つの条件から、はじめの量と増える速さを求めます。2つの条件の差をとると、はじめの量が消えて、増える速さだけが残ります（連立方程式の加減法と同じ）。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

2つの条件の差を「はじめの量」とするのは×だ。差は増えた量のほうだぞ。

• 増える分を忘れる：はじめの量だけを減らす速さで割らない。
• 2つの条件の差を「はじめの量」とする：差は増えた量（時間の差の分）。

練習問題

サクラちゃん

はじめの量＋増えた量＝減らした量、だね！

1. 中学受験 240 L の水が入った水そうに毎分 6 L ずつ水が入り、ポンプで毎分 14 L ずつぬきます。何分で空になりますか。
   答えと解説を見る

   $240div(14-6)=30$。答え $30$ 分
2. 中学受験 井戸に水が一定の割合でわき出ています。ポンプ3台なら36分、5台なら12分でくみつくせます。6分でくみつくすには何台必要ですか。
   答えと解説を見る

   1台1分を1とする。108と60の差48が24分のわき水なので毎分2、はじめ $108-72=36$。6分なら $36+12=48$、$48div6=8$。答え $8$ 台
3. 中学受験 開始時に 400 人並んでいて毎分 20 人ずつ加わります。1つの改札で毎分 30 人通すとき、改札2つなら何分で行列がなくなりますか。
   答えと解説を見る

   1分に $60-20=40$ 人減る。$400div40=10$。答え $10$ 分

関連する公式

• 仕事算（1日あたりの量で考える）
• 旅人算（追いつきと同じ形）
• 連立方程式の解き方
• つるかめ算

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）