往復と出会い・追いこしの解き方と公式｜n回目の出会いは和が1本分・3本分・5本分になる理由・ダイヤグラムの例題【中学受験】

うかるくん

往復しながら何回も出会うなんて、ぜんぶ動きを追わないとわからないよ…

合格先生

2人が進んだ道のりの和を見よう。両はしから出発なら、出会うのは和が1本分・3本分・5本分のときだ。

往復の出会い・追いこしの公式

2人が道 PQ を何度も往復するとき、「何回目に出会うのは何分後か」を、いちいち動きを追わずに求める方法があります。カギは2人が進んだ道のりの合計（和）と差です。PQ の長さを「1本分」とします。

なぜ「1本分・3本分・5本分」なのか

両はしから向かい合って出発すると、1回目に出会うまでに2人は合わせてPQ 1本分進みます（旅人算の出会い）。

出会ったあと、兄は Q まで行ってもどり、弟は P まで行ってもどります。2回目に出会うのは、2人が「出会った場所 → はし → もどって出会う」まで進んだときです。このとき2人の道のりを合わせると、ちょうどPQ 2本分になります。兄が出会った場所から Q までと、弟がそこから P までを合わせると1本分、兄が Q から次に出会う場所までと、弟が P からその場所までを合わせると、もう1本分だからです。

だから2回目までの合計は 1＋2＝3本分、3回目までは 5本分、…と2本分ずつふえます。

同じはし P から出発するときは、はじめに2人が同じ場所にいるので、1回目に向かい合って出会うのは、2人の合計が往復1回分（2本分）になったとき。そこから2本分ずつふえるので、4本分・6本分…です。

追いこしは「速いほうが、おそいほうより何本分多く進んだか」で決まるので、差を見ます。両はしから出発すると、はじめにはなれている1本分を追いつめるので、差が1本分・3本分…のときです。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

両はしから出発したとき、2回目の出会いは和が2本分ではない。3本分だ。出会うたびに2本分ずつふえるぞ。

• 2回目の出会いも「和が2本分」とする：両はしから出発なら、2回目は3本分。出会うたびに2本分ずつふえる。
• 両はしから出発と、同じはしから出発を取りちがえる：両はしからは奇数本分、同じはしからは偶数本分。
• 追いこしも出会いの回数に数える：「向かい合って出会う」は和、「追いこす」は差。問題文がどちらを数えているか読む。

練習問題

サクラちゃん

両はしからは奇数本分、同じはしからは偶数本分だね！

1. 中学受験 900m はなれた P と Q の間を、A は P から分速 70m、B は Q から分速 80m で同時に出発して何度も往復します。2人が向かい合って2回目に出会うのは何分後で、P から何 m の地点ですか。
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   和が3本分＝2700m。2700÷150＝18（分後）。A は 70×18＝1260m で、Q まで 900m、そこから 360m もどるので P から 540m。答え 18分後、P から $540$ m
2. 中学受験 500m はなれた P と Q の間を、兄は分速 60m、弟は分速 40m で、P から同時に出発して往復します。2人がはじめて向かい合って出会うのは何分後で、P から何 m の地点ですか。
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   和が2本分＝1000m。1000÷100＝10（分後）。兄は 600m 進んで Q から 100m もどった所。答え 10分後、P から $400$ m
3. 中学受験 400m はなれた P と Q の間を、A は P から分速 30m、B は Q から分速 50m で同時に出発して往復します。向かい合って5回目に出会うのは何分後ですか（追いこしは数えません）。
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   和が9本分＝3600m。3600÷80＝45（分後）。答え $45$ 分後

関連する公式

• 旅人算（出会いは速さの和・追いつきは速さの差）
• 速さのグラフ（ダイヤグラム）
• 速さと比
• 速さ・時間・道のりの公式
• 歩幅と歩数
• 通過算

よくある質問

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• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）