分数関数とは？グラフと漸近線をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$y=\dfrac{2x+1}{x-1}$ って、どんなグラフかまったく想像できません…

合格先生

分子を分母でわると $y=\dfrac{3}{x-1}+2$。これは反比例 $y=\dfrac3x$ をずらしただけなんだ。中学のグラフがわかれば、もうかけるよ。

やさしく言うと

分数関数は、分母に $x$ が入っている関数です。いちばん基本の形は、中学で習った反比例 $y=\dfrac{a}{x}$ です。高校では、これを上下左右にずらした $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ の形をおもに学びます。

• 人数で割るお金：貸し切りバス代 30000 円をみんなで割り、1 人 500 円の入場料も払うとき、$x$ 人で行くと 1 人分は $y=\dfrac{30000}{x}+500$ 円です。人数がふえるほど安くなりますが、500 円より安くはなりません。
• 水でうすめる食塩水：食塩 10 g をとかした 100 g の食塩水に、水を $x$ g 加えると、こさは $y=\dfrac{1000}{x+100}$ % です。いくら水を足しても 0% にはなりません。
• 同じきょりを進む時間：120 km を時速 $x$ km で進むと、かかる時間は $y=\dfrac{120}{x}$ 時間。速くするほど短くなりますが、0 時間にはなりません。

どれも「ある値に限りなく近づくけれど、決してとどかない」という特ちょうがあります。この「近づく先」の直線が漸近線です。

まとめると、分数関数は反比例のグラフをずらしたもので、グラフは 2 本の漸近線をもつ双曲線になります。

分数関数の例

$x$ の分数式で表される関数を分数関数といいます。高校では、とくに $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$（$c\ne0$、$ad-bc\ne0$）の形をくわしく学びます。$ad-bc=0$ だと約分できてしまい、グラフは直線の一部になります。

図で見る

$y=\dfrac{3}{x-1}+2$ のグラフは、$y=\dfrac3x$ のグラフを $x$ 方向に 1、$y$ 方向に 2 だけ平行移動したものです。漸近線も一緒に動いて、$x=1$ と $y=2$ になります。

うかるくん

$x-1$ なのに、右に 1 ずれるんですか？ 左じゃなくて？

合格先生

$x=1$ で分母が 0 になる、と考えるとわかりやすいよ。分母が 0 になる場所が縦の漸近線だから、$x=1$ の位置、つまり右に 1 だ。二次関数の平行移動と同じルールだね。

$k$ の符号によって、グラフのある場所が変わります。$k>0$ なら漸近線の交点から見て右上と左下、$k<0$ なら左上と右下です。

グラフのかき方

$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ の形は、分子を分母でわって $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ の形に直してから考えます。手順は次のとおりです。

1. 分子を「分母 × 数 ＋ 余り」に分ける（例：$2x+1=2(x-1)+3$）。
2. $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ の形にして、漸近線 $x=p$、$y=q$ を点線でかく。
3. $k$ の符号で、グラフがどの 2 つの部分にあるかを決める。
4. $x$ 軸・$y$ 軸との交点を求めて、なめらかな曲線でかく。

グラフは直線 $y=x$ について折り返しても同じ形の双曲線になるので、分数関数の逆関数もまた分数関数です。

サクラちゃん

分母が 0 になる x が縦の漸近線、わり算の「商」が横の漸近線ね！

テスト・入試ではこう出る

分数関数は、高校の数学Ⅲで無理関数と一緒に学びます。よく出るのは、漸近線・定義域・値域を答える問題、グラフと直線の交点を求める問題、そしてグラフを使って解く分数不等式です。逆関数や合成関数と組み合わせた問題も定番です。

まちがえやすい点

合格先生

定義域から分母が 0 になる x を除く！ グラフは漸近線にふれないよ。

• 定義域から、分母が 0 になる $x$ を除き忘れる：$y=\dfrac{3}{x-1}+2$ の定義域は「すべての実数」ではなく $x\ne1$ です。
• 平行移動の向き：$y=\dfrac{3}{x+1}$ は $y=\dfrac3x$ を左に 1 ずらしたものです（分母が 0 になるのは $x=-1$）。
• グラフが漸近線にふれるとかく：$y=\dfrac{k}{x-p}+q$ のグラフは、漸近線 $x=p$、$y=q$ と交わりません。$y=q$ になるには $\dfrac{k}{x-p}=0$ が必要ですが、$k\ne0$ なのでありえません。
• 不等式の両辺に $x$ をそのままかける：$\dfrac2x>x-1$ で両辺に $x$ をかけると、$x<0$ のとき不等号の向きが変わります。グラフで考えるか、$x^2$（正の数）をかけるなどして処理します。
• 値域を端の値だけで決める：区間に縦の漸近線がふくまれていると、$y$ はどこまでも大きく（小さく）なります。区間の中に $x=p$ がないか、先に確かめましょう。

ことばの意味

分数関数は、文字どおり分数の形の式で表される関数です。英語では、多項式の分数で表される関数を rational function（有理関数）といいます。グラフの名前の双曲線は、2 つに分かれた曲線であることを表しています。$y=\dfrac kx$ のように 2 本の漸近線が直角に交わる双曲線は、直角双曲線ともよばれます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 分数関数・無理関数
• 比例・反比例の式
• 図形の移動（平行・回転・対称移動）
• 2次曲線（放物線・楕円・双曲線）

あわせて覚えたい用語

• 反比例
• 漸近線
• 無理関数

よくある質問