いもづる算の解き方と公式｜最小公倍数ずつ交換して答えを全部出す理由・切手の組み合わせの例題【中学受験】

うかるくん

50円と80円で1000円を作る方法、どうやって全部見つけるの？

合格先生

1つ見つけたら、50円8枚と80円5枚を交換するんだ。どちらも400円、50と80の最小公倍数だぞ。

いもづる算の解き方

「50円切手と80円切手を合わせて1000円分買う」のように、2種類の数を組み合わせて決まった合計を作る問題をいもづる算といいます。答えが1つ見つかると、つるを引くといもが次々に出てくるように、ほかの答えが決まった間かくで続けて出てくるのでこう呼ばれます。

なぜ最小公倍数ずつ交換できるのか

50円を何枚かへらし、80円を何枚かふやして、合計を変えないためには、へらした金額とふやした金額が同じでなければなりません。50円玉の金額は50の倍数、80円玉の金額は80の倍数なので、同じになるのは50と80の公倍数のときです。いちばん小さいのは最小公倍数の400円で、50円なら8枚、80円なら5枚です。

だから、1つ答えが見つかれば、そこから「50円を8枚へらし、80円を5枚ふやす」をくり返すと、すべての答えがもれなく出てきます。400円より小さい金額では交換できないので、間の答えはありません。

最初の1つの見つけ方

金額の大きいほう（個数が少なくてすむほう）を 1, 2, 3, … と書き出し、残りの金額が小さいほうで割り切れるかを調べます。30円と50円で470円なら、50円の個数ごとに残りを30で割ってみると、1個のとき420円（30円14個）で見つかります。あとは30と50の最小公倍数150円ずつ、つまり50円を3個ふやし、30円を5個へらすと続きます。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

60円と90円なら、60×90円ずつではない。最小公倍数の180円ずつ交換しないと、答えを飛ばすぞ。

• 2つの金額をかけた数ずつ交換する：60円と90円なら $60\times90$ ではなく、最小公倍数180円ずつ（3本と2本）。かけた数で交換すると答えを飛ばしてしまう。
• 「1枚以上」の条件を忘れる：0枚の組み合わせを数えない。
• へらす・ふやすを逆にする：安いほうを多くへらし、高いほうを少なくふやす。

練習問題

サクラちゃん

1つ見つければ、あとはいもづる式に出てくるね！

1. 中学受験 1個70円のりんごと1個40円のみかんを、どちらも1個以上買って、ちょうど600円にします。買い方は何通りありますか。
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   りんご4個で280円、残り320円＝みかん8個。70と40の最小公倍数280円ずつ、りんごを4個ふやしみかんを7個へらすと（8個, 1個）。次はみかんがマイナス。（4, 8）と（8, 1）の2通り。答え 2通り
2. 中学受験 30円切手と50円切手を、どちらも1枚以上使って、ちょうど400円にします。切手の枚数の合計がいちばん多いのは、それぞれ何枚のときですか。
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   50円2枚で残り300円＝30円10枚。最小公倍数150円ずつで（5枚, 5枚）も答え。合計は12枚と10枚なので、いちばん多いのは30円10枚・50円2枚。答え 30円10枚、50円2枚
3. 中学受験 80円のパンと120円のパンを、どちらも1個以上買って、ちょうど1200円にします。買い方は何通りありますか。
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   120円2個で残り960円＝80円12個。最小公倍数240円ずつ、80円を3個へらし120円を2個ふやす：（12, 2）、（9, 4）、（6, 6）、（3, 8）。次は80円が0個。答え 4通り

関連する公式

• 最大公約数・最小公倍数（交換する金額）
• つるかめ算（個数の合計も決まっているとき）
• 一次不定方程式（$ax+by=c$ の整数解。大学受験）
• 消去算
• ユークリッドの互除法

よくある質問

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• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）