条件整理・推理の解き方と公式｜リーグ戦の試合数 n×(n−1)÷2・勝ち数の合計・うそつき問題の考え方と例題【中学受験】

うかるくん

5チームの総当たり戦って、5×4＝20試合じゃないの？

合格先生

AとBの試合を、AからもBからも数えているんだ。同じ試合を2回数えたから、2でわって10試合だ。

条件整理・推理の解き方

「だれが何位か」「どのチームが何勝したか」「うそをついているのはだれか」を、いくつかの条件から決める問題が条件整理・推理です。頭の中だけで考えず、表に書いて整理するのがいちばんのコツです。

なぜ試合数は n×(n−1)÷2 なのか

5チームのリーグ戦では、どのチームも自分以外の4チームと1回ずつ試合をします。$5\times4=20$ と数えると、「AとBの試合」を A から見て1回、B から見てもう1回、と同じ試合を2回数えています。だから2でわって $5\times4\div2=10$ 試合です。チームを五角形の頂点にして、2チームを線で結ぶと、線（辺と対角線）がちょうど10本あります。

対戦表で見ると、ななめの線（自分どうし）より右上のマスが1試合ずつに対応します。右上のマスは $4+3+2+1=10$ 個で、これは三角数です。また、引き分けがなければ1試合で勝つチームが1つ、負けるチームが1つなので、全チームの勝ち数を足すと試合数と同じになります。

うそつき問題は「仮定して矛盾をさがす」

「1人だけうそ」のような問題は、答えの候補を1つずつ仮定して、発言が本当（○）かうそ（×）かを表にします。うその数が条件どおりになる候補だけが残ります。発言どうしが反対のことを言っていれば（「Bはうそつき」と言う人と B）、その2人のうち一方は必ずうそなので、残りの人は全員本当と分かり、早く解けます。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

引き分けがなければ、勝ち数の合計は試合数と同じだ。チーム数をかけてはだめだぞ。

• 試合数を $n\times(n-1)$ のままにする：同じ試合を2回数えている。最後に2でわる。
• 勝ち数の合計をチーム数×試合数と考える：引き分けがなければ、勝ち数の合計は試合数と同じ。
• 1つの候補で合ったら、ほかを確かめない：答えが1つに決まるか、残りの候補も表で確かめる。

練習問題

うかるくん

表に○と×を書きこんで整理するぞ！

1. 中学受験 6チームでリーグ戦（総当たり戦）をすると、全部で何試合ですか。
   答えと解説を見る

   $6\times5\div2=15$。答え 15試合
2. 中学受験 A, B, C, D の4人のうち1人が1位でした。A「わたしは1位ではない」、B「C が1位だ」、C「D が1位だ」、D「C はうそをついている」。1人だけがうそをついているとき、1位はだれですか。
   答えと解説を見る

   C と D は反対のことを言うので一方がうそ。だから A と B は本当で、B の発言から1位は C。確かめ：C が1位なら、うそは C だけ。答え C
3. 中学受験 5チームのリーグ戦（引き分けなし）で、A は4勝、B は3勝、C, D, E の勝ち数はみな同じでした。C は何勝ですか。
   答えと解説を見る

   試合数 $5\times4\div2=10$。C, D, E の合計は $10-4-3=3$ なので、C は1勝。答え 1勝

関連する公式

• 三角数・四角数（試合数は三角数）
• 順列と組み合わせ（2チームの選び方）
• 樹形図と数え上げ（場合分けをもれなく）
• 集合の要素の個数（ベン図）
• 鳩の巣原理（部屋割り論法）

よくある質問

あわせて読みたい

• 合格大作戦 算数・数学公式辞典（公式一覧）