色の塗り分けの解き方と公式｜かけ算で数える理由・塗る順番・場合分けの例題【中学受験】

色の塗り分けの解き方と公式｜かけ算で数える理由・塗る順番・場合分けの例題【中学受験】

合格大作戦 算数・数学公式辞典 › 場合の数・確率

中学受験

塗り方=(1番目に使える色の数)×(2番目)×⋯\text{塗り方}=(\text{1番目に使える色の数})\times(\text{2番目})\times\cdots

たくさんとなり合う所から塗る。数が変わるときは場合分け

この公式のポイント

  • 塗る順番を決めて使える色の数をかける
  • たくさんとなり合う所から塗る
  • 1周する形は同じ色かちがう色かで場合分け
  • 点で接する所はふつう「となり」ではない
うかるくん

うかるくん

塗り分けって、どの区画から塗ってもかけ算でいいの？

合格先生

合格先生

いちばん多くとなり合う所から塗るんだ。使える色の数が決まるから、かけ算で数えられるぞ。

色の塗り分けの公式

いくつかに分かれた図形を、となり合う所が同じ色にならないように塗る方法が何通りあるかを数える問題です。基本は、塗る順番を決めて、それぞれの区画で使える色の数をかけ算することです。

塗り分けの数え方

  • 塗る順番を決め、各区画で使える色の数をかける
  • 使える色＝全部の色 −（すでに塗ったとなりの区画の色の数）
  • いちばん多くの区画ととなり合う所から塗る
  • 使える色の数が場合によって変わるときは、同じ色か、ちがう色かで場合分けする
  • 点だけで接する所は、ふつう「となり」とは考えない（問題文で確かめる）
左から順に塗る（色の例：赤・青・黄・青）A3通り好きな色B2通り左以外C2通り左以外D2通り左以外3 × 2 × 2 × 2 ＝ 24 通り
横に並んだ区画は、左から順に「左の区画の色以外」を選ぶ

なぜかけ算で数えられるのか

図1の A・B・C・D を、赤・青・黄の3色で塗ります。A は3色のどれでもよいので3通り。B は A ととなり合うので、A の色以外の2通り。ここで大事なのは、A が何色でも、B の選び方はいつも2通りだということです。

A が赤なら B は青か黄、A が青なら B は赤か黄…と、A の3通りそれぞれに B の2通りがつながるので、A と B の塗り方は 3×2=63\times2=6（通り）。樹形図をかくと、1本の枝から2本ずつ同じ数の枝が分かれる形になります（樹形図）。C も D も「左の色以外」でいつも2通りなので、3×2×2×2=243\times2\times2\times2=24（通り）です。

かけ算が使えるのは、前の区画の色が何であっても、次の区画で使える色の数が同じときだけです。下の旗の図で、A を最後に塗ろうとすると、B・C・D が何色を使ったかで A に使える色の数が変わってしまい、かけ算ができません。だから、たくさんの区画ととなり合う所を先に塗ります。

A①4通りB②3通り（A以外）C③2通り（A・B以外）D④2通り（A・C以外）4 × 3 × 2 × 2 ＝ 48 通りいちばん多くの区画ととなり合うAから塗る
A はほかの3つすべてととなり合う。A を最初に塗ると、かけ算で数えられる

まわりがぐるりと1周する形では、最後の区画が「最初の区画」ともとなり合うので、使える色の数が場合で変わります。そのときは、はなれた2つの区画（下の図の B と D）が同じ色か、ちがう色かで分けて数えます。

ABCDEA：4通り → まわりは残りの3色B と D が同じ色：B3 × C2 × D1 × E2 ＝ 12B と D がちがう色：B3 × C2 × D1 × E1 ＝ 64 × (12 ＋ 6) ＝ 72 通り
まわりが1周する形は、B と D が同じ色かどうかで場合分け

中学受験（算数）での使い方

中学受験

例題1（横に並ぶ）

図1のように横に並んだ4つの区画 A, B, C, D を、赤・青・黄の3色で塗ります。となり合う区画は別の色にします。同じ色を何回使ってもよいとき、塗り方は何通りですか。

解き方

A は3通り。B, C, D は、それぞれ左の区画の色以外の2通り。

3×2×2×2=243\times2\times2\times2=24（通り）。

答え　2424 通り

中学受験

例題2（たくさんとなり合う所から）

図2の旗の A, B, C, D を、4色の中から選んで塗ります。となり合う区画は別の色にします。同じ色を何回使ってもよいとき、塗り方は何通りですか。

解き方

A は B, C, D すべてととなり合うので最初に塗ります。A は4通り。

B は A 以外の3通り、C は A と B 以外の2通り、D は A と C 以外の2通り（D と B はとなり合わないので、B と同じ色でもよい）。

4×3×2×2=484\times3\times2\times2=48（通り）。

答え　4848 通り

中学受験

例題3（まわりが1周する形）

図3のように、円 A のまわりを B, C, D, E の4つに分けた図形を、4色の中から選んで塗ります。となり合う区画は別の色にします。同じ色を何回使ってもよいとき、塗り方は何通りですか。

解き方

A は4通り。まわりの B, C, D, E は A 以外の3色で塗ります。B は3通り、C は2通り。

(1) D が B と同じ色のとき：D は1通り。E は D（＝B）以外の2通り。3×2×1×2=123\times2\times1\times2=12。

(2) D が B とちがう色のとき：D は B, C 以外の1通り。E は B, D 以外の1通り。3×2×1×1=63\times2\times1\times1=6。

合わせて 4×(12+6)=724\times(12+6)=72（通り）。

答え　7272 通り

よくある間違い

腕でバツを作る合格先生

合格先生

ぐるりと1周する形で、最後の区画をそのままかけてはだめだ。同じ色かちがう色かで場合分けするんだぞ。

  • 塗る順番を考えずにかけ算する：たくさんの区画ととなり合う所を後回しにすると、使える色の数が場合で変わり、かけ算できません。
  • 1周する形で最後の区画をまちがえる：E は D だけでなく B ともとなり合います。同じ色かどうかで場合分けします。
  • 点で接する所をとなりとして数える：ふつう、辺で接する所だけが「となり」です。

練習問題

「ここが大事！」と説明する合格先生

合格先生

塗る順番を決めてから数えるんだぞ。

  1. 中学受験 横に並んだ5つの区画を3色で塗ります。となりは別の色、同じ色を何回使ってもよいとき、塗り方は何通りですか。
    答えと解説を見る3×2×2×2×2=483\times2\times2\times2\times2=48。答え 48通り
  2. 中学受験 横に並んだ3つの区画を4色で塗ります。となりは別の色、同じ色を何回使ってもよいとき、塗り方は何通りですか。
    答えと解説を見る4×3×3=364\times3\times3=36。答え 36通り
  3. 中学受験 正方形をたて・横に2つずつ、4つの正方形に分けました（左上A、右上B、右下C、左下D）。3色で、辺で接する所が別の色になるように塗ります（ななめの A と C、B と D は点で接するだけなので同じ色でもよい）。塗り方は何通りですか。
    答えと解説を見るA は3通り、B は2通り。C が A と同じ色なら D は2通りで 3×2×2=123\times2\times2=12。C が A とちがう色なら C は1通り、D は1通りで 3×2×1=63\times2\times1=6。合わせて18。答え 18通り

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よくある質問

色の塗り分けはどう数えますか？

塗る順番を決め、それぞれの区画で使える色の数（全部の色から、すでに塗ったとなりの区画の色をひいた数）をかけ算します。

どこから塗ればいいですか？

いちばん多くの区画ととなり合う所から塗ります。そうすると、あとの区画で使える色の数が決まり、かけ算で数えられます。

かけ算できないのはどんなときですか？

前に塗った色によって、次の区画で使える色の数が変わるときです。ぐるりと1周する形などでは、同じ色かちがう色かで場合分けします。

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出典・参考

    最終更新：2026年10月11日／作成：大学受験合格大作戦