モンティ・ホール問題をわかりやすく｜変えると確率2/3になる理由を数え上げ・条件付き確率・ベイズの定理で証明（カード版）
この記事の結論
- 答え：Aのままなら1/3、Bに変えると2/3。選び直したほうが当たる確率は2倍
- 理由：司会者は×のカードを知っていて、必ず×をめくる。この「情報」が、選ばなかった側に確率を集める
- ただし司会者が知らずに偶然×をめくった場合は、AもBも1/2になる。条件で答えが変わるのがポイント
以下は、有名なモンティ・ホール問題をカードの問題にしたものです。まずは自分で考えてみてください。記事の後半で、答えを数え上げ・条件付き確率・ベイズの定理の3つの方法で証明します。
確率は変わる！？モンティ・ホール問題
ABCの3枚のカードがあります。裏面に〇が描かれたカードが1枚、残りの2枚のカードには×が描かれています。
ここで〇のカードを当てるゲームをします。
あなたはAのカードを選びました。（この時点であなたが〇を引き当てる確率は1/3です）
ここで私がCのカードをひっくり返してしまい、裏面が×であることがわかってしまいました。
今なら、あなたはカードを選びなおすことができます。Aのカードを選んだままでもいいですし、Bのカードに変更してもいいです。
さて、あなたはどうしますか？ この時点での
Aのカードの裏面に〇が描かれている確率
Bのカードの裏面に〇が描かれている確率
をそれぞれ考えてみましょう！
解答・解説
Aのカードの裏面に〇が描かれている確率は1/3のまま
Bのカードの裏面に〇が描かれている確率は2/3になる
当初、ABCのカードの裏面に〇が描かれている確率はそれぞれ1/3でした。Cのカードの裏面が×であることが分かったので、裏面に〇が描かれているのはAかBのカードになります。
Cのカードの可能性が消えた今、Aのカード、Bのカードの裏面に〇が描かれている確率はそれぞれ1/2に変化したと考えていいのでしょうか？
もし1/2のままなら、Aのカードから変更する必要はありませんが、Aのカードの確率が1/3のままでBのカードの確率が2/3になっているのであればカードの選択をBに変更することで確率は2倍になります。
カード3枚で考えるとわかりにくいですが、カード10枚、100枚、1000枚で考えるとわかりやすいかもしれません。
仮にカードが1000枚あり、1枚だけ〇が描かれたカードを当てるゲームをするとします。
あなたはAのカードを選びました。この段階であなたが〇を引き当てる確率は1/1000です。
残りの999枚のカードの中に〇が入っている確率は999/1000です。
ここで私が999枚のカードのうち998をひっくり返しすべて×だったとしましょう。
残りのカードはあなたが選んだAのカードか、私が残した1枚のカードの2択です。
さあ、あなたならどっちのカードを選びますか？
（有名なモンティ・ホール問題をカードの問題にしてみました。）
答え：Bに変えると確率は2/3
答えは、Aのカードの裏が○の確率は1/3のまま、Bのカードは2/3です。Bに変えたほうが当たる確率は2倍になります。カードを1000枚にした場合も、答えは同じ考え方で、Aは1/1000のまま、残した1枚は999/1000。迷わず選び直すべきです。
ここからは、なぜそうなるのかを3つの方法で確かめます。
証明1：すべての場合を数え上げる
あなたはAを選んでいます。○の場所はA・B・Cのどれも1/3ずつ。司会者（私）は○の場所を知っていて、あなたが選んでいない×のカードをめくります。○がAのときは、BとCのどちらも×なので、1/2ずつの確率でどちらかをめくります。
| ○の場所 | 司会者がめくる | その確率 | Aのまま | Bに変える |
|---|---|---|---|---|
| A | B | 1/6 | 当たり | （Cがめくられない） |
| A | C | 1/6 | 当たり | はずれ |
| B | C | 1/3 | はずれ | 当たり |
| C | B | 1/3 | はずれ | （Cがめくられない） |
問題ではCがめくられたので、表のうち「Cをめくる」の2行だけを見ます。○がAの場合は1/6、○がBの場合は1/3。比べると 1/6：1/3 ＝ 1：2 なので、Aが○の確率は1/3、Bが○の確率は2/3です。
証明2：条件付き確率（ベイズの定理）
「Cがめくられた」という条件のもとで、Aが○である確率を求めます。
P(Cをめくる) ＝ 1/3×1/2 ＋ 1/3×1 ＋ 1/3×0 ＝ 1/2
P(Aが○ | Cをめくった) ＝ P(Aが○ かつ Cをめくる) ÷ P(Cをめくる)
＝ (1/3×1/2) ÷ 1/2 ＝ 1/3
P(Bが○ | Cをめくった) ＝ (1/3×1) ÷ 1/2 ＝ 2/3
これがベイズの定理を使った計算です。新しい情報（Cがめくられた）を手に入れたとき、確率がどう更新されるかを正確に計算できます。高校では数学Aの条件付き確率で学ぶ考え方です。
証明3：枚数を増やすと直感でわかる
| カードの枚数 | 最初に選んだ1枚 | 司会者が残した1枚 |
|---|---|---|
| 3枚 | 1/3 | 2/3 |
| 10枚 | 1/10 | 9/10 |
| 100枚 | 1/100 | 99/100 |
| 1000枚 | 1/1000 | 999/1000 |
1000枚から1枚を選んだとき、それが○である確率は1/1000。○は、ほぼ確実に残りの999枚の中にあります。司会者は○の場所を知ったうえで、999枚のうち998枚の×をめくり、1枚だけを残します。つまり残された1枚は、「残り999枚の代表」です。こう考えると、選び直したほうがよいことが直感的にわかります。
要注意：司会者が「知らずに」めくった場合は1/2
同じ「Cをめくったら×だった」でも、司会者が○の場所を知らずに、BかCを1/2ずつの確率で偶然めくった場合は、答えが変わります。
| ○の場所 | Cをめくって×が出る確率 |
|---|---|
| A | 1/3×1/2 ＝ 1/6 |
| B | 1/3×1/2 ＝ 1/6 |
| C | 0（めくると○が出てしまう） |
AとBが 1/6：1/6 ＝ 1：1 なので、どちらも1/2です。この場合は選び直しても確率は変わりません。モンティ・ホール問題で2/3になるのは、司会者が答えを知っていて、必ず×をめくるというルールがあるからなのです。
1万回やってみた（プログラムで実験）
| 作戦 | 当たった回数 | 当たった割合 | 理論値 |
|---|---|---|---|
| 最初のまま | 3284 | 32.8% | 1/3（約33.3%） |
| 選び直す | 6716 | 67.2% | 2/3（約66.7%） |
乱数を使って1万回くり返すと、選び直す作戦のほうがおよそ2倍当たり、理論どおりの結果になりました（乱数の種を固定したプログラムで計算）。
そっくりな「3囚人問題」
モンティ・ホール問題と数学的に同じ構造の問題に、3囚人問題があります。アメリカの数学ライター、マーティン・ガードナーが1959年に雑誌のコラムで紹介しました。
A・B・Cの3人の囚人のうち、1人だけが恩赦される。Aは看守に「BとCのうち、恩赦されない1人を教えて」と頼み、看守は「Bは恩赦されない」と答えた。Aが恩赦される確率は？
看守は答えを知っていて、必ず恩赦されない人の名前を言います。モンティ・ホール問題と同じように計算すると、Aは1/3のまま、Cが2/3になります。
モンティ・ホール問題の名前と歴史
- 名前は、アメリカのテレビ番組「Let's Make a Deal」の司会者モンティ・ホールから。番組では3つの扉のうち1つの奥に車（当たり）、2つの奥にヤギ（はずれ）がある、という形で語られます。
- 1975年、統計学者のスティーブ・セルビンが専門誌への投書でこの問題を紹介しました。
- 1990年、アメリカの雑誌のコラムでマリリン・ボス・サバントが「選び直すべき」と答えたところ、多くの読者から反論の手紙が届き、大きな論争になりました。正しかったのは彼女のほうです。
受験に生かすポイント
- 確率の問題では、「誰が何を知っていて、どんなルールで行動したか」を正確に読み取る。
- 迷ったら、樹形図や表ですべての場合を書き出す。
- 「残った2つだから1/2」という直感はまちがえやすい。条件付き確率の式で確かめる。
よくある質問
モンティ・ホール問題の答えは？
選び直したほうがよく、当たる確率は最初のままなら1/3、選び直すと2/3です。
なぜ1/2ではないのですか？
司会者は○の場所を知っていて、必ず×をめくるからです。最初に選んだカードが当たりの確率1/3は変わらず、残りの2/3が選ばなかったもう1枚に集まります。
司会者が知らずにめくった場合はどうなりますか？
偶然×が出た場合は、最初に選んだカードも残りのカードも当たる確率は1/2ずつになります。
モンティ・ホール問題は高校数学のどこで習いますか？
数学Aの「場合の数と確率」の条件付き確率で考えることができます。
3囚人問題とは何ですか？
3人の囚人のうち1人だけが恩赦される状況で、看守の情報によって確率がどう変わるかを考える問題です。モンティ・ホール問題と数学的に同じ構造をしています。
モンティ・ホール問題の名前の由来は？
アメリカのテレビ番組「Let's Make a Deal」の司会者モンティ・ホールの名前からつけられました。
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出典・参考
- 確率の計算と1万回の実験は、当サイトのプログラムで計算しています
- Steve Selvin, letters to the editor, The American Statistician (1975)
- Martin Gardner, "Mathematical Games", Scientific American (1959)（3囚人問題）
最終更新：2026年10月8日／作成：大学受験合格大作戦
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