複素数平面は数学C｜新課程で何が変わった？2014年当時と今・浪人生の注意点

複素数平面とは？（複素平面・ガウス平面）

複素数平面とは、複素数 z＝a＋bi（a，b は実数、i は虚数単位で i²＝−1）を、座標平面の点（a，b）として表したものです。横軸を実軸、縦軸を虚軸といいます。教科書では「複素数平面」、昔の本や大学の数学では「複素平面」、数学者ガウスの名前から「ガウス平面」ともよばれます。どれも同じものです。

数学Ⅱで習う複素数は、「2乗すると−1になる数」という計算の道具でした。複素数平面を使うと、複素数を点や矢印として目で見ることができます。すると、複素数の足し算は平行移動、かけ算は回転と拡大という図形の動きになります。ここが複素数平面のいちばんおもしろいところです。

用語の意味は数学用語辞典の「複素数平面とは？」「虚数・複素数とは？」に、例題つきでまとめています。

2014年当時の記事：「浪人生は要注意！新課程では複素平面」

ここからは、2014年3月4日に書いた元の記事です（日付は2014年のものです）。

2014年の国公立大学入試前期日程が終わりました。

東大の合格発表掲示が来年から3年間中止

すでに浪人が決まり、来年に向けて始動された受験生もいます。来年からは「新指導要領」ですので、浪人生は注意してください。

特に注意してほしいのは「複素平面」です。文部科学省の高等学校学習指導要領解説（数学編）には、数学Ⅲの「複素数平面」について次のように書かれています（抜粋）。

(ア) 複素数の図表示
ここでは，座標平面上の点に複素数を対応させることにより複素数平面を導入し，複素数平面上の各点が複素数を表していることを理解させる。その際，「数学Ｂ」の「ベクトル」を履修していれば，複素数の和，差及び実数倍の図表示を，ベクトルの和，差及び実数倍と関連付けて扱うこともできる。
また，複素数 z の絶対値を r，偏角の大きさを θ として，z の極形式 z＝r（cosθ＋i sinθ）を導く。さらに，二つの複素数の積，商が
z₁z₂＝r₁r₂{cos（θ₁＋θ₂）＋i sin（θ₁＋θ₂）}
z₁/z₂＝（r₁/r₂）{cos（θ₁－θ₂）＋i sin（θ₁－θ₂）}
で与えられることを，三角関数の加法定理を用いて導き，複素数の積，商の幾何学的な意味を理解させる。特に，z に i をかけることは，点 z を原点のまわりに 90°回転させることになることを理解させる。これらにより，複素数の図的表象が定着し複素数も実数と同様，仮想の数でないことが分かる。

(イ) ド・モアブルの定理
極形式による複素数の積の拡張として，ド・モアブルの定理（cosθ＋i sinθ）ⁿ＝cos nθ＋i sin nθ を導く。また，簡単な場合について，二項方程式 zⁿ－a＝0 の解を複素数平面上に図示し，累乗根をその幾何学的意味と関連付けて扱う。これらの扱いを通して，複素数の諸演算が平面上の図形の移動などと関連付けられることを認識させるとともに，極形式による表現のよさを理解させる。
さらに，平面図形への応用を扱うことも考えられる。その際，いたずらに計算の複雑なものを取り上げるのではなく，複素数の利点を十分に活用できるものを選ぶよう配慮する。

（2014年当時の関連記事：2015年（平成27年）センター試験日程と旧教育課程履修者に対する経過措置）

複素数平面 新課程・旧課程の移り変わり

2014年の記事から12年たち、教育課程はもう一度変わりました。今の高校生・浪人生のために、複素数平面が高校数学のどこにあったかを年表にします。

高校の学習指導要領は、だいたい10年ごとに改訂されます。新しい課程は、決められた年度に高校1年生になった人から順に使われます（学年進行）。そのため、同じ年に受験しても、現役生と浪人生で習った課程がちがうことがあります。

2014年当時：2012年度入学生から数学Ⅲで復活

2009年（平成21年）3月に告示された学習指導要領は、数学と理科だけ2012年度（平成24年度）の入学生から先に実施されました。この課程で複素数平面は数学Ⅲの「平面上の曲線と複素数平面」に入りました。2012年度に入学した人が現役で受験するのは2015年入試です。元の記事で「来年からは新指導要領」と書いたのは、このことです。

その前の課程（2003年度入学生から）では、複素数平面は高校数学になく、代わりに数学Cで行列を学んでいました。さらに前の課程（1994年度入学生から）では、数学Bに複素数平面がありました。つまり複素数平面は、一度教科書から消えて、2012年度入学生の課程で「復活」した単元です。

今：2022年度入学生から数学Cへ

2018年（平成30年）3月に告示された今の学習指導要領は、2022年（令和4年）4月に高校に入学した人から年次進行で使われています。この課程で新しく数学Cができ、数学Ⅲにあった「平面上の曲線と複素数平面」が数学Cへ移りました。2022年度入学生が現役で受験したのは2025年入試です。

数学C 複素数平面で何を学ぶ？

文部科学省の高等学校学習指導要領解説（平成30年告示）数学編によると、数学Cの「平面上の曲線と複素数平面」のうち、複素数平面の部分では次のことを学びます。2014年の記事で引用した内容とほとんど同じです。

i をかけると90°回転する理由

i を極形式で書くと、i＝cos90°＋i sin90°（絶対値1、偏角90°）です。2つの複素数の積は「絶対値はかけ算、偏角は足し算」なので、z に i をかけると、長さはそのままで偏角だけが90°ふえます。これが「90°回転」の正体です。この性質は、三角関数の加法定理（数学Ⅱ）から導けます。

ド・モアブルの定理と正n角形

積の性質をくり返し使うと、(cosθ＋i sinθ)ⁿ＝cos nθ＋i sin nθ というド・モアブルの定理が出てきます。これを使うと、z³＝1 や z⁶＝1 のような方程式の解が、単位円の上に等間隔にならぶことがわかります。学習指導要領解説も「z³＝1 などの具体的な場合」から考えることをすすめています。

証明や例題は公式辞典の「ド・モアブルの定理」で、2次方程式の虚数解までの復習は「複素数と2次方程式」で確かめられます。

うかるくん

複素数平面って、数学Ⅲの単元じゃなかったんですか？先輩の参考書には数学Ⅲって書いてあります。

合格先生

2012年度入学〜2021年度入学の人の課程では数学Ⅲでした。2022年度入学からは数学Cです。中身はほぼ同じなので、先輩の本でも勉強はできます。ただ、章の名前や順番がちがうので、新課程の教科書と見比べて使いましょう。

数学C と数学Ⅲの違い（新課程の科目の組み方）

今の課程の数学は「数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B・C」の6科目です。学習指導要領解説によると、次のように組みかえられました。

• 数学Ⅲ：標準単位数が5単位から3単位に。内容は「極限」「微分法」「積分法」
• 数学C（2単位・新設）：数学Ⅲの「平面上の曲線と複素数平面」と、数学Bの「ベクトル」が移った。あわせて「数学的な表現の工夫」も入った（数学活用は廃止）
• 数学B：「数列」「統計的な推測」「数学と社会生活」

数学Bと数学Cの間に、習う順番の決まりはありません。数学Bと並べて学んだり、数学Bをとらずに数学Cを学んだりもできます。学校によって、数学Cを2年生で学ぶか3年生で学ぶかがちがうので、時間割を確かめましょう。

理系の受験生にとっての大事な点は、数学Ⅲが軽くなったわけではないことです。微分・積分の中身は前の課程と変わりません。複素数平面・2次曲線・媒介変数表示・極座標と極方程式が数学Cに移っただけで、理系の2次試験では今も両方が必要です。2次曲線は公式辞典の「2次曲線（放物線・楕円・双曲線）」にまとめています。

浪人生・旧課程の人の注意点

2014年の記事で「浪人生は要注意」と書いたのは、課程が変わる年は、浪人生が習っていない単元が入試に出たり、反対に習った単元が出なくなったりするからです。

2025年入試（令和7年度）では、大学入学共通テスト（共通テスト、旧センター試験）で旧課程の人向けの科目が出題されました。京都大学（京大）は「令和７年度京都大学一般選抜における旧教育課程履修者に対する経過措置について（予告）」で、共通テストの経過措置科目を選べること、2次試験（個別学力検査）では課程によって扱いが異なる事項について「出題にあたり必要に応じた配慮をします」と発表しました。

2026年入試より後の扱いは、大学ごと・年度ごとにちがいます。受ける年度の募集要項（入学者選抜要項）を必ず自分で確かめてください。とくに複素数平面は、2012〜2021年度入学の人は数学Ⅲで学んでいるので、中身の心配はほとんどありません。科目名の書き方（数学Ⅲか数学Cか）で出題範囲を見まちがえないことが大切です。

合格先生

複素数平面は「数学Ⅲ」でも「数学C」でも中身は同じ。浪人生は、科目名ではなく単元名で出題範囲を確かめましょう。

京大 数学 複素数平面の出題

京大の理系数学では、複素数平面は「範囲に入っていれば、よく出る」単元です。合格大作戦の出題分析（1999〜2026年度）で、複素数平面の問題が出た年度を並べると次のようになります。

• 1999〜2005年度：毎年出題（1994年度入学〜の課程の時期）
• 2006〜2015年度：出題なし（2006〜2014年度は範囲外。2015年度は範囲に入ったが出題なし）
• 2016〜2026年度：11年で7回出題。ド・モアブルの定理を使う問題、軌跡や領域の問題、方程式の解が正三角形をなす条件など

文系数学では、この分類で複素数平面の問題が出たのは1999・2004・2005年度だけです。文系の出題範囲は、受ける年度の募集要項で確かめてください。年度ごとの問題の中身は「京大 理系数学の出題分析」「京大 文系数学の出題分析」にまとめています。数学が京大入試でどれほど大事かは「京大受験生が思っている以上に数学は重要」も読んでください。

複素数平面 勉強法（高校生・浪人生向け）

ステップ1：数学Ⅱの複素数と三角関数を固める

複素数平面は、数学Ⅱの複素数の計算（i²＝−1、共役な複素数）と三角関数の加法定理の上に立っています。ここがあやしいと、極形式のかけ算でつまずきます。最初に公式辞典の「複素数と2次方程式」で計算を復習しましょう。

ステップ2：「点」と「回転」のイメージを持つ

教科書の例題を、必ず図をかいて解きます。和は平行移動、積は回転と拡大、共役は実軸に対する対称移動、と言葉で言えるようにします。ベクトルと似ている所・ちがう所（かけ算ができるのは複素数だけ）を意識すると、数学Cの2つの単元がつながります。

ステップ3：ド・モアブルの定理と累乗根

zⁿ＝1 の解を、計算ではなく「単位円を n 等分」として図で求められるようにします。京大でも出題された典型の形です。

ステップ4：入試問題で軌跡・領域・図形への応用

「w＝(z−1)/(z＋1) のとき z が円をえがくと w は？」のような軌跡の問題、三角形の形を決める問題に進みます。参考書の選び方は「青チャートと1対1対応の演習の使い方」「京大合格までのお勧め参考書（数学）」「京大受験（理系・数学）おすすめ参考書・勉強法」に、学年ごとの進め方は「京大受験数学の勉強法」「京大数学2次試験対策＆高2の数学勉強法」に書いています。

サクラちゃん

先生、複素数平面の問題、計算がすごく長くなってしまいます……。

合格先生

計算だけで押し切ろうとすると長くなります。先に「これは回転か？拡大か？」と図で考えてから式を立てると、ぐっと短くなりますよ。学習指導要領解説にも「いたずらに計算の複雑なもの」ではなく、複素数の利点を生かす問題を、と書かれています。

まとめ：複素数平面は数学C（2022年度入学〜）

• 複素数平面（複素平面・ガウス平面）は、複素数を座標平面の点で表したもの
• 2012年度入学〜2021年度入学の課程では数学Ⅲ、2022年度入学〜の課程では数学C
• 学ぶ中身は同じ：極形式、積・商の図形的な意味（i をかけると90°回転）、ド・モアブルの定理、zⁿ＝1 の解
• 浪人生・旧課程の人は、科目名ではなく単元名で出題範囲を確かめ、受ける年度の募集要項を見る
• 京大の理系数学では、範囲に入っている時期によく出る単元

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よくある質問

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