和と差の積で暗算するやり方｜53×47・102×98を2乗の引き算で【インド式かけ算 第五回】

うかるくん

53×47って、どっちもきりが悪くてむずかしそう……。

サクラちゃん

でも、53は50より3大きくて、47は50より3小さいよ。

合格先生

そこに気づけば勝ちだ。2つの数はまん中の50から3ずつはなれている。だから 50×50−3×3 で出せるぞ。

この方法は、2つの数のちょうどまん中がきりのよい数（50・60・100など）になるときに、とても速く計算できます。かけ算が、2乗と引き算に変わるのがポイントです。

やり方（4ステップ）：53×47

1. まん中の数を見つけます。53と47なら、たして2で割って (53＋47)÷2＝50。
2. まん中の数を2乗します。50×50＝2500。
3. まん中からはなれている数（ここでは3）を2乗します。3×3＝9。
4. ②から③を引きます。2500−9＝2491。

はなれている数は、2つの数の差の半分です。53−47＝6 の半分で3。まん中の数は、2つの数の和の半分です。「和」と「差」を使うので、和と差の積と呼びます。

もう1問：くり下がりのある 74×66

74と66のまん中は70、はなれている数は4です。70×70＝4900、4×4＝16 なので、4900−16 を計算します。

4900−16 は、一の位・十の位でくり下がりが続いて、頭の中だと少し大変です。そんなときは 4900 を 4800 と 100 に分けます。100−16＝84 なので、48 と 84 をならべて 4884。

102×98 も同じです。まん中は100、はなれている数は2なので、10000−4。9900 と 100 に分けて、100−4＝96 → 9996 です。

うかるくん

引き算は「100を1つ借りる」と思えば、くり下がりもこわくないね！

合格先生

そのとおり。引く数が2桁までなら、いつもこの形で計算できる。

なぜこの方法で計算できるの？

面積図で考える

53×47は、よこ53、たて47の長方形の面積です。よこを50と3に分け、右はしのはば3の帯を切り取ります。その帯を回して下につけると、1辺50の正方形から、角の3×3だけが欠けた形になります。

面積は動かしても変わりません。だから 53×47＝50×50−3×3＝2500−9＝2491 です。

公式で考える（中学生向け）

53×47＝(50＋3)(50−3)
＝50×50−50×3＋3×50−3×3
＝50²−3²＝2500−9＝2491

展開すると、まん中の「−50×3」と「＋3×50」が打ち消し合って消えます。だから2乗の引き算だけが残ります。これは乗法公式の「和と差の積」 (a＋b)(a−b)＝a²−b² そのものです。

逆向きに使うと因数分解の a²−b²＝(a＋b)(a−b) になります。98²−2²＝(98＋2)(98−2)＝100×96＝9600 のような計算の工夫にも使えます。

使える数・使えない数の見分け方

見るのは2つだけです。①2つの数を足すと偶数か（まん中が整数になるか）、②まん中の数がきりのよい数か（2乗がすぐ出るか）。

△の67×43は、55²＝3025 と 12²＝144 を知っていれば計算できますが、ふつうに計算するのとあまり変わりません。はなれている数が1桁のときがいちばん楽です。

足して奇数のとき：1ずらしてから使う

54×47のように足すと奇数になるときは、片方を1ずらして足して偶数の形にします。54×47＝54×46＋54 と考え、54×46 を和と差の積で出してから54を足します。

よくある間違い

合格先生

和と差の積は引き算。2500＋9 と足してはいけない！

答えの見当をつけるクセも大切です。53×47は50×50＝2500に近く、少しだけ小さくなります。和と差の積の答えは、いつも「まん中の数の2乗」より小さくなります。

練習問題①（まん中が10の倍数 10問）

合格先生

まずはまん中が50・60・70などになる10問。まん中を見つけたら、2乗して引くだけだ！

1. 92×88＝
2. 73×67＝
3. 54×46＝
4. 61×59＝
5. 45×55＝
6. 58×62＝
7. 68×72＝
8. 77×83＝
9. 91×89＝
10. 39×41＝

練習問題②（3桁・4桁・まん中が5で終わる・はなれが2桁 10問）

まん中が35・45などになる問題は、下の「2乗の早見表」を見ながらでもかまいません。

1. 104×96＝
2. 203×197＝
3. 86×94＝
4. 56×44＝
5. 63×37＝
6. 37×33＝
7. 48×42＝
8. 85×75＝
9. 1001×999＝
10. 27×33＝

応用①：2乗を覚えると速くなる

この方法は「まん中の数の2乗」と「はなれている数の2乗」を使います。下の数を覚えておくと、ぐんと速くなります。

5で終わる数の2乗は、第二回（十の位が同じで、一の位を足すと10）の方法で出せます。35²＝35×35なら、十の位の3と、3に1を足した4をかけて 3×4＝12、うしろに25をつけて 1225。だから37×33は、まん中35・はなれ2で 1225−4＝1221 です。

はなれている数が13のように2桁でも、13²＝169 を知っていれば使えます。63×37は、まん中50で 2500−169＝2331。11²〜19²はくれない算ですぐ出せます。

うかるくん

2乗を覚えれば覚えるほど、使える問題がふえるんだね！

応用②：第九回（100に近い数）との使い分け

102×98 は、第九回の100に近い数のかけ算でも計算できます。どちらでも答えは同じ9996です。

• 100から同じだけはなれている（102×98、105×95）なら、第五回の和と差の積がいちばん速いです。10000から差の2乗を引くだけです。
• 100からのはなれ方がちがう（97×96、103×104）なら、和と差の積は使えません。第九回の方法を使いましょう。
• 大きな数でも同じです。203×197＝40000−9＝39991、1003×997＝1000000−9＝999991。

どこで役に立つ？

• 中学受験：199×201＝40000−1＝39999 のような「計算の工夫」の問題でよく使います。まん中が200になることに気づけるかがポイントです。
• 西暦の問題：2025＝45² なので、46×44＝2025−1＝2024。年号を使った計算問題でも役に立ちます。
• 高校受験：75²−25² を、因数分解を使って (75＋25)(75−25)＝100×50＝5000 と計算する問題は定番です。和と差の積を逆向きに使っています。

うかるくん

「まん中で待ち合わせ」の形を見つけたら、2乗して引くだけ。みんなもやってみてね！

インド式かけ算シリーズ

• 第一回 十の位を足すと10、一の位が同じ（72×32など）
• 第二回 十の位が同じで、一の位を足すと10（47×43など）
• 第三回 2桁×11（42×11など）
• 第四回 くれない算（11〜19どうし）（12×16など）
• 第五回 和と差の積の公式が使える（53×47など）（この記事）
• 第六回 一の位が1の数をかける（60×31など）
• 第七回 一の位が9の数をかける（60×39など）
• 第八回 たすきがけ（どんな2桁×2桁でも）（23×41など）
• 第九回 100に近い数どうし（97×96など）

どの数のときにどの方法を使うかは「インド式かけ算・目次と早見表」へ。11〜19どうしのかけ算は、名前で覚えるくれない算がおすすめです。

よくある質問

あわせて読みたい

• 乗法公式（展開の公式）一覧｜面積の図で証明
• 因数分解の公式と乗法公式一覧
• インド式かけ算 第九回 100に近い数どうし（97×96など）
• くれない算（12×16など11〜19どうしのかけ算）
• インド式かけ算・目次と早見表