二次方程式とは？意味と3つの解き方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$x^2=9$ の答えは 3 ですよね？

合格先生

おしい！ $(-3)^2$ も 9 になるから、$x=\pm3$ の 2 つだよ。二次方程式は、解が 2 つあることが多いと覚えておこう。

やさしく言うと

二次方程式は、わからない数 $x$ の 2 乗（$x^2$）をふくむ方程式です。整理すると $ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）の形になります。

• 面積から長さを求める：正方形の面積が 25 ㎠ なら、一辺 $x$ は $x^2=25$ を満たします。長さと長さをかけると面積になるので、2 乗が出てきます。
• 長方形の土地：横がたてより 3m 長く、面積が 40 ㎡ の土地のたてを $x$ m とすると、$x(x+3)=40$ です。
• ボールの高さ：真上に投げたボールの高さは、時間の 2 乗をふくむ式で表されます。「いつ地面にもどるか」は、二次方程式で求められます。

まとめると、二次方程式は「面積」や「同じものどうしのかけ算」が出てくる場面の方程式です。答え（解）は、ふつう2 つあります。

うかるくん

二次方程式は「＝0」の形にそろえてから解く。これが第一歩だ！

二次方程式の例と、そうでないもの

見た目に $x^2$ があっても、整理すると消えてしまうことがあります（$x(x+1)=x^2+3$ など）。移項して整理したあとの形で判断します。

図で見る

二次方程式 $x^2-2x-3=0$ の解は、二次関数 $y=x^2-2x-3$ のグラフ（放物線）が $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標です。$y=0$ になる $x$ をさがすことと、方程式を解くことは同じだからです。

サクラちゃん

二次方程式の解は、いつも 2 つあるんですか？

合格先生

グラフで考えるとわかるよ。放物線が $x$ 軸と 2 点で交われば解は 2 つ、ちょうど接すれば 1 つ（重解）、離れていれば実数の解はない。だから「ふつうは 2 つ」なんだ。

解き方は 3 つ

二次方程式は、式の形を見て、次の 3 つの解き方から選びます。

因数分解で解けるのは、「$AB=0$ ならば $A=0$ または $B=0$」という性質を使うからです。かけて 0 になるのは、どちらかが 0 のときだけです。だから、因数分解する前に必ず「右辺を 0 にする」必要があります。

サクラちゃん

まず平方根、次に因数分解、だめなら解の公式。この順で考えると速いわ！

解の公式と平方完成

$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）の解は、次の解の公式で求められます。

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

この公式は、式を「$(x+p)^2=k$」の形に直す平方完成から作られています。平方完成のしくみは、正方形の図で見るとよくわかります。

図では $x$ が長さなので正の解 2 だけが見えますが、式で $(x+3)^2=25$ を解くと $x+3=\pm5$ なので、$x=2$ と $x=-8$ の 2 つが解です。同じ考え方を $ax^2+bx+c=0$ で文字のまま行うと、解の公式ができあがります。くわしい導き方は公式辞典の二次方程式の解の公式へ。

解の個数と判別式

解の公式の根号の中 $b^2-4ac$ を判別式といい、$D$ で表します。$D$ の符号で、実数の解の個数がわかります（高校の数学Ⅰ）。

$D<0$ のとき、中学の範囲では「解はない」と考えます。高校の数学Ⅱでは、2 乗すると負になる虚数を使って、このときも解を求められるようになります。

テスト・入試ではこう出る

二次方程式は中学 3 年で習います（平方根・因数分解・解の公式）。高校入試では、計算問題として必ずといってよいほど出ますし、図形（面積・道はば）や数（連続する整数）や動点の文章題でも使います。文章題では、出てきた 2 つの解が問題の条件に合うかをたしかめるのが大事です。高校の数学Ⅰでは判別式、数学Ⅱでは複素数の解や解と係数の関係へと進みます。

まちがえやすい点

合格先生

両辺を $x$ でわると $x=0$ の解が消える！ くくって因数分解しよう。

• 両辺を $x$ でわって解を落とす：$x^2=7x$ を $x$ でわって $x=7$ とするのは×。$x=0$ の場合が消えてしまいます。移項して $x(x-7)=0$ とし、$x=0,\ 7$ です。
• $\pm$ を忘れる：$x^2=9$ の解を $x=3$ だけにするのは×。$(-3)^2=9$ なので、$x=\pm3$ です。
• 右辺を 0 にしないで因数分解する：$(x-2)(x-3)=2$ から「$x-2=2$ または $x-3=2$」として $x=4,\ 5$ とするのは×。展開して $x^2-5x+4=0$、$(x-1)(x-4)=0$ で、正しい解は $x=1,\ 4$ です。
• 解の公式の符号・分母のまちがい：分子の先頭は $-b$（$b$ が負なら正の数になる）、分母は $2a$ で、分子全体をわります。$-b\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ のように一部だけわるのは×です。
• 文章題で条件に合わない解を残す：長さ・人数・個数は正の数です。$x=-8$ のような解は、理由を書いてのぞきます。

ことばの由来・歴史

二次は、わからない数 $x$ の次数が 2（$x^2$ が最高）であることを表します。英語では quadratic equation（クワドラティック）といい、ラテン語の「正方形」という言葉から来ています。$x^2$ は「一辺 $x$ の正方形の面積」と考えられるからです。

二次方程式にあたる問題は、古代バビロニアの粘土板にも見られます。9 世紀のアラビアの数学者フワーリズミーは、上の図のような正方形をおぎなう図を使って、二次方程式の解き方を説明しました。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 二次方程式の解の公式
• 乗法公式と因数分解の公式
• 二次関数の頂点（平方完成）
• 解と係数の関係
• 複素数と2次方程式

あわせて覚えたい用語

• 因数分解
• 判別式
• 平方完成

よくある質問