合格大作戦 数学用語辞典 › 確率・統計
大学受験
期待値とは
くり返し行ったとき、1回あたり平均してどれくらいの値になるかを表す数です。とりうる値にその確率をかけて、全部たして求めます。さいころの目の期待値は です。
うかるくん
くじの期待値が130円なら、1本引けば130円もらえるんですか？
合格先生
1本では1000円か100円か0円のどれかだね。期待値は、たくさん引いたときに1本あたり平均でいくらか、という意味なんだ。
この用語のポイント
- 期待値＝（値）×（確率）を全部たしたもの
- くり返したときの1回あたりの平均。願いや予想ではない
- さいころの期待値 3.5 のように、とりうる値の中にないこともある
やさしく言うと
期待値は、何回もくり返したときに、1回あたり平均してどれくらいになるかを表す数です。「期待」という言葉がついていますが、「こうなってほしい」という願いではなく、平均の見こみのことです。身近な例で考えてみましょう。
- くじ：10 本のくじに、1 等 1000 円が 1 本、2 等 100 円が 3 本、はずれが 6 本入っているとします。賞金を全部たすと 1300 円。10 本で平等に分けると 1 本あたり 130 円。これがこのくじの期待値です。
- フリースロー：成功する確率が 0.6 の選手が 10 本打つと、平均して 本入ると見こめます。毎回ちょうど 6 本入るわけではありませんが、何回も試すと平均は 6 本に近づきます。
- すごろく：さいころ 1 回で進むマスは、平均すると 3.5 マス。10 回ふれば、だいたい 35 マス進むと見こめます。
まとめると、期待値は「ばらばらな結果を、確率に合わせてならした平均」です。
期待値の例と、期待値ではないもの
○ 期待値
- さいころ1個の目：（どの目も同じ確率）
- コインを2回投げたときの表の枚数：（枚）
- 上のくじの賞金：130円（全部の賞金を本数で割った額と同じ）
- フリースロー 10 本の成功数：（本）
- さいころを 10 回ふったときの目の合計：
× 期待値ではないもの
- いちばん出やすい値（これは最頻値。くじならはずれの 0 円）
- くじを1本引いて「必ずもらえる」金額（1 本では 1000 円・100 円・0 円のどれか）
- いちばん高い賞金（1000円）
- 賞金の種類だけを平均した （確率をかけていない）
- 実際に 10 回ふって出た目の平均（これは実際のデータの平均値）
最後の例のように、実際にやってみた結果の平均は「平均値」、確率から計算した平均の見こみは「期待値」と呼び分けます。くり返す回数をふやすほど、平均値は期待値に近づいていきます。
サクラちゃん
期待値って、全部の賞金を「平等に分けた」金額なんだ！
図で見る
数直線の上に、それぞれの値の場所へ確率の重さのおもりをのせると、期待値の場所でちょうどつり合います。さいころなら、1〜6 に同じ重さをのせるので、まん中の 3.5 でつり合います。
うかるくん
3.5 の目なんて出ないのに、期待値が 3.5 って変じゃないですか？
合格先生
期待値は「1 回で出る値」ではなく、たくさんくり返したときの平均なんだ。テストの平均点が 63.5 点でも、63.5 点の人がいなくてもいいのと同じだよ。
くじの期待値 130 円がどこから来るのかは、(値)×(確率) を積み上げると見えます。1 等が 100 円分、2 等が 30 円分、はずれは 0 円分です。高い賞金でも、確率が小さいと期待値への効き目は小さくなります。
求め方：（値）×（確率）をたす
期待値は、とりうる値にその値になる確率をかけて、全部たすと求められます。上のくじで表を作ると、次のとおりです。
| 賞金 | 確率 | 賞金 × 確率 |
|---|---|---|
| 1000円 | 100円 | |
| 100円 | 30円 | |
| 0円 | 0円 | |
| 合計 | 1 | 130円 |
式で書くと、値 をとる確率がそれぞれ （合計1）のとき、期待値は
です。手順は次の3つです。
- とりうる値を全部書き出す（もれなく、重なりなく）。
- それぞれの確率を求める。樹形図や表を使うと数えもれが防げます。確率の合計が 1 になるか確かめます。
- （値）×（確率）を全部たす。
コインを 2 回投げる例なら、樹形図で 4 通りを書き出し、表の枚数ごとに確率をまとめます。
期待値の性質
高校の数学B（統計的な推測）では、値が確率で決まる数 を確率変数と呼び、期待値を と書きます（E は英語 expectation の頭文字）。期待値には、計算を楽にする性質があります。
| 性質 | 例 |
|---|---|
| さいころの目 で、 | |
| さいころ 2 個の目の和の期待値は |
2 つ目の性質は、 と が関係し合っていても使えます。「さいころを 10 回ふった目の合計の期待値は 」も、この性質から言えます。
テスト・入試ではこう出る
大学入試では、玉の取り出し・さいころ・じゃんけんなどで、取る値と確率を表にして期待値を求める問題がよく出ます。数学B（統計的な推測）では、確率変数の期待値・分散や、二項分布の期待値 も出ます。また「このゲームに参加するのは得か」のように、期待値で損得を判断する問題もあります。
例題1（玉の取り出し）
赤玉 2 個と白玉 3 個が入った袋から、同時に 2 個取り出します。取り出した赤玉の個数の期待値を求めなさい。
- 取り出し方は全部で 通り。
- 赤玉 0 個（白 2 個）： 通り → 確率
- 赤玉 1 個： 通り → 確率
- 赤玉 2 個：1 通り → 確率 （合計 を確認）
- 期待値
答え 個（0.8 個）
例題2（損か得か）
参加費 100 円のゲームがあります。さいころを 1 回投げ、6 の目が出たら 500 円もらえ、それ以外は何ももらえません。このゲームは、くり返すと得でしょうか、損でしょうか。
- もらえる額は、6 の目なら 500 円（確率 ）、それ以外は 0 円（確率 ）。
- もらえる額の期待値は （円）。
- 参加費 100 円と比べると、。
答え 1 回あたり平均で約 16.7 円の損になるので、何回も続けると損をすると考えられる。
うかるくん
まず「値と確率の表」を作る。合計が 1 になるか確かめてから、かけてたす！
まちがえやすい点
合格先生
期待値はいちばん出やすい値ではないよ。平均の見こみだ！
- いちばん起こりやすい値だと思う：上のくじでいちばん起こりやすいのは「はずれ（0円）」です。期待値の130円とはちがいます。
- 期待値が実際に出る値だと思う：さいころの期待値3.5の目は、実際には出ません。期待値は、とりうる値の中にないこともあります。
- 確率をかけずに、値だけを平均する：くじの賞金 1000 円・100 円・0 円を 円とするのは×。出やすさ（確率）がちがうので、必ず確率をかけます。
- 確率の合計を確かめない：表を作ったら、確率の合計が1になっているか確かめましょう。数え落としがあると、期待値もずれます。
- 「期待値が得なら 1 回でも得」と思う：期待値はくり返したときの平均です。期待値が参加費より大きくても、1 回だけなら損をすることはふつうにあります。
ことばの由来・歴史
「期待値」は英語の expected value（expectation）の訳で、「期待される（見こまれる）値」という意味です。記号 もこの頭文字です。
期待値の考え方は、かけ事の「勝負を途中でやめたとき、かけ金をどう分けるのが公平か」という問題から生まれました。17 世紀に、フランスのパスカルとフェルマーが手紙でこの問題を議論したことが、確率論の始まりの一つとされています。
ミニ問題
問題1 コインを 3 回投げるとき、表が出る回数の期待値を求めましょう。
答えと解き方を見る
1.5 回です。表の回数が 0, 1, 2, 3 回になる確率は、それぞれ です。。「1 回あたり平均 回 × 3 回」と考えても同じ答えになります。
問題2 20 本のくじに、1 等 500 円が 2 本、2 等 100 円が 5 本、残りははずれ（0 円）が入っています。1 本引くときの賞金の期待値は何円ですか。
答えと解き方を見る
75 円です。。賞金の合計 円を 20 本で分けて、 と考えても同じです。
問題3 さいころを 1 回投げ、出た目を とします。もらえる点数を「目の 2 倍に 3 点を足したもの」（ 点）とするとき、点数の期待値を求めましょう。
答えと解き方を見る
10 点です。 の期待値は 3.5 なので、。目ごとに 5, 7, 9, 11, 13, 15 点を計算して平均しても になります。
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
期待値の求め方は？
とりうる値それぞれに、その値になる確率をかけて、全部たします。確率の合計が1になっているかも確かめましょう。
さいころの目の期待値はいくつですか？
3.5です。1から6の目がそれぞれ確率6分の1で出るので、（1＋2＋3＋4＋5＋6）÷6＝3.5になります。
期待値と平均値はちがうのですか？
考え方は同じで、期待値は確率をもとにした平均です。実際に集めたデータの平均を平均値、確率から計算した平均を期待値と呼び分けることが多いです。
期待値と最頻値のちがいは？
最頻値はいちばん起こりやすい値、期待値は確率をかけてならした平均です。くじでは最頻値ははずれの0円でも、期待値は130円のようにちがうことがあります。
期待値が参加費より大きければ、必ず得をしますか？
1回だけでは損をすることもあります。期待値は何回もくり返したときの1回あたりの平均なので、回数が多いほど平均がそれに近づきます。
E(X) の E は何の意味ですか？
英語の expectation（期待値）の頭文字です。高校の数学Bで、確率変数Xの期待値をE(X)と書きます。
出典・参考
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学A（場合の数と確率）・数学B（統計的な推測）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
