確率変数とは？確率分布・期待値・分散をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

「確率変数」って、確率のことですか？ 変数のことですか？

合格先生

値は変数で、どの値が出るかに確率がついているんだ。さいころの目 $X$ なら、値は 1〜6、確率は $\dfrac16$ ずつ。この 2 つをセットで考えるよ。

やさしく言うと

確率変数は、試行の結果によって値が決まる数で、しかもそれぞれの値をとる確率が決まっているものです。ふつう大文字の $X$, $Y$ などで表します。

• さいころの目：さいころを投げて出た目を $X$ とすると、$X$ は 1〜6 のどれかで、どの値も確率 $\dfrac16$ です。投げるまで値はわかりませんが、確率はわかっています。
• コインの表の回数：コインを 3 回投げて表が出た回数を $X$ とすると、$X$ は 0, 1, 2, 3 のどれかです。
• くじの賞金：1 本引いたときにもらえる金額も確率変数です。「平均するといくらもらえるか」を考えるときに使います。

まとめると、確率変数は「偶然で決まるけれど、どの値がどのくらいの確率で出るかはわかっている数」です。

$X$ のとりうる値と、その確率の対応を確率分布といい、表で表します。確率の合計は必ず 1 です。

「$X=2$ となる確率」を $P(X=2)$ と書きます。この例では $P(X=2)=\dfrac38$ です。

サクラちゃん

確率変数は「値」と「その確率」がセット。まず確率分布の表を作るのが第一歩ね！

確率変数の例と、そうではないもの

大文字の $X$ は「確率変数そのもの」、小文字の $x$ は「$X$ がとる 1 つの値」を表すのがふつうです。$P(X=x)$ は「$X$ が値 $x$ をとる確率」と読みます。

図で見る

確率分布は、横に $X$ の値、縦に確率をとった棒グラフにするとよくわかります。

うかるくん

表の回数は 0, 1, 2, 3 のどれかなのに、期待値が 1.5 って変じゃないですか？

合格先生

期待値は「何回もくり返したときの平均」なんだ。1 回で 1.5 回表が出ることはないけど、1000 セットくり返せば、表の回数の平均は 1.5 に近づくよ。

期待値は、棒グラフを板にのせたときのつり合いの点（重心）にあたります。さいころの目の期待値 3.5 も、実際には出ない値ですが、分布のまん中を表しています。

期待値・分散・標準偏差

確率変数 $X$ が値 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ をとる確率が $p_1, p_2, \ldots, p_n$ のとき、次の 3 つで分布の「まん中」と「散らばり」を表します。

これはデータの分散と標準偏差と同じ考え方です。データでは「個数でわる」ところを、確率変数では「確率をかけてたす」と考えればよいのです。期待値の意味や身近な例は期待値のページでくわしく説明しています。

分散は、定義どおり $E\big((X-m)^2\big)$ でも、$E(X^2)-\{E(X)\}^2$ でも求められます。期待値が分数のときは、後者のほうが計算が楽になることが多いです。

aX＋b の期待値と分散

確率変数 $X$ を使って $Y=aX+b$ を作ると、$Y$ も確率変数です。このとき次の式が成り立ちます。

$+b$ は分布全体をずらすだけなので、散らばりはかわりません。$a$ 倍すると散らばりのはばは $|a|$ 倍になり、分散はその 2 乗の $a^2$ 倍になります。テストの点を「2 倍して 1 点たす」ように換算したときも、同じ関係が成り立ちます。

また、コインを $n$ 回投げて表が出る回数のように、成功の確率 $p$ の試行を $n$ 回くり返して成功する回数 $X$ の分布を二項分布 $B(n,\ p)$ といいます。このとき $E(X)=np$、$V(X)=np(1-p)$ です。コイン 3 回なら $E(X)=3\times\dfrac12=\dfrac32$、$V(X)=3\times\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac34$ で、上の計算と一致します。

ここまでの $X$ は、とびとびの値をとる離散型の確率変数です。身長や時間のように連続した値をとるものは連続型の確率変数といい、その代表が正規分布です。

テスト・入試ではこう出る

確率変数は高校の数学B（統計的な推測）で習います。テストや大学入学共通テストでは、確率分布の表を作る、期待値・分散・標準偏差を求める、$aX+b$ の期待値・分散、二項分布の期待値・分散、そこから正規分布を使った推定・検定へつなぐ問題がよく出ます。

うかるくん

分散は「2 乗の平均 − 平均の 2 乗」。順番をまちがえるとマイナスになるから注意だ！

まちがえやすい点

合格先生

$V(aX+b)$ は $a^2V(X)$！ $b$ は消えて、$a$ は 2 乗されるよ。

• 確率の合計を確かめない：確率分布の表を作ったら、合計が 1 になるか必ず確かめます。1 にならなければ、数えもれや重なりがあります。
• $E(X^2)$ と $\{E(X)\}^2$ を取りちがえる：$E(X^2)$ は「値を 2 乗してから平均」、$\{E(X)\}^2$ は「平均してから 2 乗」です。分散は $E(X^2)-\{E(X)\}^2$ で、0 以上になります。マイナスになったら順番を見直しましょう。
• $V(aX+b)$ を $aV(X)+b$ とする：分散は「ずれの 2 乗」なので、$b$ は消え、$a$ は 2 乗されます。$V(2X+1)=4V(X)$ です。
• 確率変数 $X$ と確率 $P$ を混同する：$X$ は「表の回数」のような数、$P(X=2)=\dfrac38$ はその値をとる確率です。期待値を「確率の合計」などと考えないようにしましょう。

ことばの由来

確率変数は、「確率にしたがって値がかわる数（変数）」という意味です。英語では random variable（ランダム バリアブル）といいます。random は「でたらめな・無作為な」という意味ですが、確率変数は「なんでもあり」ではなく、どの値がどの確率で出るかが決まっているところが大切です。分散の $V$ は variance（分散）、標準偏差の $\sigma$ はギリシャ文字のシグマで、$E$ は expectation（期待）の頭文字です。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 確率変数の期待値・分散と変数変換
• 期待値
• 二項分布

あわせて覚えたい用語

• 期待値
• 分散と標準偏差
• 正規分布

よくある質問