分散と標準偏差とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

平均との差を平均すれば、散らばりがわかるんじゃないですか？

合格先生

ためしてごらん。平均との差（偏差）をたすと、プラスとマイナスが打ち消し合って必ず0になるんだ。だから2乗してから平均する。それが分散だよ。

やさしく言うと

分散と標準偏差は、データが平均のまわりにどれくらい散らばっているかを表す数です。身近な例で考えてみましょう。

• ダーツ：同じ「中心のあたり」をねらっても、矢がまとまる人と、あちこちに散らばる人がいます。散らばりが大きいほど、分散・標準偏差は大きくなります。
• 2つのクラスのテスト：どちらも平均 60 点でも、全員が 55〜65 点のクラスと、20 点から 100 点までいるクラスでは、ようすがまったくちがいます。
• バスの到着時刻：平均すると時刻どおりでも、毎日 1 分以内にくるバスと、10 分ずれる日があるバスでは、使いやすさがちがいます。標準偏差が小さいほうが「安定している」といえます。

平均が同じ7点でも、「4, 6, 7, 8, 10」と「6, 7, 7, 7, 8」では散らばり方がちがいます。散らばりが大きいほど、分散も標準偏差も大きくなります。

まとめると、平均＝真ん中あたりの値、分散・標準偏差＝そのまわりの散らばりの大きさです。

求め方（4ステップ）

データ A「4, 6, 7, 8, 10」で計算します。

式で書くと、データ $x_1,\,x_2,\,\dots,\,x_n$、平均 $\overline{x}$ のとき

です。分散は $s^2$、標準偏差は $s$ と書きます。

うかるくん

わざわざ 2 乗してからルートをとるなら、偏差の絶対値を平均すればいいんじゃないですか？

合格先生

その考え方もあって「平均偏差」というんだ。でも 2 乗のほうが、式の計算がしやすく、「2乗の平均−平均の2乗」のような便利な公式も使える。だから統計では分散・標準偏差がよく使われるんだよ。

うかるくん

平均との差を2乗して平均すると分散、そのルートが標準偏差だ。

もう1つの求め方

（分散）＝（2乗の平均）−（平均の2乗） でも求められます。データAでは、2乗の平均が $(16+36+49+64+100)\div5=53$、平均の2乗が $7^2=49$ なので、分散は $53-49=4$ で、同じ答えになります。平均が整数でないときは、こちらのほうが楽なことがあります。

式で書くと $s^2=\overline{x^2}-\left(\overline{x}\right)^2$ です。「2乗の平均」と「平均の2乗」は順番がちがうだけで、別の数なので注意しましょう。

散らばりを表す数・表さない数

標準偏差は、もとのデータと同じ単位（点、cm など）になるので、分散よりも意味をつかみやすい数です。分散は単位が2乗（点²）になります。

図で見る：データを変えると

データ全体に同じ数をたしたり、全体を何倍かしたりすると、平均と標準偏差はどう変わるでしょうか。

全部に 10 をたすと、平均は 10 ふえますが、平均からの差（偏差）は変わらないので、分散も標準偏差も変わりません。全部を 2 倍すると偏差も 2 倍になり、標準偏差は 2 倍、分散は 4 倍になります。

テスト・入試ではこう出る

高校の数学Ⅰ「データの分析」で学びます。定期テストでは、表を使って分散・標準偏差を計算する問題や、2 つのデータの散らばりを比べる問題がよく出ます。大学入学共通テストの数学Ⅰ・Aでも、データの分析の問題が出題され、ヒストグラムや箱ひげ図と合わせて、標準偏差の大小を読み取る問題が見られます。標準偏差は、偏差値を計算するときにも使われます。

うかるくん

2通りの求め方で同じ答えになれば、計算ミスがないとわかって安心だ！

まちがえやすい点

合格先生

分散のままで終わらない！ 標準偏差は分散の平方根だよ。

• 平方根をとり忘れる：分散は2乗の平均、標準偏差はその平方根です。「標準偏差を求めよ」で分散を答えないようにしましょう。
• 偏差をそのまま平均する：偏差の合計は必ず0になります（$-3-1+0+1+3=0$）。だから2乗してから平均します。
• 「2乗の平均」と「平均の2乗」を逆にする：データAで $49-53=-4$ とすると、分散がマイナスになってしまいます。分散は 0 以上なので、マイナスになったら計算ちがいです。
• 全部に数をたすと散らばりも変わると思う：全員に 5 点加点しても、標準偏差は変わりません。変わるのは平均だけです。
• n で割るか n − 1 で割るか：高校の「データの分析」では、データの個数 $n$ で割ります。大学の統計などでは、標本から母集団の分散を推測するために $n-1$ で割る「不偏分散」も使います。どちらの定義か確かめましょう。

ことばの由来

偏差は「かたよりの差」、つまり平均からどれだけずれているかという意味です。標準偏差は「標準的な（ふつうの）ずれの大きさ」と考えるとイメージしやすくなります。英語では standard deviation（スタンダード・ディビエーション）といい、deviation は「それること・ずれ」という意味です。分散は英語の variance（バリアンス、「変わること・ちがい」）にあたります。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• データの分析（平均・分散・標準偏差）
• 確率変数の期待値・分散と変数変換
• 正規分布と標準化

あわせて覚えたい用語

• 平均値
• 偏差値
• 四分位数・箱ひげ図

よくある質問