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回転体とは
平面図形を、1 本の直線（回転の軸）のまわりに 1 回転させてできる立体です。長方形を 1 辺のまわりに回すと円柱、直角三角形を回すと円錐、半円を直径のまわりに回すと球になります。
まなぶくん
回転体の問題、どんな立体になるのか頭の中でうまく回せないよ…
合格先生
まずもとの図形を軸で折り返してかいてごらん。それが真ん中で切った切り口になる。あとは上下を円にすれば、見取り図がかけるよ。
この用語のポイント
- 平面図形を軸のまわりに 1 回転させた立体
- 軸に垂直に切ると切り口はいつも円
- 軸がどこかで立体が変わる。軸からはなれると穴があく
やさしく言うと
回転体は、平らな図形を、1 本の直線（軸）のまわりにぐるっと 1 回転させてできる立体です。
- ろくろ：ねんどを回る台にのせて手でかたちを整えると、茶わんやつぼができます。どこから見てもまるい形になるのは、軸のまわりに回しているからです。
- 旗を回す：長方形の旗を、棒（ポール）を軸にしてくるくる回すと、旗が通ったあとは円柱の形になります。
- こま・電球・ワイングラス：上から見ると円、横から見ると左右対称。回転体の形をしたものは身のまわりにたくさんあります。
回転体には、次の特ちょうがあります。
- 軸に垂直な面で切ると、切り口はいつも円。
- 軸をふくむ面で切ると、切り口はもとの図形を軸で折り返した、線対称な形。
まとめると、回転体は「平面図形が回って通ったあと」の立体です。どの図形を、どの軸のまわりに回すかで、できる立体が決まります。
まなぶくん
回転体は、どこで横に切っても切り口が円になるんだね！
回転体の例と、そうでないもの
○ 回転体
- 長方形を 1 辺のまわりに → 円柱
- 直角三角形を直角をはさむ辺のまわりに → 円錐
- 半円を直径のまわりに → 球
- 台形（直角のあるもの）を、直角をはさむ辺のまわりに → 円錐台（円錐の頭を切った形）
- 軸からはなれた長方形 → 穴のあいた円柱
- 円を、はなれた軸のまわりに → ドーナツの形
× 回転体ではない
- 三角柱・四角柱（どこで切っても円にならない）
- 立方体・直方体
- 三角錐・四角錐
- 円柱をななめに切った立体
- 正多面体（サイコロなど）
- 平面図形を軸にそって「平行に」動かしてできる柱体
回転体かどうかは、「軸に垂直に切った切り口が、いつも円になるか」で見分けられます。角柱や角錐は、切り口が多角形になるので回転体ではありません。
図で見る：どんな立体ができる？
直角三角形を、直角をはさむ辺のまわりに回すと円錐になります。半円を直径のまわりに回すと球になります。
このとき、軸からいちばん遠い点までの長さが、底面の半径になります。上の円錐では、軸から 3 cm はなれた点が回るので、底面の半径は 3 cm です。
ハルちゃん
同じ三角形でも、ちがう辺のまわりに回したら、ちがう立体になるの？
合格先生
そうなんだ。3 cm の辺を軸にすると、こんどは半径 4 cm・高さ 3 cm の円錐になる。形は同じ円錐でも、大きさも体積もかわるよ。どれが軸かを最初に確かめよう。
図形が軸からはなれていると、軸のまわりにすきまができて、まん中に穴があいた立体になります。
回転体の切り口
回転体を切ると、切り口は次のようになります。見取り図や断面図をかく問題で使います。
| もとの図形 | 回転体 | 軸をふくむ切り口 | 軸に垂直な切り口 |
|---|---|---|---|
| 長方形 | 円柱 | 長方形 | 円 |
| 直角三角形 | 円錐 | 二等辺三角形 | 円 |
| 半円 | 球 | 円 | 円 |
| 軸からはなれた長方形 | 穴のあいた円柱 | 長方形 2 つ | 円の輪（ドーナツ形） |
軸をふくむ切り口は、もとの図形と、それを軸で折り返した図形を合わせた形です。だから、回転体の問題では、まずもとの図形を軸で折り返してかくと、立体の形がつかみやすくなります。
テスト・入試ではこう出る
回転体は中学 1 年の空間図形で習います。中学受験でも、回転体の体積・表面積はよく出ます。高校では数学Ⅲの積分で、曲線を回してできる立体の体積を で求めます。よく出る形は次のとおりです。
- 平面図形と軸を見て、できる立体の見取り図・名前を答える。
- 回転体の体積・表面積を求める（円錐の に注意）。
- 穴のあいた立体や、円柱と円錐を組み合わせた立体の体積を、たし算・ひき算で求める。
中学受験では円周率を 3.14 として計算することが多いので、最後まで のまま計算して、最後に 1 回だけ 3.14 をかけると、計算ミスがへります。たとえば としてから とします。
例題1（円錐）
底辺 3 cm、高さ 4 cm の直角三角形を、高さの辺のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めましょう（円周率は ）。
- 高さの辺（4 cm）が軸なので、できる立体は底面の半径 3 cm、高さ 4 cm の円錐です。
- 円錐の体積 ＝ 底面積高さ
答え cm³（円周率を 3.14 とすると 37.68 cm³）
例題2（穴のあいた立体）
回転の軸から 1 cm はなれたところに、横 2 cm、たて 3 cm の長方形があります（たての辺は軸と平行）。この長方形を軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めましょう。
- 回すと、外側の半径 3 cm、内側の半径 1 cm、高さ 3 cm の、穴のあいた円柱になります。
- 大きい円柱から、穴の円柱を引きます。
答え cm³
ハルちゃん
穴のあいた立体は「大きい円柱 − 穴の円柱」で計算できるね！
まちがえやすい点
合格先生
同じ三角形でも軸がちがえば体積もちがう！ どの辺のまわりに回すか、最初に確かめよう。
- 軸を読みまちがえる：同じ直角三角形でも、高さの辺のまわりなら 、底辺のまわりなら で、体積がちがいます。どの線が軸かに印をつけてから考えましょう。
- 穴を見落とす：軸からはなれた図形を回すと、まん中が空どうになります。穴のない円柱として計算すると、体積が大きくなりすぎます。
- 円錐の を忘れる：円錐の体積は、同じ底面・同じ高さの円柱の です。 のままにしないようにしましょう。
- 母線と高さを取りちがえる：直角三角形のななめの辺（3, 4, 5 の三角形なら 5 cm）は、円錐の母線になります。高さではありません。体積には高さ、側面積には母線を使います。
ことばの意味
回転体は、「回転させてできる立体（体）」という意味です。英語では solid of revolution（ソリッド・オブ・レボリューション）といい、revolution は「回転」という意味です。回転の中心になる直線を「回転の軸」、円錐や円柱の側面をつくる線分を「母線」といいます。
ミニ問題
問題1 半円を、その直径のまわりに 1 回転させると、どんな立体ができますか。
答えと解き方を見る
球です。直径が回転の軸になり、半円の弧がぐるりと回って球の表面をつくります。半円ではなく円を直径のまわりに回しても、できるのは同じ球です。
問題2 底辺 3 cm、高さ 4 cm の直角三角形を、底辺（3 cm の辺）のまわりに 1 回転させます。できる立体の体積を求めましょう（円周率は ）。
答えと解き方を見る
cm³ です。軸が 3 cm の辺なので、底面の半径が 4 cm、高さが 3 cm の円錐になります。。高さの辺のまわりに回したとき（）とは、体積がちがいます。軸がどこかが大事です。
問題3 たて 4 cm、横 3 cm の長方形を、たての辺のまわりに 1 回転させます。できる立体の体積と表面積を求めましょう（円周率は ）。
答えと解き方を見る
体積 cm³、表面積 cm² です。
- 半径 3 cm、高さ 4 cm の円柱になります。
- 体積は 。
- 表面積は、底面 2 つ と、側面（たて 4 cm、横は円周 cm の長方形） の合計で、。
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
回転体とは何ですか？
平面図形を、1本の直線（回転の軸）のまわりに1回転させてできる立体です。円柱・円錐・球などがあります。
長方形を回転させると何ができますか？
1辺のまわりに回すと円柱ができます。軸からはなれた長方形なら、まん中に穴のあいた円柱になります。
回転体の切り口はどんな形ですか？
軸に垂直に切ると円、軸をふくむ平面で切ると、もとの図形を軸で折り返した線対称な形になります。
回転体の体積の求め方は？
できる立体（円柱・円錐・球など）の公式を使います。穴があるときや組み合わせの形は、たし算・ひき算で求めます。
高校ではどう習いますか？
数学Ⅲの積分で、曲線をx軸のまわりに回してできる立体の体積を、πy²を積分して求めます。
回転体は何年生で習いますか？
中学1年の空間図形で習います。中学受験でもよく出ます。
出典・参考
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（空間図形・回転体）
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅲ（積分法・体積）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
