速度と加速度とは？微分との関係・速さとのちがいをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

速度と加速度とは？微分との関係・速さとのちがいをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

速度と加速度とは

位置 xx を時刻 tt で微分したものが速度 v=dxdtv=\dfrac{dx}{dt}、速度を時刻で微分したものが加速度 a=dvdta=\dfrac{dv}{dt} です。速度は向き（符号）をもち、その絶対値が速さです。

読み方：そくどとかそくど／英語：velocity and acceleration

うかるくん

うかるくん

ボールを真上に投げて、いちばん高い所で止まった瞬間は、加速度も 0 ですよね？

合格先生

合格先生

止まっているのは速度だけだよ。重力で下向きの加速度はずっとはたらいている。だから次の瞬間、落ち始めるんだ。

この用語のポイント

  • v=dxdtv=\dfrac{dx}{dt}、a=dvdta=\dfrac{dv}{dt}。逆に積分すると速度・位置の変化
  • 速度は符号つき、速さは ∣v∣|v|。v=0v=0 でも a≠0a\ne0 のことがある
  • 道のりは ∣v∣|v| を積分。向きが変わる時刻で区間を分ける

やさしく言うと

速度は「位置がどれだけの速さで、どちらの向きに変わっているか」、加速度は「速度がどれだけの速さで変わっているか」です。数学では、位置を時刻で微分したものが速度、速度を時刻で微分したものが加速度です。

  • 電車の発車：止まっていた電車がだんだん速くなるのは、進む向きに加速度があるからです。速度が 0 でも、加速度は 0 とは限りません。
  • 車のブレーキ：前に進みながらブレーキをかけると、速度は前向きのまま小さくなります。このとき加速度は後ろ向き（負）です。
  • ボールを真上に投げる：いちばん高い所で、ボールは一瞬止まります（速度 0）。でも重力による下向きの加速度は、ずっとはたらいています。だからまた落ちてきます。

まとめると、位置 →（微分）→ 速度 →（微分）→ 加速度。速度は「位置の変化率」、加速度は「速度の変化率」です。

位置x速度v＝dx/dt加速度a＝dv/dt 微分 微分 積分 積分
微分すると右へ、積分すると左へ進む
ひらめいたうかるくん

うかるくん

速度は「位置の変化率」、加速度は「速度の変化率」。どっちも微分なんだ！

速度・加速度の例と、まちがった見方

○ 正しい見方

  • x=t2−4tx=t^2-4t なら v=2t−4v=2t-4、a=2a=2
  • v=−3v=-3 は「負の向きに速さ 3 で進んでいる」
  • 止まった瞬間（v=0v=0）でも、a≠0a\ne0 のことがある
  • 速度が負で加速度も負なら、負の向きにどんどん速くなる
  • 物を落とすと、y=4.9t2y=4.9t^2（m）より v=9.8tv=9.8t、a=9.8a=9.8（m/s²）

× まちがった見方

  • v=−3v=-3 を「速さが −3-3」と言う（速さは ∣v∣|v| で 3）
  • v=0v=0 だから a=0a=0 と決める
  • 加速度が負だから、必ず遅くなると思う（速度も負なら速くなる）
  • x(4)−x(0)x(4)-x(0) を進んだ道のりと考える（向きが変わると×）
  • 位置 xx をそのまま速度と思う（xx が大きくても速いとは限らない）

数直線上の運動では、速度は符号（＋・−）つきの数で、符号が向き、絶対値が速さを表します。加速度の符号は「速度がふえるか、へるか」を表すので、速度の符号と同じなら速くなり、逆なら遅くなります。

図で見る

数直線上を、位置 x=t2−4tx=t^2-4t で動く点 P を考えます。時刻ごとの位置を並べると、動きがよく分かります。

t＝0x＝0t＝1x＝-3t＝2x＝-4t＝3x＝-3t＝4x＝0 x -4-3-2-101 t＝0〜2：左へ（v＜0）　t＝2〜4：右へ（v＞0）
はじめは左へ、t＝2 で向きを変えて右へもどる

v=2t−4v=2t-4 なので、t<2t<2 では v<0v<0（左へ）、t=2t=2 で v=0v=0（一瞬止まる）、t>2t>2 では v>0v>0（右へ）です。加速度は a=2a=2 でいつも正なので、速度はいつもふえ続けています。

位置のグラフでは、接線の傾きが速度です。

tx 1234 -2-4 t＝3：傾き 2 → v＝2 t＝2：傾き 0 → v＝0 x＝t²−4t
接線の傾き＝速度。t＝2 で接線が水平になり、v＝0
サクラちゃん

サクラちゃん

グラフが下がっているところでも、点はちゃんと動いているんですよね？

合格先生

合格先生

そう。グラフが下がる所は、負の向きに動いているということだ。接線の傾きが負なら速度も負。傾きが急なほど速い、と読むんだよ。

逆に、速度のグラフの下の面積は、位置の変化になります（積分）。

tv 24 4−4 −4 ＋4 v＝2t−4 位置の変化（変位）：−4 ＋ 4 ＝ 0 道のり：4 ＋ 4 ＝ 8
速度を積分すると位置の変化。道のりは絶対値を積分する

平面上の運動

点が平面上を (x(t), y(t))(x(t),\ y(t)) と動くときは、速度も加速度もベクトルで表します。

量式意味
速度v⃗=(dxdt, dydt)\vec v=\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)進む向きと速さ（向きは軌跡の接線方向）
速さ∣v⃗∣=(dxdt)2+(dydt)2|\vec v|=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}速度ベクトルの大きさ
加速度a⃗=(d2xdt2, d2ydt2)\vec a=\left(\dfrac{d^2x}{dt^2},\ \dfrac{d^2y}{dt^2}\right)速度ベクトルの変わり方

たとえば円の上を回る点 (cos⁡t, sin⁡t)(\cos t,\ \sin t) では、速度は (−sin⁡t, cos⁡t)(-\sin t,\ \cos t) で速さはいつも 11、加速度は (−cos⁡t, −sin⁡t)(-\cos t,\ -\sin t) でいつも円の中心を向きます。速さが変わらなくても、向きが変わるので加速度があるのです。

P O 速度（接線の向き） 緑：加速度（中心向き） 速さは一定でも、向きが変わるので加速度がある
円運動：速度は接線の向き、加速度は中心の向き

テスト・入試ではこう出る

速度と加速度は、高校で微分・積分を学んだあと、その応用として学びます。物理の「速度・加速度」とも深く関係します。問題の形は、位置の式から速度・加速度を求める、v=0v=0 となる時刻（向きが変わる時刻）や位置の最大・最小を求める、速度を積分して位置の変化や道のりを求める、平面上の点の速さを求めるなどです。

例題1（位置から速度・加速度）

数直線上を動く点の時刻 tt（t≥0t\ge0）における位置が x=t3−6t2x=t^3-6t^2 のとき、速度 vv・加速度 aa を求めなさい。また、点が進む向きを変える時刻と、xx の最小値を求めなさい。

  1. 速度：v=dxdt=3t2−12t=3t(t−4)v=\dfrac{dx}{dt}=3t^2-12t=3t(t-4)
  2. 加速度：a=dvdt=6t−12a=\dfrac{dv}{dt}=6t-12
  3. v=0v=0 となるのは t=0, 4t=0,\ 4。0<t<40<t<4 では v<0v<0（負の向きに進む）、t>4t>4 では v>0v>0（正の向きに進む）。だから向きが変わるのは t=4t=4。
  4. t≥0t\ge0 で xx は t=4t=4 まで減り、そのあと増えるので、最小値は x(4)=64−96=−32x(4)=64-96=-32。このとき a=6⋅4−12=12a=6\cdot4-12=12。

答え　v=3t2−12tv=3t^2-12t、a=6t−12a=6t-12、向きが変わるのは t=4t=4、xx の最小値は −32-32

t=4t=4 では速度は 0 ですが、加速度は 1212 で 0 ではありません。止まった瞬間にも、速度を変える力ははたらいています。

例題2（速度から変位と道のり）

数直線上を動く点の速度が v=2t−4v=2t-4 のとき、t=0t=0 から t=4t=4 までの位置の変化と、道のりを求めなさい。

  1. 0≤t≤20\le t\le2 では v≤0v\le0、2≤t≤42\le t\le4 では v≥0v\ge0。
  2. 位置の変化：∫04(2t−4) dt=[t2−4t]04=0\displaystyle\int_0^4(2t-4)\,dt=\Bigl[t^2-4t\Bigr]_0^4=0
  3. 道のり：∫04∣2t−4∣ dt=∫02(4−2t) dt+∫24(2t−4) dt=4+4=8\displaystyle\int_0^4|2t-4|\,dt=\int_0^2(4-2t)\,dt+\int_2^4(2t-4)\,dt=4+4=8

答え　位置の変化 0、道のり 8（図3の三角形2つの面積と一致します）

指し棒で説明する合格先生

合格先生

道のりは ∣v∣|v| を積分！ vv の符号が変わる時刻で区間を分けよう。

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

道のりは「位置の差」ではなく、∣v∣|v| の積分！

  • 速度と速さを同じにする：速度 −6-6 のとき、速さは 66 です。速さは速度の絶対値（平面なら速度ベクトルの大きさ）です。
  • v=0v=0 なら a=0a=0 と思う：例題1の t=4t=4 では v=0v=0 ですが a=12a=12 です。ボールのいちばん高い所でも、重力の加速度ははたらいています。
  • 道のりを位置の差で求める：x=t2−4tx=t^2-4t で t=0t=0 から 44 までは、位置の差は 00 ですが、道のりは 88 です。向きが変わるときは、∣v∣|v| を積分します。
  • 加速度が負なら必ず遅くなると思う：速度も負なら、負の向きに速くなります。速くなるか遅くなるかは、vv と aa の符号が同じか逆かで決まります。
  • 単位をそろえない：位置が m、時刻が秒なら、速度は m/s、加速度は m/s²（1秒あたりに速度が何 m/s 変わるか）です。

ことばの由来

速度は「速さの度合い」、加速度は「速度が加わる（変わる）度合い」という意味の漢字の組み合わせです。英語では速度を velocity、速さを speed、加速度を acceleration といい、物理では velocity（向きのある量）と speed（大きさだけ）を区別して使います。

ミニ問題

問題1　数直線上を動く点の位置が x=3t2−12t+5x=3t^2-12t+5 のとき、t=1t=1 における速度・速さ・加速度を求めましょう。

答えと解き方を見る

速度 −6-6、速さ 66、加速度 66 です。v=6t−12v=6t-12 より v(1)=−6v(1)=-6。速さは速度の絶対値なので 66。a=6a=6（いつも一定）です。速度が負なのは、負の向きに進んでいるということです。

問題2　位置が x=t3−3tx=t^3-3t（t≥0t\ge0）の点が、向きを変える時刻と、そのときの加速度を求めましょう。

答えと解き方を見る

t=1t=1、加速度 66 です。v=3t2−3=3(t+1)(t−1)v=3t^2-3=3(t+1)(t-1) で、t≥0t\ge0 では t=1t=1 のとき v=0v=0、その前後で vv の符号が負から正に変わります。a=6ta=6t なので a(1)=6a(1)=6 です。

問題3　座標平面上を動く点の位置が (x, y)=(t, t2)(x,\ y)=(t,\ t^2) のとき、t=1t=1 における速さを求めましょう。

答えと解き方を見る

5\sqrt5 です。速度は (dxdt, dydt)=(1, 2t)\left(\dfrac{dx}{dt},\ \dfrac{dy}{dt}\right)=(1,\ 2t) で、t=1t=1 では (1, 2)(1,\ 2)。速さはその大きさで 12+22=5\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5。加速度は (0, 2)(0,\ 2) で、yy の向きにだけはたらいています。

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よくある質問

速度と速さのちがいは？

速度は向きをもつ量で、数直線上では正負の符号つきの数です。速さは速度の大きさ（絶対値）で、いつも0以上です。

加速度とは何ですか？

速度が時間とともにどれだけ変わるかを表す量です。速度を時刻で微分すると加速度になります。

速度が0のとき、加速度も0ですか？

そうとは限りません。ボールを真上に投げていちばん高い所で止まった瞬間も、下向きの加速度がはたらいています。

道のりはどう求めますか？

速度の絶対値を時刻で積分します。速度の符号が変わる時刻で区間を分けて計算します。

位置の差と道のりはどうちがいますか？

位置の差は、向きを考えたはじめと終わりの位置の変化です。途中で向きが変わると、実際に動いた道のりより小さくなります。

平面上の運動の速さはどう求めますか？

速度ベクトル（xの微分、yの微分）の大きさ、つまり2つの成分の2乗の和の平方根で求めます。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」（微分法・積分法の応用）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦