補集合とは？意味と記号・ド・モルガンをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

補集合って、A の「反対」のことですか？

合格先生

近いけれど、正しくは「全体の中で、A 以外」だよ。だから、まず全体集合 $U$ が何かを確かめるのが大事なんだ。

やさしく言うと

補集合は、「全体の中で、それ以外」のことです。まず「全体」を決めて、その中から集合 $A$ に入るものを取りのぞいた残りが、$A$ の補集合 $\overline{A}$ です。

• クラスと部活：全体をクラスの 35 人、$A$ を「部活に入っている人」とします。すると $\overline{A}$ は「部活に入っていない人」です。$A$ が 28 人なら、$\overline{A}$ は $35-28=7$ 人です。
• トランプ：全体をジョーカーを除く 52 枚、$A$ を「ハート」とします。$\overline{A}$ は「ハート以外」で、スペード・ダイヤ・クラブの 39 枚です。
• 出席と欠席：出席した人の集合の補集合は、欠席した人の集合です。どちらか一方がわかれば、もう一方もわかります。

まとめると、補集合は「全体集合 $U$ の中で、$A$ に入らない要素の集まり」です。記号では $\overline{A}=\{x\mid x\in U \text{ かつ } x\notin A\}$ と書きます。

補集合の例

補集合は、いつも全体集合 $U$ とセットで考えます。たとえば「偶数の補集合」は、全体が「1〜10 の整数」なら $\{1,3,5,7,9\}$ ですが、全体が「自然数全体」なら「奇数全体」です。全体を変えると、答えも変わります。

図で見る

補集合は、ベン図では円の外側（四角の中）です。図1のように、四角が $U$、円が $A$ のとき、四角の中で円に入らない部分が $\overline{A}$ でした。

2 つの集合 $A$、$B$ があるときも、ベン図で考えると補集合の関係がよくわかります。$\overline{A}$ と $\overline{B}$ をあわせると、$A$ と $B$ の重なり以外の全部になります。

うかるくん

「A かつ B」の補集合が、どうして「A でない または B でない」になるんですか？

合格先生

「A かつ B」でないのは、どちらか片方でも欠けているときだよね。「A でない」か「B でない」か、少なくとも一方が起これば、もう「A かつ B」ではなくなる。だから「または」になるんだ。これがド・モルガンの法則だよ。

数直線の上の集合でも、補集合はよく出てきます。このとき気をつけるのは境目の点です。

補集合の性質

全体集合を $U$ とすると、補集合には次の性質があります。どれもベン図をかくとすぐに確かめられます。

いちばんよく使うのは最後の $n(\overline{A})=n(U)-n(A)$ です。「〜でないもの」を数えるとき、直接数えるより全体から $A$ をひくほうが楽なことがよくあります。この考え方は、確率の事象では「余事象」として出てきます。

サクラちゃん

「〜でない」を数えるときは、全体から引けばいいのね！

テスト・入試ではこう出る

補集合は、高校の数学Ⅰ「集合と命題」で習います。定期テストでは、要素を書き出して補集合や共通部分を求める問題、ド・モルガンの法則を使う問題がよく出ます。数学Aの場合の数・確率では、「〜でないもの」の個数を補集合で数える形で何度も使います。

まちがえやすい点

合格先生

$\{x\mid x>2\}$ の補集合は $x\le2$。境目の 2 を忘れない！

• 全体集合を確かめない：同じ $A=\{2,4,6\}$ でも、$U=\{1,\dots,6\}$ なら $\overline{A}=\{1,3,5\}$、$U=\{1,\dots,10\}$ なら $\overline{A}=\{1,3,5,7,8,9,10\}$ です。問題文の $U$ を必ず見ます。
• 境目の点を落とす：$\{x\mid x>2\}$ の補集合は $\{x\mid x\le2\}$ です。「$>$」の反対を「$<$」にすると、$x=2$ がどちらにも入らなくなります。「$\ge$」の反対は「$<$」です。
• 上の線を分けるときに記号を変えない：$\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap\overline{B}$ は×。線を分けたら $\cap$ と $\cup$ を入れかえて、$\overline{A}\cup\overline{B}$ です。
• 「または」の補集合を「または」のままにする：「2 か 3 の倍数」でないものは、「2 の倍数でないかつ 3 の倍数でない」ものです。例題2の 33 個がこれです。
• $n(U)$ を忘れる：$n(\overline{A})$ を「$A$ の個数をひく」だけで終わらせず、全体の個数から引きます。

ことばの由来

「補」は「おぎなう」という意味の漢字です。$A$ に $\overline{A}$ をおぎなうと、ちょうど全体 $U$ になる。だから補集合とよびます。英語では complement（コンプリメント）で、「足りないところをおぎなって、全体をそろえるもの」という意味の言葉です。つづりのよく似た compliment（ほめ言葉）とは別の単語です。

記号は、高校の教科書では $\overline{A}$（A バー）がふつうです。大学の本などでは $A^c$ や $A^{\complement}$ と書くこともあります。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 集合の要素の個数（包除原理）
• 確率の基本と余事象

あわせて覚えたい用語

• 集合
• ド・モルガンの法則
• 共通部分・和集合

よくある質問