共通部分・和集合とは？記号∩∪と個数の公式をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$\cap$ と $\cup$、どっちがどっちか、いつも分からなくなります…

合格先生

$\cup$ は器（カップ）の形。$A$ も $B$ も全部入れるのが和集合だよ。ふたをかぶせた $\cap$ は、重なりだけの共通部分だ。

やさしく言うと

2 つの集合 $A$、$B$ があるとき、両方に入っているものを集めたのが共通部分 $A\cap B$、少なくとも一方に入っているものを集めたのが和集合 $A\cup B$ です。

• 部活と塾：$A$ を「部活に入っている人」、$B$ を「塾に通っている人」とします。$A\cap B$ は「部活に入っていて、かつ塾にも通っている人」、$A\cup B$ は「部活か塾の、少なくともどちらかをしている人」です。
• 2 人の好きな食べ物：わたしの好物が {カレー, すし, ラーメン}、友だちの好物が {すし, ラーメン, パスタ} なら、共通部分は {すし, ラーメン}（2 人とも好き）、和集合は {カレー, すし, ラーメン, パスタ}（どちらかが好き）です。
• 2 つのクラスの名簿：2 つの名簿を 1 つにまとめた名簿が和集合です。両方の名簿にのっている人は、まとめた名簿には1 回だけ書きます。

まとめると、共通部分は「かつ」、和集合は「または」にあたります。$\cap$ は形から「キャップ」、$\cup$ は「カップ」とよばれることもあります。

共通部分・和集合の例

共通の要素が 1 つもないときの共通部分は、空集合 $\varnothing$ です。「0」と書くのはまちがいです。0 は数で、$\varnothing$ は「要素が何もない集合」です。

図で見る

集合の要素が数直線の範囲（不等式）で表されるときは、数直線に線を引くとすぐ分かります。共通部分は線が重なっている部分、和集合はどちらかの線がある部分です。

サクラちゃん

端の点が黒丸か白丸かは、どうやって決めるんですか？

合格先生

共通部分では「両方に入るか」、和集合では「どちらかに入るか」で決めるんだ。図の $x=3$ は、$A$ には入るし $B$（$x<5$）にも入るから、共通部分でも黒丸だよ。

2 つの集合の要素の個数は、ベン図でいうと「重なりを 2 回数えないように」数えます。$A$ と $B$ を足すと、重なり $A\cap B$ の部分は 2 回数えてしまうので、1 回分を引きます。

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

3 つの集合のとき

集合が 3 つになると、公式は次のようになります。足して、2 つずつの重なりを引いて、3 つの重なりを足しもどします。

$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$$

3 つの重なり（真ん中）は、はじめに 3 回足され、次に 3 回引かれて、0 回になってしまいます。だから最後に 1 回足しもどすのです。真ん中の部分に注目して数えてみると、公式の形が納得できます。

うかるくん

重なりを引きすぎたら、真ん中を足しもどす。ベン図で数えると一発で分かる！

確率とのつながり

確率では、2 つの事象が「両方起こる」ことを積事象 $A\cap B$、「少なくとも一方が起こる」ことを和事象 $A\cup B$ とよびます。集合の記号をそのまま使い、確率でも同じ形の式が成り立ちます。

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

たとえば、1〜100 のカードから 1 枚引くとき、4 の倍数または 6 の倍数を引く確率は、ミニ問題3の個数を使って $\dfrac{33}{100}$ です。$A\cap B=\varnothing$（同時には起こらない）ときは、引く部分がなくなって $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ になります。

テスト・入試ではこう出る

共通部分と和集合は、高校の数学Ⅰ「集合と命題」で習います。要素を書き出す問題、不等式の範囲を数直線で求める問題、数学Aの場合の数でベン図を使って個数を求める問題がよく出ます。

まちがえやすい点

合格先生

数学の「または」は両方の場合もふくむ。$A\cup B$ には $A\cap B$ も入るよ！

• 重なりを引き忘れる：$n(A\cup B)=n(A)+n(B)$ は、$A$ と $B$ に共通の要素がないときだけです。ふつうは $n(A\cap B)$ を引きます。
• 記号の向きを逆にする：$\cap$（キャップ、ぼうしの形）が共通部分、$\cup$（カップ、器の形）が和集合です。「和集合は器にどちらも入れる」と覚えると取りちがえません。
• 数学の「または」を「どちらか一方だけ」と思う：数学の「$A$ または $B$」は、両方の場合もふくみます。$A\cup B$ には $A\cap B$ の要素も入ります。
• 和集合で同じ要素を 2 回書く：集合では同じ要素は 1 回だけ書きます。$\{1,2\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}$ です。
• 両方の倍数を「かけ算」で作る：4 の倍数と 6 の倍数の共通部分は、$4\times6=24$ の倍数ではなく、最小公倍数 12 の倍数です。

ことばの由来

「共通部分」は、2 つの集合に共に通じている部分、「和集合」は 2 つを合わせた集合という意味です。英語では共通部分を intersection（交わり、交差点と同じ単語）、和集合を union（結合、連合）といいます。本によっては、共通部分を「積集合」、和集合を「合併集合」とよぶこともあります。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 集合の要素の個数（包除原理）
• 確率の基本と余事象

あわせて覚えたい用語

• 集合
• 補集合
• 排反

よくある質問