媒介変数とは？媒介変数表示と消去をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

サクラちゃん

$x$ と $y$ の式があるのに、どうしてわざわざ $t$ を使うんですか？

合格先生

ボールの動きを思いうかべてごらん。「何秒後にどこにいるか」は、時刻 $t$ で横と高さを別々に書くほうが自然だよね。それが媒介変数表示なんだ。

やさしく言うと

媒介変数は、$x$ と $y$ のあいだに入って、2 つを結びつける「3 つ目の変数」です。点の位置 $(x,\ y)$ を、別の変数 $t$ を使って $x=f(t)$、$y=g(t)$ と表します。この表し方を媒介変数表示（パラメータ表示）といいます。

• 時刻ごとの位置：ボールや車の位置は、「何秒後に、横に何 m、上に何 m」と時刻 $t$ で表すと自然です。このとき時刻 $t$ が媒介変数です。
• 観覧車のゴンドラ：中心から見た角度 $\theta$ がわかれば、ゴンドラの横の位置と高さが決まります。$x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$ のように、角度が媒介変数になります。
• 仲立ちをする人：「媒介」は、間に入って取り持つという意味です。$x$ と $y$ の関係を直接書くかわりに、$t$ が間に立って両方を決めています。

まとめると、媒介変数表示は「$t$ を決めると点が 1 つ決まる」という表し方です。$t$ を動かすと、点が動いて曲線をえがきます。

媒介変数表示の例

同じ曲線でも、媒介変数の取り方は 1 つではありません。たとえば放物線 $y=x^2$ は、$x=t$、$y=t^2$ とも、$x=2t$、$y=4t^2$ とも表せます。

図で見る

円は、媒介変数表示がいちばん活躍する図形です。角 $\theta$ をとると、円の上の点 $P$ は $x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$ と表せます。

うかるくん

円は $x^2+y^2=1$ で表せるのに、わざわざ $\theta$ を使う意味はあるんですか？

合格先生

$x^2+y^2=1$ だと、$y=\pm\sqrt{1-x^2}$ と上下 2 つに分かれてしまう。$\theta$ を使えば1 つの式で円全体を表せるし、「何度の位置か」もすぐわかる。計算がずっと楽になるんだよ。

物の運動も、時刻 $t$ を媒介変数にすると自然に表せます。ななめに投げたボール（空気の影響は考えない）の位置を、$x=10t$、$y=20t-5t^2$ としてみましょう。

$x=10t$ より $t=\dfrac{x}{10}$。これを $y$ の式に代入すると $y=2x-\dfrac{x^2}{20}$ となり、通り道が放物線であることがわかります。一方、媒介変数表示のままなら「2 秒後にいちばん高い 20 m」のように、時刻の情報も読みとれます。

媒介変数を消す方法

媒介変数表示から $x$ と $y$ の関係式を求めることを、「媒介変数を消去する」といいます。おもな方法は 2 つです。

大切なのは、消去したあとに$x$ や $y$ がとれる範囲を確かめることです。$x=\cos^2t$、$y=\sin^2t$ から $t$ を消すと $x+y=1$ ですが、$\cos^2t$ と $\sin^2t$ は 0 以上 1 以下なので、点が動くのは直線全体ではなく線分だけです。

サクラちゃん

t を消したら、x と y の範囲もチェック。ここで差がつくのね！

テスト・入試ではこう出る

媒介変数表示は、高校の数学C「平面上の曲線」で、放物線・だ円・双曲線や極座標と一緒に学びます。よく出るのは、媒介変数を消去して曲線の方程式を求める問題と、曲線のおおよその形を調べる問題です。数学Ⅲの微分・積分と組み合わせると、接線の傾き $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ や、曲線で囲まれた面積・曲線の長さを求める問題になります。円が直線の上を転がるときの円周上の 1 点がえがくサイクロイド $x=a(\theta-\sin\theta)$、$y=a(1-\cos\theta)$ も、媒介変数表示の代表的な曲線です。

図3のボールで接線の傾きを求めると、$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{20-10t}{10}=2-t$。$t=2$（いちばん高い所）で傾きが 0、つまり真横に進んでいることがわかります。

まちがえやすい点

合格先生

$t$ を消したら、x と y がとれる範囲をチェック！ 直線全体とは限らないよ。

• 消去したあとの範囲を忘れる：$x=t^2$ なら $x\ge0$、$x=\cos\theta$ なら $-1\le x\le1$ です。消去した式だけを答えると、図形が大きくなりすぎることがあります。
• $\dfrac{dy}{dx}$ を $\dfrac{dy}{dt}$ と取りちがえる：接線の傾きは $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ です。$\dfrac{dy}{dt}$ だけでは「時間あたりの $y$ の変化」で、傾きではありません。
• $t$ の値と点の座標を混同する：$t=2$ のときの点は $(2,\ 2)$ とは限りません。$x=f(2)$、$y=g(2)$ を計算して座標を出します。
• 媒介変数表示は 1 通りだけと思う：同じ曲線にも、いろいろな表し方があります。問題に合わせて、計算しやすい $t$ を選べばよいのです。

ことばの意味

「媒介」は、2 つのものの間に入って、取り持つという意味の言葉です。$x$ と $y$ の間に入って両方を決める変数なので、媒介変数とよばれます。英語では parameter（パラメーター）といい、日本語でも「パラメータ表示」ということがあります。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 媒介変数表示
• 円の方程式
• 2次曲線（放物線・楕円・双曲線）
• 極座標と極方程式

あわせて覚えたい用語

• 関数
• 三角関数
• 放物線

よくある質問