対数関数とは？意味とグラフをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

サクラちゃん

対数と対数関数って、何がちがうんですか？

合格先生

$\log_2 8=3$ のような1 つの値が対数。真数を変数 $x$ にして、$x$ を変えると $y=\log_2x$ がどう変わるかを見るのが対数関数だよ。グラフにすると、性質がひと目でわかるんだ。

やさしく言うと

対数関数は、「何倍か」を「何段目か」に直す関数です。$y=\log_2x$ なら、$x$ が 2 倍になるごとに $y$ が 1 ずつふえます。何十倍・何万倍というちがいを、小さな数のちがいで表せます。

• 音の大きさ（デシベル）：音の強さが 10 倍になるごとに、デシベルの値は 10 ずつ上がります。とても小さな音から大きな音まで、はばの広い強さを、0〜100 くらいの数で表せます。
• 酸性・アルカリ性（pH）：pH が 1 小さくなると、水素イオンの濃さは 10 倍になります。pH は濃さの対数をもとにした数です。
• けた数：$\log_{10}x$ は、$x$ が 10 倍になるごとに 1 ふえます。10 は 1、100 は 2、1000 は 3。だいたい「けた数 − 1」を表しています。

まとめると、対数関数は「かけ算で大きくなる量を、たし算のものさしで測る関数」です。指数関数 $y=2^x$ が「何段目 → 何倍」なら、対数関数 $y=\log_2x$ はその逆の「何倍 → 何段目」です。

サクラちゃん

指数関数を逆向きに読んだのが対数関数なのね！

対数関数の例と、対数関数ではないもの

対数関数では、変数 $x$ が log の後ろ（真数）に入っています。$y=(\log_2 3)x$ のように、log の部分が決まった数（約 1.585）なら、それはただの係数です。底は $a>0$、$a\ne1$、真数は $x>0$ です。

図で見る（グラフの形）

$\log_a1=0$ なので、どの対数関数も点 $(1,\ 0)$ を通ります。$x>0$ の部分だけにグラフがあり、$x$ を 0 に近づけると $y$ はどこまでも小さく（底が 1 より小さいときは大きく）なって、$y$ 軸に近づきます。$y=\log_ax$ は $y=a^x$ の逆関数なので、2 つのグラフは直線 $y=x$ について対称です（図は対数のページ）。

とてもゆっくりふえる

$y=\log_2x$ は、$x$ が 2 倍になって、やっと $y$ が 1 ふえる関数です。

うかるくん

こんなにゆっくりなら、$y=\log_2x$ はどこかで止まって、上限があるんじゃないですか？

合格先生

ゆっくりだけど、止まらないんだ。$y=10$ にするには $x=2^{10}=1024$、$y=20$ なら約 100 万。$x$ をいくらでも大きくすれば、$y$ もいくらでも大きくなる。上限はないよ。

ふえ方がゆっくりなので、$x$ がとても大きな数でも、$y$ は扱いやすい大きさにおさまります。これが、デシベルや pH のように「はばの広い量を表す」のに対数が使われる理由です。

真数条件と不等式

対数関数の方程式・不等式では、真数条件（真数 $>0$）と底の大きさの 2 つに気をつけます。

$\log_2x<3$ を解くとき、$3=\log_2 8$ なので「$x<8$」としたくなります。しかし対数関数のグラフは $x>0$ の部分にしかありません。だから答えは $0<x<8$ です。また、底が $\dfrac12$ のように 1 より小さいときは、グラフが右下がりなので、真数どうしをくらべるときに不等号の向きが逆になります。

テスト・入試ではこう出る

対数関数は高校の数学Ⅱ（指数関数・対数関数）で習います。定期テストや大学入試では、グラフの形と平行移動、対数の大小比較、真数条件をふくむ方程式・不等式、$t=\log_2x$ とおきかえる最大・最小の問題がよく出ます。常用対数を使ったけた数の問題もよく出ます。

うかるくん

まず真数条件、次に底が 1 より大きいか小さいか。この順番で確かめよう！

まちがえやすい点

合格先生

対数関数が通るのは $(1,\ 0)$。$(0,\ 1)$ は指数関数だよ！

• 真数条件を忘れる：$\log_2x<3$ の答えを「$x<8$」とするのは×。真数条件 $x>0$ をあわせて $0<x<8$ です。
• 底が 1 より小さいときの不等号：$\log_{\frac12}x>\log_{\frac12}4$ は $x>4$ ではなく $0<x<4$ です。減少関数なので向きが逆になります。
• 通る点を (0, 1) と覚える：$(0,\ 1)$ を通るのは指数関数 $y=a^x$。対数関数 $y=\log_ax$ が通るのは $(1,\ 0)$ です。$x=0$ では対数関数は定義されません。
• 平行移動したときの漸近線：$y=\log_2(x-1)$ の漸近線は $y$ 軸ではなく、直線 $x=1$ です。グラフ全体が右へ 1 ずれています。
• ゆっくりだから上限があると思う：$y=\log_2x$ はどこまでも大きくなります。「漸近線があるのは $y$ 軸の方向（$x\to0$）だけ」です。

ことばの由来

対数は、指数と「対（つい）」になる数、という意味でとらえると覚えやすい言葉です。英語では logarithmic function（ロガリズミック ファンクション）といい、logarithm（対数）の形容詞です。ことばと歴史のくわしい話は対数のページにまとめています。

ミニ問題

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