指数関数とは？意味とグラフをわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

指数関数って、指数とは何がちがうんですか？

合格先生

指数は $2^3$ の「3」のような数のこと。指数関数は、その指数を変数 $x$ にして、$x$ が変わると $y=2^x$ がどう変わるかを見る関数なんだ。

やさしく言うと

指数関数は、「同じ倍率で、くり返しふえる（へる）」ようすを表す関数です。$y=2^x$ なら、$x$ が 1 ふえるたびに $y$ が 2 倍になります。

• 倍々ゲーム：1 日目に 1 円、2 日目に 2 円、3 日目に 4 円…と、毎日前の日の 2 倍のお金をもらうとします。30 日目には $2^{29}$ 円で、5 億円をこえます。
• 紙を折る：厚さ 0.1mm の紙を半分に折るたびに、厚さは 2 倍になります。10 回で $0.1\times2^{10}=102.4$mm、20 回折れたとすると約 105m になります（実際には、そんなに折れません）。
• ふえる細菌：一定の時間ごとに 2 つに分かれて数が 2 倍になる細菌は、時間がたつと指数関数的にふえていきます。

「毎日 10 ずつふえる」と「毎日 2 倍になる」をくらべると、はじめは 10 ずつのほうが多いのに、やがて 2 倍のほうが一気に追いぬきます。

まとめると、指数関数は「たし算でふえる（一次関数）のではなく、かけ算でふえる関係」を表す関数です。ニュースなどで「指数関数的にふえる」というのは、この急なふえ方のことです。

うかるくん

2 倍、2 倍…って、最初は小さいのに、あとからすごいことになるんだ！

指数関数の例と、指数関数ではないもの

指数関数で大事なのは、変数 $x$ が肩（指数）にのっていることです。$y=x^2$ は $x$ が下（底）にあるので、指数関数ではありません。また、底 $a$ は $a>0$、$a\ne1$ と決めています。

図で見る（グラフの形）

いろいろな底の指数関数のグラフをならべてみます。

どの指数関数も、$a^0=1$ なので点 $(0,\ 1)$ を通ります。また、$a^x$ は 0 にも負の数にもならないので、グラフは $x$ 軸より上だけにあり、$x$ 軸に近づくけれど交わりません（$x$ 軸が漸近線）。$y=2^x$ と $y=\left(\dfrac12\right)^x$ は、$y$ 軸について対称です。

0・負の数・分数の指数

サクラちゃん

$2^{-1}$ とか $2^{\frac12}$ って、「2 を $-1$ 回かける」なんてできないのに、どうして考えるんですか？

合格先生

指数関数のグラフをすきまのない 1 本の線にするためだよ。整数の $x$ だけだと、点がとびとびになってしまう。指数法則がそのまま使えるように 0・負の数・分数の指数を決めると、点がなめらかにつながるんだ。

$a^0=1$、$a^{-n}=\dfrac1{a^n}$、$a^{\frac1n}=\sqrt[n]a$ と決めると、$y=2^x$ の点は図のように 1 本の曲線にきれいにのります。たとえば $2^{\frac12}=\sqrt2\fallingdotseq1.41$ は、$2^0=1$ と $2^1=2$ の間にあります。くわしくは指数のページで説明しています。

指数方程式・指数不等式

$2^x=8$ のように、指数に未知数がある方程式は、底をそろえて指数をくらべると解けます。$8=2^3$ なので $x=3$ です。

不等式のときは、底が 1 より大きいか小さいかに注意します。$y=2^x$ は増加関数なので、$2^x>8$ は $x>3$。ところが $y=\left(\dfrac12\right)^x$ は減少関数なので、$\left(\dfrac12\right)^x>8$ は $x<-3$ と、不等号の向きが逆になります。

テスト・入試ではこう出る

指数関数は高校の数学Ⅱ（指数関数・対数関数）で習います。定期テストや大学入試では、指数の計算、大小比較（底をそろえる）、指数方程式・不等式、$t=2^x$ などとおきかえて二次方程式にする問題、グラフの平行移動がよく出ます。おきかえたときに $t>0$ を忘れないことが大切です。

合格先生

不等式では、まず「底は 1 より大きい？小さい？」を確かめよう！

まちがえやすい点

合格先生

底が 1 より小さいと、不等号の向きが逆になるよ！

• $y=2^x$ と $y=x^2$ を取りちがえる：$2^x$ は指数関数、$x^2$ は二次関数です。$x=10$ のとき、$2^{10}=1024$、$10^2=100$ で、まったくちがいます。
• 底が 1 より小さいときの不等号：$\left(\dfrac12\right)^x>\left(\dfrac12\right)^3$ は $x>3$ ではなく $x<3$ です。減少関数なので向きが逆になります。
• $a^x$ が 0 や負になると思う：$2^{-3}=\dfrac18$ のように、指数が負でも値は正です。指数関数の値はいつも正で、$x$ 軸とは交わりません。
• 指数法則をまぜる：$2^3\times2^4=2^7$（指数はたし算）、$(2^3)^4=2^{12}$（指数はかけ算）です。$2^3\times2^4=2^{12}$ や $4^7$ にしないように。
• おきかえで $t>0$ を忘れる：$t=3^x$ とおいたら $t>0$ です。$t=-1$ のような解が出たら捨てます。

ことばの由来

指数は、$a^n$ の右上の小さな数 $n$ のことで、「何回かけるか」を指し示す数です。その指数に変数 $x$ をおいた関数なので、指数関数といいます。英語では exponential function（エクスポネンシャル ファンクション）といい、exponent が指数のことです。英語でも日本語でも、「指数関数的（exponential）」は「急激にふえる」ようすを表すたとえとしてよく使われます。

ミニ問題

関連する公式・用語

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• 指数法則と対数の公式
• 指数関数・対数関数のグラフ
• 自然対数の底 e の定義

あわせて覚えたい用語

• 指数
• 対数関数
• 漸近線

よくある質問