相加平均と相乗平均とは？関係と使い方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

うかるくん

$x+\dfrac4x$ の最小値って、グラフをかかないと分からないですよね…

合格先生

相加平均と相乗平均の関係を使えば1行だよ。$x$ と $\dfrac4x$ はかけると 4 で一定。だから $x+\dfrac4x\ge2\sqrt4=4$。等号は $x=2$ のときだ。

やさしく言うと

2つの正の数 $a,\ b$ について、足して2でわった平均（相加平均）と、かけて平方根をとった平均（相乗平均）があります。この2つには、いつも次の大小関係があります。

$$\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\quad(a>0,\ b>0)$$

等号が成り立つのは $a=b$ のときだけです。これを「相加平均と相乗平均の関係」といいます。

身近なたとえで考えてみましょう。

• ひもで囲む：長さ20cmのひもで長方形を作るとき、たて1cm・横9cmなら面積9cm²、たて横5cmの正方形なら面積25cm²。まわりが同じなら、正方形の面積がいちばん大きい。これが相加平均と相乗平均の関係です。
• 値上がり率：1年目に2倍、2年目に8倍になった株価は、2年で16倍。「毎年同じ倍率」で16倍になるには毎年4倍（$\sqrt{2\times8}$）。かけ算で増えるものの平均には、相乗平均が向いています。
• 2人の歩く速さ：差が大きい2人ほど、2つの平均の差も大きくなります。2人が同じなら、どちらの平均も同じです。

まとめると、2つの正の数では「足して2でわる」ほうが「かけて√」より大きいか等しい、ということです。

例と、使えない例

使える条件は、① 2つとも正の数、② 最小値を求めたいときは、積が一定の2つです。さらに③ 等号が成り立つ値が実際にあるかも確かめます。

図で見る

半円を使うと、相加平均と相乗平均が「長さ」で比べられます。直径を長さ $a$ と $b$ に分けると、半径が相加平均、分けた点から立てた垂直な線の高さが相乗平均になります。

サクラちゃん

どうして縦の線の高さが $\sqrt{ab}$ になるんですか？

合格先生

半円の中にできる直角三角形の相似から、高さを $h$ とすると $a:h=h:b$、つまり $h^2=ab$ になるんだ。半径は半円でいちばん高い縦の線だから、$\dfrac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$。等号は縦の線がちょうど中心にくる $a=b$ のときだよ。

2つの数が近いほど、2つの平均の差は小さくなります。そして等しいときだけ一致します。

なぜ成り立つのか（証明）

左辺から右辺をひいて、0 以上であることを示します。$a>0,\ b>0$ なので $a=(\sqrt a)^2$、$b=(\sqrt b)^2$ と書けます。

$$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{(\sqrt a)^2-2\sqrt a\sqrt b+(\sqrt b)^2}{2}=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2}{2}\ge0$$

2乗は 0 以上なので、いつも成り立ちます。等号は $\sqrt a=\sqrt b$、つまり $a=b$ のときです。くわしくは公式辞典の相加平均と相乗平均の関係へ。

最小値を求める使い方

入試でいちばんよく使うのは、「和の最小値」を求める使い方です。2つの正の数の積が一定なら、$a+b\ge2\sqrt{ab}$ の右辺が定数になり、和の最小値が分かります。

1. 正の数であることを確かめる。
2. 積が一定になる2つに分ける（必要なら式の形を変える）。
3. $a+b\ge2\sqrt{ab}$ を使う。
4. 等号が成り立つ値を求め、それが条件に合うことを確かめる。

うかるくん

最後に「等号は x＝○ のとき」と書く。これを忘れると減点だ！

3つの正の数でも、$\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}$ が成り立ちます（等号は $a=b=c$ のとき）。

テスト・入試ではこう出る

相加平均と相乗平均の関係は、高校の数学Ⅱ（式と証明）の「不等式の証明」で習います。定期テストや大学入試では、不等式の証明と、$x+\dfrac{k}{x}$ 型の最小値がよく出ます。三角関数や指数関数の最小値、図形の面積の最大値などの問題の中で使うこともあります。

まちがえやすい点

合格先生

「≧4 だから最小値4」で終わらない！ 等号が成り立つ x が本当にあるかを必ず確かめよう。

• 正の数かどうか確かめない：$x<0$ のとき $x+\dfrac4x\ge4$ は成り立ちません（$x=-1$ なら $-5$）。答案には「$x>0$ より」と必ず書きます。
• 等号の確認をしない：「$\ge4$ だから最小値は4」で終わるのは不十分です。等号が成り立つ $x$ が実際にあることを示して、はじめて最小値といえます。
• 積が一定でないのに使う：$x+\dfrac1{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac1x}$ のように右辺に文字が残ると、最小値は分かりません。
• 2回使って等号がずれる：例題2のように、別々の場所で2回使うと、2つの等号が同時に成り立たないことがあります。展開してから1回で使うのが安全です。
• 相乗平均を「かけて2でわる」と思う：相乗平均は $\dfrac{ab}{2}$ ではなく $\sqrt{ab}$ です。

ことばの由来

「相加」は「たがいに加える（足す）」、「相乗」は「たがいに乗じる（かける）」という意味です。足して平均するのが相加平均、かけて平均するのが相乗平均です。英語では相加平均を arithmetic mean（算術平均）、相乗平均を geometric mean（幾何平均）といい、この関係は AM-GM inequality と呼ばれます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 相加平均と相乗平均の関係
• 不等式の証明
• コーシー・シュワルツの不等式
• イェンセンの不等式（凸不等式）

あわせて覚えたい用語

• 不等式
• 平方根
• 最大値・最小値

よくある質問