合格大作戦 数学用語辞典 › 微分・積分
大学受験 大学院入試
面積と定積分とは
曲線で囲まれた部分の面積は、（上のグラフの式 − 下のグラフの式）を、左はしから右はしまで定積分 して求めます。f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0 f ( x ) ≥ 0 S = ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle S=\int_a^bf(x)\,dx S = ∫ a b f ( x ) d x x x x
読み方：めんせきとていせきぶん／英語：area and definite integral／習う学年：数学Ⅱ（微分・積分の考え）、数学Ⅲ（積分法）
サクラちゃん
定積分を計算したら面積がマイナスになっちゃいました…。
合格先生
それは上と下が逆 か、x x x
この用語のポイント
面積は ∫ a b { ( 上 ) − ( 下 ) } d x \displaystyle\int_a^b\{(\text{上})-(\text{下})\}\,dx ∫ a b {( 上 ) − ( 下 )} d x x x x 下の部分は定積分が負 。交点で区間を分けて符号を直す放物線と直線の間は 1 6 \dfrac16 6 1 ∣ a ∣ ( β − α ) 3 6 \dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}6 6 ∣ a ∣ ( β − α ) 3 このページの内容
やさしく言うと 定積分がそのまま面積になるもの・ならないもの 図で見る 面積の式と求め方 テスト・入試ではこう出る まちがえやすい点 ことばの由来 ミニ問題 関連する公式・用語 よくある質問 やさしく言うと 曲線で囲まれた部分の面積は、定積分で求められます 。f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0 f ( x ) ≥ 0 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x x x x = a x=a x = a x = b x=b x = b ∫ a b f ( x ) d x \displaystyle\int_a^bf(x)\,dx ∫ a b f ( x ) d x
屋根の下の壁 ：アーチ形の屋根の下にある壁の面積は、長方形や三角形の公式では出せません。屋根の形を式 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 2本の道にはさまれた土地 ：まっすぐな道と曲がった道にはさまれた土地は、「上の道 − 下の道」の長さを、はしからはしまで積み重ねた広さです。グラフの下の量 ：速さのグラフの下の面積は進んだ道のり、雨の強さ（1時間あたりの量）のグラフの下の面積は降った雨の量になります。面積は「たまった量」を表すことがよくあります。まとめると、面積＝（上の式 − 下の式）を、左はしから右はしまで積分したもの です。
x y O
2
4
y＝x²
8/3
x＝2
∫ 0 2 x 2 d x = 8 3 \displaystyle\int_0^2x^2\,dx=\dfrac83 ∫ 0 2 x 2 d x = 3 8 計算は ∫ 0 2 x 2 d x = [ x 3 3 ] 0 2 = 8 3 \displaystyle\int_0^2x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^2=\dfrac83 ∫ 0 2 x 2 d x = [ 3 x 3 ] 0 2 = 3 8 x x x y = 0 y=0 y = 0 x 2 − 0 x^2-0 x 2 − 0
サクラちゃん
面積は「上 − 下」を積分。x 軸は y＝0 という下の線、と考えるとそろうのね。
定積分がそのまま面積になるもの・ならないもの ○ そのまま面積になる
y = x 2 y=x^2 y = x 2 0 ≤ x ≤ 2 0\le x\le2 0 ≤ x ≤ 2 x x x y = x + 1 y=x+1 y = x + 1 0 ≤ x ≤ 2 0\le x\le2 0 ≤ x ≤ 2 4 4 4 y = x y=x y = x y = x 2 y=x^2 y = x 2 ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x = 1 6 \displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\dfrac16 ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x = 6 1 y = x + 2 y=x+2 y = x + 2 y = x 2 y=x^2 y = x 2 9 2 \dfrac92 2 9 y = − x 2 + 4 y=-x^2+4 y = − x 2 + 4 x x x − 2 ≤ x ≤ 2 -2\le x\le2 − 2 ≤ x ≤ 2 32 3 \dfrac{32}3 3 32 × そのままでは面積にならない
y = x 2 − 1 y=x^2-1 y = x 2 − 1 0 ≤ x ≤ 2 0\le x\le2 0 ≤ x ≤ 2 x x x 2 3 \dfrac23 3 2 y = x 2 − 4 y=x^2-4 y = x 2 − 4 x x x − 32 3 -\dfrac{32}3 − 3 32 ∫ 0 1 ( x 2 − x ) d x \displaystyle\int_0^1(x^2-x)\,dx ∫ 0 1 ( x 2 − x ) d x − 1 6 -\dfrac16 − 6 1 y = sin x y=\sin x y = sin x 0 ≤ x ≤ 2 π 0\le x\le2\pi 0 ≤ x ≤ 2 π ∫ 2 0 x 2 d x \displaystyle\int_2^0x^2\,dx ∫ 2 0 x 2 d x 定積分は「x x x いつも正 なので、下にある部分や、上下が入れかわる部分では、区間を分けたり符号を直したりします。
図で見る y = x 2 − 1 y=x^2-1 y = x 2 − 1 0 0 0 2 2 2 x x x マイナス として入ります。
x y O
1 2
−1
−2/3
4/3
y＝x²−1
定積分 ＝ 4/3 ＋ (−2/3) ＝ 2/3
面積 ＝ 4/3 ＋ 2/3 ＝ 2
定積分は 2/3、面積は 2。下の部分がマイナスとして打ち消されている うかるくん
∫ 0 2 ( x 2 − 1 ) d x = 2 3 \displaystyle\int_0^2(x^2-1)\,dx=\dfrac23 ∫ 0 2 ( x 2 − 1 ) d x = 3 2
合格先生
0 ≤ x ≤ 1 0\le x\le1 0 ≤ x ≤ 1 x 2 − 1 < 0 x^2-1<0 x 2 − 1 < 0 − 2 3 -\dfrac23 − 3 2 4 3 \dfrac43 3 4 2 3 \dfrac23 3 2 交点 x = 1 x=1 x = 1 、下の部分はマイナスをつけて足すんだよ。
2つのグラフで囲まれた部分は、上のグラフの式から下のグラフの式を引いて 積分します。
x y O
(1, 1)
y＝x（上）
y＝x²（下）
面積 ＝ ∫₀¹(x − x²)dx ＝ 1/6 （緑の長さ＝上−下 ）
直線 y＝x が上、放物線 y＝x² が下。面積は 1/6 上下の関係が x x x x x x ∫ a b { ( 上 ) − ( 下 ) } d x \displaystyle\int_a^b\{(\text{上})-(\text{下})\}\,dx ∫ a b {( 上 ) − ( 下 )} d x
面積の式と求め方 1 グラフをかく 上下の位置をつかむ 2 交点を求める 積分区間が決まる 3 上 − 下 を積分 区間ごとに式を作る 4 計算・確かめ 答えは正の数 面積の問題は、この4つの手順で解く 最後の行の 1 6 \dfrac16 6 1 ∫ α β ( x − α ) ( x − β ) d x = − ( β − α ) 3 6 \displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}6 ∫ α β ( x − α ) ( x − β ) d x = − 6 ( β − α ) 3 x x x x x x
x y O
−1 2
(−1, 1) (2, 4)
y＝x²
y＝x＋2
9/2
{2 − (−1)}³ ÷ 6 ＝ 27/6 ＝ 9/2
交点の x 座標の差は 3。面積は 3³÷6＝9/2 テスト・入試ではこう出る 面積と定積分は、高校の数学Ⅱ（微分・積分の考え）で多項式の関数について学び、数学Ⅲ（積分法）で三角関数・指数関数などのいろいろな関数や、回転体の体積へと広がります。定期テストや大学入試の定番は、放物線と直線（または x x x 、2つの放物線の間の面積 、接線と放物線で囲まれた面積 などです。面積が等しくなる条件から文字の値を求める問題もよく出ます。
例題1（放物線と直線）
放物線 y = x 2 y=x^2 y = x 2 y = x + 2 y=x+2 y = x + 2 S S S
交点：x 2 = x + 2 x^2=x+2 x 2 = x + 2 x 2 − x − 2 = ( x + 1 ) ( x − 2 ) = 0 x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0 x 2 − x − 2 = ( x + 1 ) ( x − 2 ) = 0 x = − 1 , 2 x=-1,\ 2 x = − 1 , 2 − 1 ≤ x ≤ 2 -1\le x\le2 − 1 ≤ x ≤ 2 x = 0 x=0 x = 0 2 > 0 2>0 2 > 0 S = ∫ − 1 2 { ( x + 2 ) − x 2 } d x = [ x 2 2 + 2 x − x 3 3 ] − 1 2 = ( 2 + 4 − 8 3 ) − ( 1 2 − 2 + 1 3 ) = 10 3 + 7 6 = 9 2 S=\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(x+2)-x^2\}\,dx=\left[\dfrac{x^2}2+2x-\dfrac{x^3}3\right]_{-1}^{2}=\left(2+4-\dfrac83\right)-\left(\dfrac12-2+\dfrac13\right)=\dfrac{10}3+\dfrac76=\dfrac92 S = ∫ − 1 2 {( x + 2 ) − x 2 } d x = [ 2 x 2 + 2 x − 3 x 3 ] − 1 2 = ( 2 + 4 − 3 8 ) − ( 2 1 − 2 + 3 1 ) = 3 10 + 6 7 = 2 9 答え 9 2 \dfrac92 2 9
別解（1 6 \dfrac16 6 1 ∫ α β ( x − α ) ( x − β ) d x = − ( β − α ) 3 6 \displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}6 ∫ α β ( x − α ) ( x − β ) d x = − 6 ( β − α ) 3 S = − ∫ − 1 2 ( x + 1 ) ( x − 2 ) d x = { 2 − ( − 1 ) } 3 6 = 27 6 = 9 2 S=-\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx=\dfrac{\{2-(-1)\}^3}6=\dfrac{27}6=\dfrac92 S = − ∫ − 1 2 ( x + 1 ) ( x − 2 ) d x = 6 { 2 − ( − 1 ) } 3 = 6 27 = 2 9
例題2（x 軸の上下にまたがる）
曲線 y = x 2 − 1 y=x^2-1 y = x 2 − 1 x x x x = 2 x=2 x = 2 y y y
y = x 2 − 1 y=x^2-1 y = x 2 − 1 x x x x = ± 1 x=\pm1 x = ± 1 0 ≤ x ≤ 1 0\le x\le1 0 ≤ x ≤ 1 x x x 下 、1 ≤ x ≤ 2 1\le x\le2 1 ≤ x ≤ 2 上 。下の部分：− ∫ 0 1 ( x 2 − 1 ) d x = − [ x 3 3 − x ] 0 1 = − ( 1 3 − 1 ) = 2 3 -\displaystyle\int_0^1(x^2-1)\,dx=-\left[\dfrac{x^3}3-x\right]_0^1=-\left(\dfrac13-1\right)=\dfrac23 − ∫ 0 1 ( x 2 − 1 ) d x = − [ 3 x 3 − x ] 0 1 = − ( 3 1 − 1 ) = 3 2 上の部分：∫ 1 2 ( x 2 − 1 ) d x = ( 8 3 − 2 ) − ( 1 3 − 1 ) = 2 3 + 2 3 = 4 3 \displaystyle\int_1^2(x^2-1)\,dx=\left(\dfrac83-2\right)-\left(\dfrac13-1\right)=\dfrac23+\dfrac23=\dfrac43 ∫ 1 2 ( x 2 − 1 ) d x = ( 3 8 − 2 ) − ( 3 1 − 1 ) = 3 2 + 3 2 = 3 4 たして 2 3 + 4 3 = 2 \dfrac23+\dfrac43=2 3 2 + 3 4 = 2 答え 2 （そのまま ∫ 0 2 ( x 2 − 1 ) d x \displaystyle\int_0^2(x^2-1)\,dx ∫ 0 2 ( x 2 − 1 ) d x 2 3 \dfrac23 3 2
うかるくん
まずグラフをかいて、交点と「どっちが上か」を確かめる。これでミスがぐっと減る！
まちがえやすい点 合格先生
面積は「上 − 下 」！ x 軸より下の部分は、そのまま足さない。
x x x ∫ 0 2 ( x 2 − 1 ) d x = 2 3 \displaystyle\int_0^2(x^2-1)\,dx=\dfrac23 ∫ 0 2 ( x 2 − 1 ) d x = 3 2 上と下を逆にする ：∫ 0 1 ( x 2 − x ) d x = − 1 6 \displaystyle\int_0^1(x^2-x)\,dx=-\dfrac16 ∫ 0 1 ( x 2 − x ) d x = − 6 1 交点を求めずに区間を決める ：「囲まれた部分」の面積では、積分区間は問題に書いてありません。まず2つの式を等しいとおいて交点の x x x 1 6 \dfrac16 6 1 y = 2 x 2 y=2x^2 y = 2 x 2 2 ( β − α ) 3 6 \dfrac{2(\beta-\alpha)^3}6 6 2 ( β − α ) 3 x 2 x^2 x 2 上下が入れかわるのに1つの式で積分する ：2つのグラフが区間の途中で交わるときは、交点ごとに区間を分けて「上 − 下」を作り直します。ことばの由来 定積分 の「定」は、積分する範囲（下端 a a a b b b 定まっている ことを表します。積分 は「細かく分けたものを積み重ねる」という意味で、面積を細い長方形の和の極限として求める考え方（区分求積法）とつながっています。記号 ∫ \displaystyle\int ∫
ミニ問題 問題1 放物線 y = x 2 y=x^2 y = x 2 x x x x = 3 x=3 x = 3
答えと解き方を見る 9 です。0 ≤ x ≤ 3 0\le x\le3 0 ≤ x ≤ 3 x 2 ≥ 0 x^2\ge0 x 2 ≥ 0 ∫ 0 3 x 2 d x = [ x 3 3 ] 0 3 = 9 \displaystyle\int_0^3x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^3=9 ∫ 0 3 x 2 d x = [ 3 x 3 ] 0 3 = 9
問題2 放物線 y = x 2 − 4 y=x^2-4 y = x 2 − 4 x x x
答えと解き方を見る 32 3 \dfrac{32}3 3 32 x = ± 2 x=\pm2 x = ± 2 x x x S = − ∫ − 2 2 ( x 2 − 4 ) d x = − [ x 3 3 − 4 x ] − 2 2 = − ( − 16 3 − 16 3 ) = 32 3 S=-\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx=-\left[\dfrac{x^3}3-4x\right]_{-2}^{2}=-\left(-\dfrac{16}3-\dfrac{16}3\right)=\dfrac{32}3 S = − ∫ − 2 2 ( x 2 − 4 ) d x = − [ 3 x 3 − 4 x ] − 2 2 = − ( − 3 16 − 3 16 ) = 3 32 1 6 \dfrac16 6 1 4 3 6 = 32 3 \dfrac{4^3}6=\dfrac{32}3 6 4 3 = 3 32
問題3 放物線 y = x 2 y=x^2 y = x 2 y = 2 x y=2x y = 2 x
答えと解き方を見る 4 3 \dfrac43 3 4 x 2 = 2 x x^2=2x x 2 = 2 x x = 0 , 2 x=0,\ 2 x = 0 , 2 ∫ 0 2 ( 2 x − x 2 ) d x = [ x 2 − x 3 3 ] 0 2 = 4 − 8 3 = 4 3 \displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}3\right]_0^2=4-\dfrac83=\dfrac43 ∫ 0 2 ( 2 x − x 2 ) d x = [ x 2 − 3 x 3 ] 0 2 = 4 − 3 8 = 3 4 1 6 \dfrac16 6 1 2 3 6 = 4 3 \dfrac{2^3}6=\dfrac43 6 2 3 = 3 4
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あわせて覚えたい用語
よくある質問 定積分で面積を求めるには？ 面積を求めたい部分の上のグラフの式から下のグラフの式を引き、左はしから右はしまで定積分します。x軸が下の線ならy＝0と考えます。
定積分と面積が一致しないのはどんなときですか？ グラフがx軸より下にある部分があるときです。下の部分は定積分が負になるので、区間を分けて符号を直してから足します。
面積がマイナスになりました。なぜですか？ 上の式と下の式を逆に引いたか、x軸より下の部分をそのまま積分したためです。面積は必ず正の数になります。
1/6公式とは何ですか？ 放物線と直線（またはx軸）で囲まれた部分の面積を、交点のx座標の差の3乗を6で割り、x²の係数の絶対値をかけて求める公式です。
積分区間はどう決めますか？ 問題に書かれていなければ、2つのグラフの式を等しいとおいて交点のx座標を求め、それを区間のはしにします。
面積と定積分は何年生で習いますか？ 高校の数学Ⅱで多項式の関数の面積を習い、数学Ⅲでいろいろな関数の面積や体積に広げます。
出典・参考
文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅱ（微分・積分の考え）・数学Ⅲ（積分法） 最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
