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大学受験
解と係数の関係とは
二次方程式 ax2+bx+c=0 の2つの解を α, β とすると、α+β=−ab、αβ=ac が成り立つという関係です。解を求めなくても、解の和と積が係数から分かります。
読み方：かいとけいすうのかんけい／英語：Vieta's formulas／習う学年：数学Ⅱ（複素数と方程式）
うかるくん
α2+β2 を求めよって、まず解の公式で解を出すんですよね…？
![合格先生]()
合格先生
その必要はないよ。和は −ab、積は ac と係数からすぐ分かる。α2+β2=(α+β)2−2αβ に入れれば一発だ。
この用語のポイント
- 和 α+β=−ab、積 αβ=ac
- 解を求めずに、対称式（α2+β2 など）の値が出せる
- 和 p・積 q の2数は t2−pt+q=0 の解
やさしく言うと
解と係数の関係は、二次方程式の2つの解の「和」と「積」が、係数だけで分かるというきまりです。ax2+bx+c=0 の2つの解を α, β とすると、
α+β=−ab,αβ=ac
身近なたとえで考えてみましょう。
- 2人の年れい：「2人の年れいの合計は 5、かけると 6」と聞けば、2人を直接見なくても、2人について多くのことが分かります。解と係数の関係は、解を見なくても「合計」と「かけ算」が分かるしくみです。
- レシートの合計：1つ1つの値段（解）が分からなくても、合計（和）は分かることがあります。合計が分かれば、平均なども計算できます。
- 暗号の手がかり：和と積の2つの手がかりがあれば、もとの2つの数を割り出せます（二次方程式を作って解けばよい）。
x²−5x＋6＝0 の解 2 と 3。和と積が係数に出ているつまり、解そのものを求めなくても、解の和と積は係数から一発で分かるということです。
使い方の例
○ 正しい使い方
- x2−5x+6=0 → 和 5、積 6
- 2x2+6x−5=0 → 和 −3、積 −25
- x2+x+1=0 → 和 −1、積 1（解が虚数でも成り立つ）
- x2−6x+9=0 → 重解 3, 3 も「2つの解」と数えて和 6、積 9
- 和 5、積 6 の2数 → t2−5t+6=0 を解く
× まちがった使い方
- 2x2+6x−5=0 の和を −6 とする（a でわっていない）
- x2−5x+6=0 の和を −5 とする（符号の取りちがえ）
- x3−2x+1=0 に二次の公式をそのまま使う（三次は別の形）
- x+3=0 に使う（一次方程式は解が1つ）
和は符号を変えて a でわる、積はそのまま a でわる、と覚えましょう。
図で見る：なぜ和と積が係数に出るのか
ax2+bx+c=0 の解が α, β なら、左辺は a(x−α)(x−β) と因数分解できます。これを展開して、もとの式と係数をくらべると、関係が出てきます。
a(x−α)(x−β) を展開すると、和と積が係数の位置に出てくる![サクラちゃん]()
サクラちゃん
和のほうだけ、どうしてマイナスがつくんですか？
![合格先生]()
合格先生
(x−α)(x−β) を展開すると、まん中は −αx−βx=−(α+β)x になるからだよ。解は「x−解」の形で因数に入るから、和にはマイナスがつく。積はマイナスどうしをかけるからプラスになるんだ。
グラフで見ると、和の意味もはっきりします。2つの解は放物線と x 軸の交点で、そのまん中が軸です。軸の位置 −2ab は、ちょうど和 −ab の半分です。
2つの解 1 と 5 のまん中 3 が軸。和 6 の半分対称式の値を求める
α2+β2 や α1+β1 のように、α と β を入れかえても変わらない式を対称式といいます。対称式は、必ず和 α+β と積 αβ で表せます。だから、解を求めなくても値が計算できます。
(α＋β)² の正方形から、αβ を2つひくと α²＋β²![ひらめいたサクラちゃん]()
サクラちゃん
和と積さえ分かれば、ややこしい式も計算できるのね！
反対に、和が p、積が q の2数は、二次方程式 t2−pt+q=0 の2つの解です。和と積から2数を求めるときに使います。
テスト・入試ではこう出る
解と係数の関係は、高校の数学Ⅱ（複素数と方程式）で習います。定期テストや大学入試では、2解の対称式の値、和と積から2数を求める、解の条件から係数を決める、解の符号を調べる（2つとも正の解なら、判別式 D≥0、和 >0、積 >0）といった形でよく出ます。
例題1（対称式の値）
二次方程式 x2−3x+1=0 の2つの解を α, β とするとき、(1) α2+β2 (2) α1+β1 (3) α3+β3 の値を求めなさい。
- 解と係数の関係より、α+β=3、αβ=1。
- (1) α2+β2=(α+β)2−2αβ=9−2=7
- (2) α1+β1=αβα+β=13=3
- (3) α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)=27−9=18
答え (1) 7 (2) 3 (3) 18
例題2（和と積から2数を求める）
和が 4、積が −5 である2つの数を求めなさい。
- 和が 4、積が −5 の2数は、t2−4t−5=0 の2つの解。（和が p、積が q なら t2−pt+q=0）
- 因数分解：(t−5)(t+1)=0 より t=5, −1。
- たしかめ：5+(−1)=4、5×(−1)=−5。
答え 5 と −1
まちがえやすい点
![腕でバツを作る合格先生]()
合格先生
和は ab じゃない！ 符号を変えて −ab。x2−5x+6=0 の和は 5 だよ。
- 和の符号：α+β=ab とするのは×。正しくは −ab です。x2−5x+6=0 の和は 5 です。
- a でわり忘れる：2x2+6x−5=0 の積を −5 とするのは×。a=2 でわって −25 です。
- 重解のときは使えないと思う：重解も「同じ解が2つ」と数えます。x2−6x+9=0 なら α=β=3 で、和 6、積 9 が成り立ちます。
- 解が実数だと決めつける：解と係数の関係は虚数解でも成り立ちます。「2つの正の解」などの条件では、判別式で実数解であることを別に確かめる必要があります。
- α2+β2 を (α+β)2 とする：(α+β)2=α2+2αβ+β2 なので、2αβ をひくのを忘れないようにします。
ことばの由来
方程式の「解」と、式の「係数」の間にある「関係」なので、この名前です。英語では、16世紀のフランスの数学者ヴィエト（ラテン語名 Vieta）の名をとって Vieta's formulas（ヴィエタの公式）と呼ぶことがあります。
ミニ問題
問題1 二次方程式 2x2+6x−5=0 の2つの解を α, β とするとき、α+β と αβ を求めましょう。
答えと解き方を見る
α+β=−3、αβ=−25 です。a=2, b=6, c=−5 なので、α+β=−26=−3、αβ=2−5。a が1でないときは、a でわるのを忘れないようにします。
問題2 二次方程式 x2+4x+2=0 の2つの解を α, β とするとき、α2+β2 の値を求めましょう。
答えと解き方を見る
12 です。α+β=−4、αβ=2 なので、α2+β2=(−4)2−2×2=16−4=12。解 −2±2 を求めて2乗しても同じ答えになりますが、計算がずっと長くなります。
問題3 二次方程式 x2−6x+k=0 の1つの解が、もう1つの解の2倍であるとき、定数 k の値を求めましょう。
答えと解き方を見る
k=8 です。
- 2つの解を α, 2α とおく。
- 和：α+2α=6 より α=2。
- 積：k=α×2α=2α2=8。
たしかめ：x2−6x+8=(x−2)(x−4) で、解は 2 と 4。たしかに 4 は 2 の2倍です。
関連する公式・用語
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あわせて覚えたい用語
よくある質問
解と係数の関係とは簡単にいうと何ですか？
二次方程式の2つの解の和と積が、係数だけで表せるという関係です。和は −b/a、積は c/a です。
解と係数の関係はどんなときに使いますか？
解を求めずに α²＋β² などの対称式の値を出すとき、和と積から2数を求めるとき、解の条件から係数を決めるときに使います。
解が虚数のときも成り立ちますか？
はい。解が虚数でも成り立ちます。重解のときも、同じ解が2つあると考えて使えます。
対称式とは何ですか？
α と β を入れかえても変わらない式のことです。α²＋β² や αβ など。対称式は必ず和と積で表せます。
三次方程式にも解と係数の関係はありますか？
はい。ax³＋bx²＋cx＋d＝0 の3つの解の和は −b/a、2つずつの積の和は c/a、3つの積は −d/a です。
解と係数の関係は何年生で習いますか？
高校の数学Ⅱ（複素数と方程式）で習います。
出典・参考
- 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅱ（複素数と方程式）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
