独立とは？確率の意味と排反とのちがいをわかりやすく【例題・問題つき】

大学受験

独立とは

一方の結果が、もう一方の起こりやすさに影響しないことです。2つの事象 $A,\ B$ では、 $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ が成り立つとき独立といいます。独立なら、「かつ」の確率はかけ算で求められます。

読み方：どくりつ／英語：independent／習う学年：数学A（独立な試行の確率）

サクラちゃん

「独立」と「排反」って、どっちも「関係ない」って意味ですよね？

合格先生

じつは正反対に近いんだ。排反は同時に起こらないこと。1が出たら2は出ないから、強く影響し合っている。独立は影響しないことだよ。

この用語のポイント

独立＝一方の結果が、他方の確率を変えないこと
独立なら「かつ」の確率はかけ算： $P(A\cap B)=P(A)P(B)$
排反（同時に起こらない）とはちがう。くじを戻さないときは独立でない

やさしく言うと

独立とは、一方の結果が、もう一方の起こりやすさにまったく影響しないことです。身近な例で考えてみましょう。

コインとさいころ：コインで表が出ても裏が出ても、そのあと投げるさいころの目の出やすさは変わりません。
さいころを 2 回：1 回目に 6 が出ても、2 回目に 6 が出る確率は $\dfrac16$ のままです。さいころは前の結果をおぼえていません。
くじを戻す・戻さない：引いたくじを戻してから次の人が引けば、中身は同じなので独立です。戻さないと、1 人目の結果で残りのくじが変わるので、独立ではありません。

独立なときは、確率をかけ算できます。コインで表、さいころで6が出る確率は $\dfrac12\times\dfrac16=\dfrac1{12}$ です。

12通りのうち、表かつ6は1通り。

\dfrac12\times\dfrac16=\dfrac1{12}

になっている

うかるくん

前の結果が次に影響しない。だから確率をそのままかけられるんだね！

まとめると、独立＝おたがいに影響しない、そして独立なら「かつ」の確率はかけ算です。

独立な例・独立でない例

○ 独立

コインを投げることと、さいころを投げること
さいころを2回続けて投げる（1回目と2回目）
くじを引いてもとに戻してから、もう1回引く
2 人がそれぞれ別の的に向かって矢を射る（命中はたがいに影響しない）
さいころ1個で「偶数が出る」と「3の倍数が出る」

× 独立でない

くじを戻さずに続けて引く（1本目が当たると、2本目の当たりが減る）
さいころ1個で「偶数が出る」と「4以上が出る」（下の図）
同時には起こらない2つのこと（さいころ1回で「1の目」と「2の目」）
袋から玉を戻さずに 2 個続けて取り出す
さいころ1個で「5以上」と「6の目」（6 なら必ず 5 以上）

くじ10本（当たり3本）を戻さずに2人が順に引くと、1人目が当たれば2人目の当たる確率は $\dfrac29$ 、はずれれば $\dfrac39$ です。1人目の結果で2人目の確率が変わるので、独立ではありません。

図で見る

くじを戻すときと戻さないときを、樹形図で比べてみましょう。枝に書いた数は、その枝に進む確率です。

戻すと2回目はいつも 3/10（独立）。戻さないと 1回目しだいで変わる（独立でない）

独立かどうかは、2 回目の確率が、1 回目の結果によって変わるかどうかで決まります。

独立なときの「かけ算」は、面積で考えるとわかりやすくなります。全体を 1 辺 1 の正方形として、横を $P(A)$ 、たてを $P(B)$ で区切ると、「 $A$ かつ $B$ 」は長方形になります。

たて・横で区切ると「A かつ B」は長方形。面積は 1/2×1/3＝1/6

サクラちゃん

どうして長方形の面積で考えていいんですか？

合格先生

独立なら、A が起きても起きなくても、B の割合は同じ 1/3。だからどちらの列でも同じ高さで区切れるんだ。独立でないと、列ごとに区切る高さがずれて、きれいな長方形にならないよ。

事象の独立：式で確かめる

2つのことがら（事象） $A,\ B$ が独立かどうかは、次の式で確かめます。

P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\quad\text{が成り立つとき、}A\text{ と }B\text{ は独立}

$P(A\cap B)$ は「 $A$ と $B$ がどちらも起こる」確率です。さいころ1個で、 $A$ ＝偶数、 $B$ ＝3の倍数とすると、両方は「6」だけなので $\dfrac16$ 。 $P(A)\times P(B)=\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16$ で等しいので、 $A$ と $B$ は独立です。

同じ「偶数」でも、相手が3の倍数なら独立、4以上なら独立でない

高校の数学Aでは、まず「独立な試行」（コインとさいころのように、たがいに結果が影響しない試行）の確率をかけ算で求めることを習います。

「排反」とのちがい

	排反	独立
意味	同時には起こらない	一方が起きても、他方の確率が変わらない
式	$P(A\cap B)=0$	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
使う計算	「または」の確率をたす	「かつ」の確率をかける
例（さいころ1個）	1の目と 2の目	偶数と 3の倍数

テスト・入試ではこう出る

高校の数学Aで「独立な試行の確率」を学び、そこから同じ試行をくり返す反復試行の確率へ進みます。テストでは、コイン・さいころ・射撃・じゃんけんなど、独立な試行の確率をかけ算で求める問題がよく出ます。大学入試では、条件付き確率とあわせて、2 つの事象が独立かどうかを式で確かめる問題も見られます。数学Bの「統計的な推測」では、確率変数の独立も学びます。

例題1（独立な試行と余事象）

的に当たる確率が A は 0.8、B は 0.6 で、2 人はたがいに影響しないとします。2 人が 1 回ずつ射るとき、少なくとも一方が命中する確率を求めなさい。

2 人の射撃はたがいに影響しない（独立）ので、確率をかけてよい。
「少なくとも一方が命中」の余事象は「2 人ともはずれ」。A がはずれる確率は $1-0.8=0.2$ 、B がはずれる確率は $1-0.6=0.4$ 。
2 人ともはずれる確率は $0.2\times0.4=0.08$ 。
求める確率は $1-0.08=0.92$ 。

答え　0.92

例題2（事象の独立を確かめる）

1 から 10 までの数が書かれたカードから 1 枚引きます。 $A$ ＝「偶数」、 $B$ ＝「3 の倍数」とするとき、 $A$ と $B$ は独立かどうか調べなさい。

$P(A)=\dfrac5{10}=\dfrac12$ （2, 4, 6, 8, 10）、 $P(B)=\dfrac3{10}$ （3, 6, 9）。
$A\cap B$ は 6 だけなので $P(A\cap B)=\dfrac1{10}$ 。
$P(A)\times P(B)=\dfrac12\times\dfrac3{10}=\dfrac3{20}$ 。
$\dfrac1{10}\ne\dfrac3{20}$ なので、等しくない。

答え　独立でない（さいころ 1〜6 では「偶数」と「3 の倍数」は独立だったが、カードが 1〜10 だと独立でなくなる）

合格先生

「関係なさそう」で決めずに、 $P(A\cap B)$ と $P(A)P(B)$ を計算して比べるのが確実だ！

まちがえやすい点

合格先生

排反は「たす」、独立は「かける」。言葉の意味から区別しよう！

「排反」と「独立」を同じだと思う：排反は「同時に起こらない」ことです。さいころで「1の目」と「2の目」は排反ですが、1が出たら2は絶対に出ないので、強く影響し合っています。確率が0でない2つの排反な事象は、独立ではありません。
戻さないのに確率をかける：くじを戻さずに引くときは、2本目の確率が変わります。 $\dfrac3{10}\times\dfrac3{10}$ ではなく $\dfrac3{10}\times\dfrac29$ です。
感じだけで「関係なさそう」と決める：「偶数」と「4以上」は関係なさそうに見えますが、式で確かめると独立ではありません。例題 2 のように、カードの枚数が変わるだけで結果が変わることもあります。
「続けて何回も出たから、次は出にくい」と思う：さいころを 5 回投げて 1 回も 6 が出なくても、6 回目に 6 が出る確率は $\dfrac16$ のままです。独立な試行では、前の結果は次に影響しません。

ことばの由来

独立は「ひとりで立つ」、つまりほかにたよらない・左右されないという意味のことばです。国の独立と同じことばです。英語では independent（インディペンデント）といい、「〜にたよる」という意味の depend に、「〜でない」を表す in- がついたものです。

ミニ問題

問題1　コインを 3 回投げるとき、3 回とも表が出る確率を求めましょう。

答えと解き方を見る

$\dfrac18$ です。それぞれの回は独立なので、 $\dfrac12\times\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac18$ 。

問題2　赤玉 2 個と白玉 3 個が入った袋から 1 個取り出し、色を見てからもとに戻して、もう 1 個取り出します。2 回とも赤玉である確率を求めましょう。また、戻さない場合はどうなりますか。

答えと解き方を見る

戻すとき $\dfrac4{25}$ 、戻さないとき $\dfrac1{10}$ です。戻すときは独立なので $\dfrac25\times\dfrac25=\dfrac4{25}$ 。戻さないときは、1 回目が赤なら袋の中は赤 1・白 3 になるので $\dfrac25\times\dfrac14=\dfrac1{10}$ です。

問題3　さいころを 1 回投げます。 $A$ ＝「1 か 2 の目が出る」、 $B$ ＝「偶数の目が出る」とするとき、 $A$ と $B$ は独立ですか。

答えと解き方を見る

独立です。 $P(A)=\dfrac13$ 、 $P(B)=\dfrac12$ 、 $A\cap B$ は 2 の目だけなので $P(A\cap B)=\dfrac16$ 。 $\dfrac13\times\dfrac12=\dfrac16$ と等しいので独立です。

よくある質問

確率で「独立」とはどういう意味ですか？

一方の結果が、もう一方の起こりやすさに影響しないことです。独立な2つのことがらがどちらも起こる確率は、それぞれの確率のかけ算で求められます。

独立と排反のちがいは？

排反は同時に起こらないこと、独立は一方が起きても他方の確率が変わらないことです。確率が0でない排反な2つの事象は、独立ではありません。

独立かどうかはどうやって確かめますか？

AとBがどちらも起こる確率が、Aの確率とBの確率をかけた値と等しいかを調べます。等しければ独立です。

くじを戻さずに引くと独立ではないのですか？

独立ではありません。1本目の結果によって残りのくじの中身が変わり、2本目の当たる確率が変わるからです。

さいころで6が続けて出なかったら、次は6が出やすくなりますか？

なりません。さいころを投げる試行はそれぞれ独立なので、前に何が出ても、次に6が出る確率は1/6のままです。

独立は何年生で習いますか？

高校の数学Aで、独立な試行の確率として習います。そのあと反復試行の確率や条件付き確率へ進みます。

出典・参考

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学A（場合の数と確率：独立な試行と確率）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦

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