条件付き確率とは？意味と求め方をわかりやすく【例題・問題つき】

大学受験

条件付き確率とは

あること（ $A$ ）が起こったとわかったうえで、別のこと（ $B$ ）が起こる確率です。 $P_A(B)$ と書き、 $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ で求めます。わかったことによって、分母（考える範囲）がせまくなるのが特徴です。

読み方：じょうけんつきかくりつ／英語：conditional probability／習う学年：数学A（場合の数と確率）

うかるくん

「偶数のとき4以上の確率」と「偶数で4以上の確率」って、同じじゃないんですか？

合格先生

ちがうんだ。「とき」は偶数だとわかったあとだから、分母は偶数の3通り。答えは $\dfrac23$ 。「かつ」は分母が6通りのままで $\dfrac13$ だよ。

この用語のポイント

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ 。分母は条件の事象 $A$
問題文の「〜とき」が合図。「かつ」とは別もの
乗法定理 $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ ：樹形図の枝の確率をかける

やさしく言うと

条件付き確率は、「〇〇だった」とわかったうえで、△△が起こる確率です。わかったことによって、考える範囲（分母）がせまくなるのがポイントです。身近なところにもあります。

天気：ある日に雨が降る確率より、「朝から空がくもっている」とわかった日に雨が降る確率のほうが高いと感じます。くもりの日だけにしぼって考えているからです。
クラスの名簿：クラス全員から1人選ぶのと、「めがねの人」の中から1人選ぶのでは、男子が選ばれる確率が変わります。
くじ引き：前の人が当たりを引いたとわかると、残りの当たりが減るので、次の人の当たる確率が変わります。

さいころを1個投げて、4以上の目が出る確率は $\dfrac36=\dfrac12$ です。ところが、友だちが目を見て「偶数だったよ」と教えてくれたら、考えるのは 2, 4, 6 の3通りだけです。そのうち4以上は 4 と 6 の2通りなので、確率は $\dfrac23$ に変わります。

「偶数だった」とわかると、分母が6通りから3通りに縮む

サクラちゃん

わかったことで「全体」が小さくなるんだ。分母を取りかえるのがコツね！

式と記号

事象 $A$ が起こったという条件のもとで $B$ が起こる確率を、高校では $P_A(B)$ と書きます。

P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

「 $A$ の中で、 $B$ でもあるものの割合」という意味です。さいころの例なら $A$ ＝偶数、 $B$ ＝4以上で、 $P_A(B)=\dfrac{2/6}{3/6}=\dfrac23$ です。場合の数で考えるなら、 $P_A(B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(A)}$ と、個数どうしの割り算でも求められます。大学や海外の本では、同じものを $P(B\mid A)$ と書きます（縦棒の右が条件）。

書き方	読み方	使われる場所
$P_A(B)$	「A が起こったときの B の条件付き確率」	日本の高校の教科書
$P(B\mid A)$	「A のもとでの B の確率」	大学・海外の本

条件付き確率の問題・そうでない問題

○ 条件付き確率

「1人目が当たったとき、2人目が当たる確率」
「取り出した玉が赤だったとき、それが袋Aの玉である確率」
「偶数が出たとわかっているとき、4以上である確率」
「めがねの人の中から選んだとき、男子である確率」
「目の和が8だったとき、6の目をふくむ確率」
「検査で陽性だったとき、本当に病気である確率」

× 条件付き確率ではない

「1人目も2人目も当たる確率」（これは $P(A\cap B)$ ）
「偶数で、しかも4以上である確率」（2/6＝1/3）
「4以上である確率」（条件なし、1/2）
「クラス全員から選んで、めがねの男子である確率」
「2人目が当たる確率」（1人目の結果を知らない）
「赤玉を取り出す確率」

問題文に「〜とき」「〜だとわかっているとき」「〜という条件のもとで」があれば、条件付き確率の合図です。「〜で、しかも」「〜かつ」は、両方が起こる確率 $P(A\cap B)$ です。

図で見る：表で分母をしぼる

条件付き確率は、表のどこを分母にするかで考えるとわかりやすくなります。40人のクラスで、めがねの人の中から1人選ぶとき、男子である確率を考えます。

条件「めがね」の列（14人）だけを見る。その中の男子8人の割合が条件付き確率

「めがねのとき男子」は、分母がめがねの14人です。「めがねで、かつ男子」は、分母が全員の40人です。同じ「8人」を見ていても、分母がちがうので確率もちがいます。

うかるくん

「めがねのとき男子」と「男子のときめがね」は、同じ答えになりますか？

合格先生

ならないよ。「男子のときめがね」は分母が男子20人で $\dfrac8{20}=\dfrac25$ 。「めがねのとき男子」は $\dfrac8{14}=\dfrac47$ 。何が条件かで分母が変わるんだ。

乗法定理：「かつ」の確率を順に求める

上の式を変形すると、 $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ になります。これを確率の乗法定理といいます。当たり3本を含む10本のくじを、戻さずに2人が順に引くとき、2人とも当たる確率は $\dfrac3{10}\times\dfrac29=\dfrac1{15}$ です。

2本目の枝の確率が条件付き確率。枝の確率をかけると「かつ」の確率

合格先生

樹形図の2段目の数字は、1段目の結果がわかったあとの条件付き確率なんだ。

なお、2人目が当たる確率そのもの（1人目の結果を知らない場合）は、 $\dfrac{1}{15}+\dfrac{7}{30}=\dfrac{3}{10}$ で、1人目と同じです。くじは引く順番によって有利・不利がないことがわかります。

結果から原因を考える

条件付き確率は、「結果がわかったとき、原因はどれだったか」を考えるのにも使います。たとえば「赤玉が出た」という結果から「袋Aから取り出した」確率を求める問題です。面積図をかくと、赤い部分だけが新しい「全体」になることがよくわかります。

赤玉が出たとわかると、赤い部分だけが「全体」になる

テスト・入試ではこう出る

条件付き確率は数学A（場合の数と確率）で習います。よく出るのは、表から条件付き確率を読む問題、くじや玉を戻さずに取り出す問題（乗法定理）、結果から原因の確率を求める問題です。原因の問題では、「どちらの袋か」「本当に病気か」などを問われます。

例題1（表で考える）

上の図の40人のクラスで、めがねをかけている人の中から1人を選ぶとき、その人が男子である確率を求めなさい。

「めがねの人を選んだ」が条件なので、分母はめがねの人数 $8+6=14$ 人。
そのうち男子は 8 人。
$P_A(B)=\dfrac{8}{14}=\dfrac47$ （ $A$ ＝めがね、 $B$ ＝男子）。

答え　 $\dfrac47$ （分母を 40 にして $\dfrac8{40}$ とするのは「めがねで男子」の確率で、問われているものとちがいます）

例題2（原因の確率）

袋Aには赤玉3個・白玉2個、袋Bには赤玉1個・白玉4個が入っています。どちらかの袋を確率 $\dfrac12$ ずつで選び、玉を1個取り出したところ赤玉でした。それが袋Aから取り出したものである確率を求めなさい。

$A$ ＝袋Aを選ぶ、 $R$ ＝赤玉が出る、とする。 $P(A\cap R)=\dfrac12\times\dfrac35=\dfrac3{10}$ 。
袋Bから赤が出る確率は $\dfrac12\times\dfrac15=\dfrac1{10}$ 。赤が出る確率は $P(R)=\dfrac3{10}+\dfrac1{10}=\dfrac4{10}$ 。
赤だったとき袋Aである確率は $P_R(A)=\dfrac{P(R\cap A)}{P(R)}=\dfrac{3/10}{4/10}=\dfrac34$ 。

答え　 $\dfrac34$ （結果から「原因」を考える問題です。上の面積図で、赤い部分のうち袋Aの部分の割合です）

まちがえやすい点

合格先生

分母は「わかっていること」の場合の数。全体のままにしない！

条件を逆にする：さいころで $A$ ＝偶数、 $B$ ＝6の目とすると、 $P_A(B)=\dfrac13$ （偶数の中で6）ですが、 $P_B(A)=1$ （6は必ず偶数）です。どちらが「わかっていること」かを先に決めましょう。
分母を全体のままにする：条件付き確率の分母は、全体ではなく条件の事象です。さいころの例で $\dfrac26$ と答えるのはまちがいです。
「かつ」と「とき」を取りちがえる：「偶数で4以上」は $\dfrac13$ 、「偶数のとき4以上」は $\dfrac23$ です。
戻すか戻さないかを見落とす：くじを戻すなら2人目の確率は1人目の結果に関係なく $\dfrac3{10}$ のまま、戻さないなら $\dfrac29$ や $\dfrac39$ に変わります。
独立のときも分母を変えようとする： $A$ と $B$ が独立なら $P_A(B)=P(B)$ です。条件がわかっても確率は変わりません。

ことばの由来

英語では conditional probability（コンディショナルプロバビリティ）で、conditional は「条件つきの」という意味です。 $P_A(B)$ の右下の $A$ 、 $P(B\mid A)$ の縦棒の右の $A$ は、どちらも「条件」を表す場所です。

ミニ問題

問題1　さいころを1回投げたら、3の倍数の目が出たとわかりました。このとき、偶数の目である確率を求めましょう。

答えと解き方を見る

$\dfrac12$ です。3の倍数の目は 3 と 6 の2通りで、これが分母です。そのうち偶数は 6 の1通りなので $\dfrac12$ 。分母を 6 にして $\dfrac16$ としないように注意しましょう。

問題2　当たり3本を含む10本のくじを、引いたくじを戻さずに2人が順に引きます。1人目がはずれたとき、2人目が当たる確率を求めましょう。

答えと解き方を見る

$\dfrac13$ です。1人目がはずれたので、残りは 9 本で、当たりは 3 本のまま。だから $\dfrac39=\dfrac13$ です。上の樹形図の「は → 当」の枝の確率です。

問題3　2個のさいころを投げたら、目の和が 8 でした。このとき、少なくとも1個は 6 の目である確率を求めましょう。

答えと解き方を見る

$\dfrac25$ です。和が 8 になるのは (2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) の5通りで、これが分母です。そのうち 6 をふくむのは (2,6)(6,2) の2通りなので $\dfrac25$ 。条件の場合を全部書き出すのが確実です。

よくある質問

条件付き確率の求め方は？

AとBがどちらも起こる確率を、Aが起こる確率で割ります。場合の数で考えるなら、Aの場合の数を分母、AかつBの場合の数を分子にします。

P_A(B)とP(B|A)は同じですか？

同じ意味です。日本の高校の教科書ではP_A(B)、大学や海外の本ではP(B|A)と書くことが多いです。どちらもAが条件です。

「AのときB」と「AかつB」のちがいは？

「AのときB」はAが起こったとわかったあとの確率で、分母はAです。「AかつB」は両方が起こる確率で、分母は全体です。

乗法定理とは何ですか？

AとBがどちらも起こる確率は、Aが起こる確率に、Aが起こったときのBの条件付き確率をかけたものになる、という定理です。

くじは先に引くほうが有利ですか？

有利・不利はありません。戻さずに引くくじでも、前の人の結果を知らなければ、何番目に引いても当たる確率は同じです。

条件付き確率は何年生で習いますか？

高校の数学A「場合の数と確率」で習います。

出典・参考

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学A（場合の数と確率：条件付き確率）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦

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やさしく言うと

式と記号

条件付き確率の問題・そうでない問題

図で見る：表で分母をしぼる

乗法定理：「かつ」の確率を順に求める

結果から原因を考える

テスト・入試ではこう出る

まちがえやすい点

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