ふくろの中の玉の解き方と公式｜取り出し・入れかえで変わらないもの（片方の色・合計・偶奇）と例題【中学受験】

うかるくん

7：4 が 5：4 になったけど、どの数をくらべればいいの？

合格先生

取り出していない白玉は変わらない。白の比が④でそろっているから、赤の⑦→⑤の差②が取り出した数だ。

ふくろの中の玉の問題の解き方

ふくろに赤玉と白玉が入っていて、何個か取り出したり、別の色の玉と入れかえたりすると、個数の比や最後に残る玉が変わります。このような問題では、操作をしても変わらないものを見つけるのがコツです。

なぜ「変わらないもの」でそろえるのか

比の数字は、その比の中だけの目もりです。前の 7：4 と後の 5：4 の「①」が同じ大きさとは限りません。赤玉だけを取り出したなら、白玉は前も後も同じ個数です。そこで白の目もりを同じ数（④）にそろえると、前と後の①が同じ大きさになり、赤の減り方（⑦→⑤の②）がそのまま取り出した個数になります（倍数算と同じ考え方）。

入れかえ（1個出して1個入れる）では、何個入れかえても玉の合計は同じです。だから、後の比で合計を分ければ、後の個数がすぐ分かります。

くり返しの操作は「偶数・奇数」を見る

「2個取り出して、同じ色なら黒玉を1個、ちがう色なら白玉を1個入れる」のような操作では、白玉は2個へるか、変わらないかのどちらかです。2ずつしか変わらないので、白玉の数が奇数なら、何回操作しても奇数のままです。最後に1個だけ残ったとき、白玉が0個（偶数）にはなれないので、残るのは白玉だと分かります。

中学受験（算数）での使い方

よくある間違い

合格先生

1個出して1個入れる入れかえで、合計が変わると思うな。合計はずっと同じだぞ。

• 前と後の比をそのままくらべる：7：4 の「7」と 5：4 の「5」の差の2が12個になるのは、白をそろえてあるときだけ。
• 入れかえで合計が変わると考える：1個出して1個入れるなら合計は同じ。
• くり返しの操作を全部書き出そうとする：取り出し方で結果が変わるように見えても、偶数・奇数は変わらない。

練習問題

合格先生

まず、操作をしても変わらないものをさがすんだ。

1. 中学受験 ふくろの中の赤玉と白玉の個数の比は 3：5 です。白玉だけを10個取り出したので、比は 1：1 になりました。はじめ白玉は何個ありましたか。
   答えと解説を見る

   赤玉は変わらない。後の 1：1 を 3：3 にすると、白は ⑤→③ で ②＝10個、①＝5個。白玉ははじめ ⑤＝25個。確かめ：赤15個、白 $25-10=15$ 個。答え 25個
2. 中学受験 ふくろに赤玉が40個、白玉が10個入っています。赤玉を1個取り出して白玉を2個入れる操作をくり返すと、赤玉と白玉の個数が等しくなりました。操作は何回ですか。
   答えと解説を見る

   1回で赤は1個へり、白は2個ふえるので、差は3ずつ縮まる。はじめの差は $40-10=30$ なので $30\div3=10$ 回。確かめ：赤30個、白30個。答え 10回
3. 中学受験 白玉4個と黒玉9個で、例題3と同じ操作を玉が1個になるまでくり返します。最後に残る玉は何色ですか。
   答えと解説を見る

   白玉は2個へるか変わらないので、はじめの4個（偶数）からずっと偶数。最後の1個が白なら白玉は1個（奇数）になってしまうので、残るのは黒。答え 黒

関連する公式

• 倍数算（変わらない量で比をそろえる）
• 分配算
• 連比・比例式
• 割合の公式
• 食塩水の濃度（取り出して入れかえる）
• 条件整理・推理

よくある質問

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