増減表とは？書き方と極値をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

増減表とは？書き方と極値をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験

増減表とは

導関数 f′(x)f'(x) の符号（＋・−）と、関数 f(x)f(x) の増加・減少を、xx の区間ごとにまとめた表です。f′(x)>0f'(x)>0 なら増加（↗）、f′(x)<0f'(x)<0 なら減少（↘）で、符号が変わる所が極大・極小になります。

読み方：ぞうげんひょう／英語：table of increase and decrease／習う学年：数学Ⅱ・数学Ⅲ（微分）

うかるくん

うかるくん

三次関数のグラフをかけと言われても、どこから手をつければいいかわかりません…

合格先生

合格先生

まず微分して増減表を作るんだ。傾きの符号から「上り・下り」がわかれば、山と谷の位置が決まって、グラフはほとんどかけたも同然だよ。

この用語のポイント

  • f′(x)>0f'(x)>0 の区間は増加（↗）、f′(x)<0f'(x)<0 の区間は減少（↘）
  • f′(x)f'(x) の符号が変わる所が極値。f′(x)=0f'(x)=0 だけでは決まらない
  • 最大・最小は極値と範囲の両はしを比べる

やさしく言うと

増減表は、関数のグラフが「どこで上がり、どこで下がるか」を一目でわかるようにまとめた表です。導関数 f′(x)f'(x) の符号（＋か−か）を調べ、その下に「増加（↗）」「減少（↘）」を書きます。

  • 山道の案内図：「入口から 2 km は上り、その先 3 km は下り、最後はまた上り」と区間ごとに書いておけば、どこが頂上でどこが谷底かがわかります。増減表は、関数の山道の案内図です。
  • 1 日の気温：朝から昼すぎまでは上がり、夕方から夜は下がります。上がり下がりの「切りかわり」が、1 日の最高・最低の目安になります。
  • 坂の傾き：グラフのある点での坂の傾きが、微分係数 f′(x)f'(x) です。傾きが正なら上り坂、負なら下り坂。だから f′(x)f'(x) の符号を見れば、上りか下りかがわかります。
xyO 頂上（極大 2） 谷底（極小 −2） 上り 下り 上り −11 y ＝ x³ − 3x
y＝x³−3x を山道に見立てると、上り・下り・頂上・谷底がわかる

まとめると、増減表は「傾きの符号」から「グラフの上り下り」を読みとる表で、極大・極小をさがしたり、グラフをかいたりするときの第一歩になります。

増減表のかき方

f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x を例に、増減表をかいてみましょう。

  1. 微分する：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。
  2. f′(x)=0f'(x)=0 となる xx を求める：x=−1, 1x=-1,\ 1。これを表の上の行に、小さい順に並べる。
  3. f′(x)f'(x) の符号を書く：間の区間に xx の値を 1 つ入れて調べる（x=0x=0 なら f′(0)=−3<0f'(0)=-3<0）。
  4. f(x)f(x) の行に矢印と値を書く：＋の下は ↗、−の下は ↘。f′(x)=0f'(x)=0 の列には f(x)f(x) の値を計算して書く。
  5. 極大・極小を書きこむ：↗ から ↘ に変わる所が極大、↘ から ↗ に変わる所が極小。
x…−1…1…f′(x)＋0−0＋f(x)2−2極大極小 f′(x) ＝ 3x² − 3 ＝ 3(x＋1)(x−1) ＋ の下は増加（右上がりの矢印） − の下は減少（右下がりの矢印） 0 の列で符号が変われば極値
f(x)＝x³−3x の増減表。x＝−1 で極大値 2、x＝1 で極小値 −2
机で勉強するうかるくん

うかるくん

0 の列だけでなく、間の区間の符号が大事。そこが矢印を決めるんだ！

極値になる・ならない例

○ 極値になる点

  • f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x の x=−1x=-1（+→−+\to-。極大）
  • f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x の x=1x=1（−→+-\to+。極小）
  • f(x)=x2f(x)=x^2 の x=0x=0（−→+-\to+。極小）
  • f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2 の x=0x=0（+→−+\to-。極大）
  • f(x)=∣x∣f(x)=|x| の x=0x=0（微分できないが、減少から増加に変わるので極小）

× 極値にならない点

  • f(x)=x3f(x)=x^3 の x=0x=0（f′(0)=0f'(0)=0 でも +→++\to+。極値でない）
  • f(x)=x3+3xf(x)=x^3+3x（f′(x)=3x2+3>0f'(x)=3x^2+3>0。ずっと増加で極値なし）
  • f(x)=2x+1f(x)=2x+1（一次関数。極値なし）
  • 区間の端の点（f′=0f'=0 でなくても最大・最小にはなりうるが、極値とはいわない）
  • f′(x)f'(x) の値が 0 以外で最大になる点（極値と関係ない）

大切なのは、f′(x)=0f'(x)=0 になるかどうかではなく、その前後で f′(x)f'(x) の符号が変わるかどうかです。f′(a)=0f'(a)=0 は極値の「候補」にすぎません。

図で見る

f(x)f(x) のグラフと、導関数 f′(x)f'(x) のグラフを上下に並べてみましょう。

y ＝ f(x) y ＝ f′(x) −11 ＋ 増加 − 減少 ＋ 増加
f′(x) が x 軸より上なら f(x) は増加、下なら減少

下の y=f′(x)y=f'(x) が xx 軸より上にある区間で、上の y=f(x)y=f(x) は上り坂。下にある区間（赤い帯）で下り坂です。f′(x)f'(x) が xx 軸をまたぐ x=±1x=\pm1 で、上り下りが切りかわっています。増減表は、この 2 段のグラフを表の形に書き直したものです。

サクラちゃん

サクラちゃん

f′(x)=0f'(x)=0 になったら、必ず山か谷になるんじゃないんですか？

合格先生

合格先生

そう思いがちだけど、y=x3y=x^3 を見てごらん。x=0x=0 で傾きは 0 になるけれど、その前も後も上り坂だ。いったん平らになって、また上るだけなんだよ。

xyO 接線は水平 y ＝ x³ …0… ＋0＋ 0 符号が変わらない → 極値ではない
y＝x³ は x＝0 で傾き 0 だが、前後とも＋なので極値ではない

最大値・最小値との関係

極大値・極小値は「その近くでいちばん大きい・小さい値」です。範囲全体での最大値・最小値とは限りません。範囲が決まっているときは、極値と、範囲の両はしの値を比べます。

たとえば f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x を −2≤x≤3-2\le x\le3 で考えると、極大値は f(−1)=2f(-1)=2、極小値は f(1)=−2f(1)=-2、両はしは f(−2)=−2f(-2)=-2、f(3)=18f(3)=18 です。だから最大値は 18（x=3x=3）、最小値は −2-2（x=−2, 1x=-2,\ 1） です。極大値 2 は最大値ではありません。

極大値・極小値最大値・最小値
意味その点の近くで最大・最小考える範囲全体で最大・最小
調べる点f′(x)f'(x) の符号が変わる点極値と、範囲の両はし
個数0 個のことも、いくつもあることもある範囲が閉じていれば、それぞれ 1 つの値

テスト・入試ではこう出る

増減表は、高校の数学Ⅱで三次関数のグラフをかくときに使い、数学Ⅲでは分数関数・三角関数・指数関数などのグラフでも使います。よく出るのは、極値を求める問題、区間での最大・最小、方程式の実数解の個数、文字定数をふくむ関数が極値をもつ条件などです。数学Ⅲでは、グラフの凹凸や漸近線も表に書きこむことがあります。

例題1（増減表と極値）

f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x の増減を調べ、極値を求めなさい。

  1. 微分する：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。
  2. f′(x)=0f'(x)=0 となる xx：x=−1, 1x=-1,\ 1。
  3. f′(x)f'(x) の符号を調べる：x<−1x<-1 で ++、−1<x<1-1<x<1 で −-、x>1x>1 で ++。
  4. x=−1, 1x=-1,\ 1 の値を計算：f(−1)=−1+3=2f(-1)=-1+3=2、f(1)=1−3=−2f(1)=1-3=-2。
  5. 表にまとめる（図2）。

答え　x≤−1x\le-1、x≥1x\ge1 で増加、−1≤x≤1-1\le x\le1 で減少。x=−1x=-1 で極大値 2、x=1x=1 で極小値 −2-2

例題2（実数解の個数）

xx の方程式 x3−3x=kx^3-3x=k の異なる実数解の個数を、定数 kk の値で分けて答えなさい。

  1. 実数解の個数は、y=x3−3xy=x^3-3x のグラフと直線 y=ky=k の交点の個数と同じ。
  2. 例題1の増減表から、グラフは極大値 2・極小値 −2-2 の山と谷をもつ。
  3. 直線 y=ky=k を上下に動かして交点を数える。

答え　k>2k>2 または k<−2k<-2 のとき 1 個、k=±2k=\pm2 のとき 2 個、−2<k<2-2<k<2 のとき 3 個

k=2k=2 のときは極大の点で直線がグラフに接するので、そこでの解は「重なった 1 つ」と数え、異なる実数解は 2 個です。

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

f′(x)=0f'(x)=0 は極値の候補だけ！ 前後で符号が変わるかを必ず見よう。

  • f′(x)=0f'(x)=0 だけで極値と決める：f(x)=x3f(x)=x^3 の x=0x=0 のように、符号が変わらなければ極値ではありません。必ず前後の符号を確かめます。
  • f′(x)f'(x) の符号と f(x)f(x) の符号を取りちがえる：増減表の＋・−は f′(x)f'(x)（傾き）の符号です。f(x)f(x) の値が負でも、f′(x)>0f'(x)>0 なら増加です。
  • 極大値と最大値を同じと思う：範囲の両はしのほうが大きいことがあります。上の −2≤x≤3-2\le x\le3 の例では、最大値は極大値 2 ではなく 18 です。
  • f(x)f(x) の値を書き忘れる：f′(x)=0f'(x)=0 の列には、f(x)f(x) の値（f(−1)=2f(-1)=2 など）を必ず計算して書きます。グラフをかくのに必要です。
  • 符号を 1 か所しか調べない：f′(x)f'(x) が因数分解できたら、区間ごとに xx の値を入れて符号を確かめます。「+,−,++,-,+ の順のはず」と決めつけると、x4−2x2x^4-2x^2 のような関数でまちがえます。

ことばの意味

増減表は、関数の値の「増加」と「減少」をまとめた「表」という、漢字のとおりの名前です。f′′(x)f''(x)（2 回微分した関数）の符号もいっしょに書いて、グラフの曲がり方（凹凸）まで表したものは「増減凹凸表」などとよばれることもあります。

ミニ問題

問題1　f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x の増減を調べ、極値を答えましょう。

答えと解き方を見る

x<2x<2 で減少、x>2x>2 で増加。x=2x=2 で極小値 −4-4（極大値はなし）です。f′(x)=2x−4f'(x)=2x-4 は x<2x<2 で負、x>2x>2 で正。f(2)=4−8=−4f(2)=4-8=-4 です。二次関数なら平方完成 (x−2)2−4(x-2)^2-4 でも同じ結果が出ます。

問題2　f(x)=2x3−9x2+12xf(x)=2x^3-9x^2+12x の極大値と極小値を求めましょう。

答えと解き方を見る

x=1x=1 で極大値 5、x=2x=2 で極小値 4 です。

  1. f′(x)=6x2−18x+12=6(x−1)(x−2)f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)。
  2. x<1x<1 で ++、1<x<21<x<2 で −-、x>2x>2 で ++。
  3. f(1)=2−9+12=5f(1)=2-9+12=5、f(2)=16−36+24=4f(2)=16-36+24=4。

極大値 5 のほうが極小値 4 より大きいですが、いつもそうとは限りません。値は必ず計算して確かめます。

問題3　f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2 の極値をすべて求めましょう。

答えと解き方を見る

x=0x=0 で極大値 0、x=±1x=\pm1 で極小値 −1-1 です。

  1. f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)f'(x)=4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)。f′(x)=0f'(x)=0 は x=−1, 0, 1x=-1,\ 0,\ 1。
  2. 符号は x<−1x<-1 で −-、−1<x<0-1<x<0 で ++、0<x<10<x<1 で −-、x>1x>1 で ++。
  3. f(−1)=f(1)=1−2=−1f(-1)=f(1)=1-2=-1、f(0)=0f(0)=0。

増減表は「↘ −1-1 ↗ 0 ↘ −1-1 ↗」で、W の形のグラフになります。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

増減表とは簡単にいうと何ですか？

関数のグラフがどこで上がり、どこで下がるかを、導関数の符号を使って区間ごとにまとめた表です。

増減表の書き方は？

微分してf′(x)＝0となるxを求め、表の上の行に並べます。間の区間でf′(x)の符号を調べ、正なら増加、負なら減少と書き、f′(x)＝0の所にはf(x)の値を書きます。

f′(x)＝0なら必ず極値になりますか？

なりません。y＝x³のx＝0のように、前後でf′(x)の符号が変わらなければ極値ではありません。

極大値と最大値のちがいは？

極大値はその点の近くでいちばん大きい値、最大値は考える範囲全体でいちばん大きい値です。範囲の両はしのほうが大きいこともあります。

増減表で方程式の解の個数がわかるのはなぜですか？

f(x)＝k の実数解の個数は、y＝f(x) のグラフと直線 y＝k の交点の個数と同じだからです。増減表でグラフの山と谷の高さがわかれば数えられます。

増減表は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅱの微分で三次関数などに使い、数学Ⅲでさまざまな関数のグラフに使います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅱ（微分・積分の考え）・数学Ⅲ（微分法）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦