合格大作戦 数学用語辞典 › 図形
中学受験高校受験
投影図とは
立体を真正面から見た図（立面図）と、真上から見た図（平面図）を組み合わせてかいた図です。円柱なら立面図は長方形、平面図は円になります。見えない線は点線でかきます。
まなぶくん
投影図って、見取図と何がちがうんですか？
合格先生
見取図はななめから見て立体らしくかいた図。投影図は真正面と真上からまっすぐ見た図を 2 つ組み合わせたものなんだ。長さや形が正しく表れるのがいいところだよ。
この用語のポイント
- 投影図 ＝ 立面図（正面から）＋平面図（真上から）
- 平面図で底面の形、立面図で柱かすいかを見る
- 見えない線は点線。2 つで決まらなければ側面図も
やさしく言うと
投影図は、立体を真正面から見た図と真上から見た図を、上下に組み合わせてかいた図です。正面から見た図を立面図、真上から見た図を平面図といいます。
- かげ絵：かべの真正面から光を当てると、かべに立体のかげができます。投影の「投」は投げる、「影」はかげ。光を投げてできたかげの形、というイメージです。
- 家の図面：家を建てるときは、真上から見た「平面図（間取り図）」と、正面から見た「立面図」を使います。数学の投影図と同じ考え方です。
- 空から見た地図：地図は町を真上から見た図です。山は地図の上では等高線の輪になりますが、横から見ると三角の形に見えます。見る向きで形がちがうことがわかります。
まとめると、投影図は「立体を 2 つの向きから見た形で、平面の上に表した図」です。
まなぶくん
正面から見たら長方形、上から見たら円。2 枚そろうと円柱だとわかるんだ！
投影図の例と、まちがった例
○ 正しい投影図
- 円柱：立面図は長方形、平面図は円
- 円錐：立面図は三角形、平面図は円（中心に頂点の点）
- 立方体：立面図も平面図も正方形
- 球：立面図も平面図も円
- 正四角すい：立面図は三角形、平面図は対角線の入った正方形
× まちがった例
- 円錐の平面図を三角形にする（真上から見ると円）
- 見えない線を、見える線と同じ実線でかく（見えない線は点線）
- 立面図と平面図のはばをそろえずにかく（上下ではばをそろえる）
- 見取図（ななめから見た図）を投影図とよぶ
- 円柱の平面図にだ円をかく（真上から見ると正しい円）
投影図は、真正面・真上からまっすぐに見た図です。ななめから見た見取図とちがって、長さや形がそのまま表れます。だから円柱の平面図はだ円ではなく、ちゃんとした円になります。
図で見る
立面図だけでは、立体が 1 つに決まらないことがあります。円錐と正四角すいは、どちらも正面から見ると三角形です。平面図を見ると、円錐は円、正四角すいは正方形なので、見分けられます。
ハルちゃん
正四角すいの平面図の正方形に、どうして×みたいな線が入っているの？
合格先生
真上から見ると、頂点から底面の 4 つのかどへのびる辺が見えるからだよ。その 4 本の辺が、正方形の対角線のように見えるんだ。円錐の平面図のまん中の点も、真上から見た頂点だよ。
外からは見えない線は、点線（破線）でかきます。たとえば、直方体にまっすぐ穴をあけた立体では、正面からは穴が見えません。そこで、立面図に穴のふちを点線でかき入れます。
同じ穴でも、真上からは穴の入り口がそのまま見えるので、平面図では円を実線でかきます。正面からは穴が箱の中にかくれて見えないので、立面図では点線になります。このように、見える・見えないは見る向きごとに決まります。点線があるおかげで、「中に何かがかくれている」ことが図から読みとれます。
投影図のかき方と読み方
- 上に立面図、下に平面図：2 つの図の間に横線（基線）をひき、立面図を上、平面図を下にかくのがふつうです。
- はばをそろえる：立面図と平面図は、同じ立体を見ているので、横のはばが同じになります。上下にまっすぐそろえてかきます。
- 見えない線は点線：うしろや内側にかくれた辺は、点線でかきます。
- 2 つで決まらなければ側面図：真横から見た図を側面図といいます。立面図と平面図だけでは立体が決まらないときに、3 つ目の図としてかきます。
| 立体 | 立面図（正面） | 平面図（真上） |
|---|---|---|
| 円柱 | 長方形 | 円 |
| 円錐 | 三角形 | 円（中心に点） |
| 角柱（立てたもの） | 長方形 | 底面と同じ多角形 |
| 角すい（立てたもの） | 三角形 | 底面の多角形＋頂点からの線 |
| 球 | 円 | 円 |
投影図を読むときは、まず平面図で底面の形を見て、次に立面図で「柱」か「すい」か（上と下のはばが同じか、上がとがっているか）を見ると、立体がわかります。
テスト・入試ではこう出る
投影図は中学 1 年の空間図形で習います。定期テストでは、「投影図が表す立体の名前を答える」「見取図から投影図をかく」「投影図にかかれた長さから体積や表面積を求める」問題がよく出ます。中学受験でも、積み木などを「正面・真上・真横から見た図」から考える問題が出ます。
中学受験では、積み木（同じ大きさの立方体）を正面・真上・真横から見た図をもとに、積み木の個数を考える問題も出ます。たとえば、正面から見ても真上から見ても 2×2 の正方形に見える積み木は、多いときは 個です。少ないときは、正面から見た左右の列のそれぞれに 2 段の山が 1 か所あればよいので、 個です。このように、見える形が同じでも、かくれた部分のちがいで個数が変わることがあります。投影図は「見えるところ」しか表さない、ということを覚えておきましょう。
例題1（立体を答える）
立面図が長方形、平面図が直角三角形である立体の名前を答えなさい。
- 平面図が三角形なので、真上から見ると三角形。底面が三角形の立体（三角柱か三角すい）と考えられる。
- 立面図が長方形なので、正面から見ると、上も下も同じはば。先がとがっていない。
- だから、三角すいではなく三角柱（三角形の面を上と下にして立てたもの）。
答え 三角柱
例題2（体積を求める）
立面図が、底辺 6cm・高さ 4cm の二等辺三角形、平面図が直径 6cm の円である立体の体積を求めなさい。円周率は とします。
- 立面図が三角形、平面図が円なので、立体は円錐。
- 平面図の円の直径 6cm から、底面の半径は 3cm。立面図の高さ 4cm が円錐の高さ。
- 体積 ＝ 底面積 × 高さ ＝ （cm³）。
答え cm³（立面図の三角形のななめの辺 5cm は母線で、高さではありません）
ハルちゃん
平面図で底面、立面図で高さ。読みとる場所が決まっているんだね！
まちがえやすい点
合格先生
円錐の立面図のななめの辺は母線で、高さではないよ！
- 立面図と平面図を取りちがえる：立面図は正面から、平面図は真上から見た図です。「平面図」という名前から、「平らな面の図＝正面の図」と思いこまないようにしましょう。
- 見えない線を実線でかく、またはかき忘れる：かくれた辺や穴のふちは、点線でかき入れます。かき忘れると、ちがう立体に見えてしまいます。
- 立面図の長さを、そのまま半径や高さにする：円錐の立面図の底辺は直径です。ななめの辺は母線で、高さではありません。高さは、頂点から底辺へまっすぐ下ろした長さです。
- 立面図だけで立体を決める：三角形の立面図は、円錐にも角すいにもなります。必ず平面図も見て決めましょう。
ことばの由来
投影は、「光を投げかけて、かげ（影）をうつす」という意味の言葉です。立体に光を当てて、かべや床にうつったかげの形をかいた図、というのが投影図の考え方です。
立面図は「立っている面（かべ）」にうつした図、平面図は「平らな面（床）」にうつした図、と考えると覚えやすいです。英語では、投影を projection（プロジェクション）といいます。映画やスライドをうつすプロジェクターと同じ仲間の言葉です。
ミニ問題
問題1 立面図が三角形、平面図が円になる立体は何ですか。
答えと解き方を見る
円錐です。真上から見ると底面の円が見え、正面から見ると三角形に見えます。平面図の円の中心にある点は、真上から見た頂点です。
問題2 立面図と平面図が、どちらも正方形になる立体を 1 つ答えましょう。また、その 2 つの図だけでは立体が 1 つに決まらないのはなぜですか。
答えと解き方を見る
たとえば立方体です。でも、立面図も平面図も正方形になる立体はほかにもあります。たとえば、直角二等辺三角形を底面にした三角柱を横にねかせたものは、正面と真上からは正方形に見えて、真横から見ると三角形に見えます。このようなときは、側面図（真横から見た図）もかいて、立体を決めます。
問題3 立面図が、たて 5cm・横 4cm の長方形、平面図が直径 4cm の円である立体の体積を求めましょう。円周率は を使いましょう。
答えと解き方を見る
cm³ です。
- 立面図が長方形、平面図が円なので、立体は円柱。
- 平面図の円の直径 4cm から、底面の半径は 2cm。立面図のたて 5cm が高さ。
- 体積 ＝ 底面積 × 高さ ＝ （cm³）。
立面図の横 4cm は直径です。半径を 4cm にしないよう注意しましょう。
関連する公式・用語
公式辞典で、くわしい証明と例題を見る
あわせて覚えたい用語
よくある質問
投影図とは簡単にいうと何ですか？
立体を真正面から見た図（立面図）と、真上から見た図（平面図）を、上下に組み合わせてかいた図です。
立面図と平面図のちがいは？
立面図は正面から見た図、平面図は真上から見た図です。ふつう立面図を上に、平面図を下にかきます。
投影図で点線は何を表しますか？
外から見えない、うしろや内側にかくれた線を表します。見える線は実線、見えない線は点線でかきます。
円錐の投影図はどうなりますか？
立面図は三角形、平面図は円になります。平面図の円の中心にある点は、真上から見た頂点です。
側面図とは何ですか？
立体を真横から見た図です。立面図と平面図だけでは立体が1つに決まらないときにかきます。
投影図は何年生で習いますか？
中学1年の空間図形で習います。
出典・参考
- 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第1学年 B 図形（空間図形）
最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦
