単位円とは？意味と三角関数の値の読み方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

単位円とは？意味と三角関数の値の読み方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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単位円とは

原点を中心とする半径1の円です（式は x2+y2=1x^2+y^2=1）。角 θ\theta の動径と単位円の交点の座標が (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) になるので、三角比・三角関数の値を点の座標として読むときに使います。

読み方：たんいえん／英語：unit circle／習う学年：数学Ⅰ（図形と計量）、数学Ⅱ（三角関数）

うかるくん

うかるくん

三角比は直角三角形で習ったのに、なんで円が出てくるんですか？

合格先生

合格先生

直角三角形だと 90∘90^\circ より大きい角が作れないよね。半径1の円の上の点の座標で決め直すと、どんな角でも sin⁡\sin・cos⁡\cos が考えられるんだ。

この用語のポイント

  • 単位円 ＝ 原点中心・半径1の円（x2+y2=1x^2+y^2=1）
  • 角 θ\theta の点の座標が (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta)。sin⁡\sin は高さ、cos⁡\cos は横の位置
  • tan⁡θ\tan\theta は動径の傾き。直線 x=1x=1 との交点の高さ

やさしく言うと

単位円は、原点を中心とする、半径1の円です。「単位」は「基準になる1」という意味です。式で書くと x2+y2=1x^2+y^2=1 です。

  • 半径1の観覧車：中心から1のところを、ゴンドラがぐるっと回ります。ゴンドラの「横の位置」と「高さ」を、回った角度で表したものが cos⁡\cos と sin⁡\sin です。
  • 時計の針の先：長さ1の針の先は、いつも単位円の上にあります。針がどの向きを向いても、先の点の横の位置と高さは、角度だけで決まります。
  • 地図の方角：家から 1km はなれた場所が、東から何度の向きにあるかがわかれば、東へ何 km・北へ何 km かが計算できます。

xx 軸の正の向きから、反時計回りに角 θ\theta だけ回った線（動径）と単位円の交点を P とすると、P の座標が (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) になります。単位円は、sin⁡\sin・cos⁡\cos を「点の座標」として読むための道具です。

xy 11O θ P(cosθ, sinθ) 1 sinθ cosθ x 座標 → cosθ y 座標 → sinθ x² ＋ y² ＝ 1
単位円の点 P の x 座標が cosθ、y 座標が sinθ
指さして説明するうかるくん

うかるくん

半径が1だから、座標がそのまま cos と sin になるんだ！

単位円の上にある点・ない点

○ 単位円の上の点

  • (1, 0)(1,\ 0)（0∘0^\circ の点）
  • (0, −1)(0,\ -1)（270∘270^\circ の点）
  • (12, 32)\left(\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt3}2\right)（60∘60^\circ の点）
  • (−22, 22)\left(-\dfrac{\sqrt2}2,\ \dfrac{\sqrt2}2\right)（135∘135^\circ の点）
  • (0.6, 0.8)(0.6,\ 0.8)（0.36+0.64=10.36+0.64=1）
  • (−0.8, −0.6)(-0.8,\ -0.6)（第3象限の点）

× 単位円の上にない点

  • (1, 1)(1,\ 1)（1+1=21+1=2 で、円の外）
  • (12, 12)\left(\dfrac12,\ \dfrac12\right)（14+14=12\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12 で、円の内側）
  • (2, 0)(2,\ 0)（中心からのきょりが2）
  • (0.5, 0.8)(0.5,\ 0.8)（0.25+0.64=0.890.25+0.64=0.89 で、円の内側）
  • 半径 rr の円の点 (rcos⁡θ, rsin⁡θ)(r\cos\theta,\ r\sin\theta)（r≠1r\ne1 なら単位円ではない）

点が単位円の上にあるかどうかは、x2+y2=1x^2+y^2=1 になるかで確かめられます。原点からのきょりが1かどうか、ということです。

図で見る：有名な角の点

30∘30^\circ・45∘45^\circ・60∘60^\circ の点の座標は、三角定規の辺の比（1:3:21:\sqrt3:2、1:1:21:1:\sqrt2）から求められます。ほかの有名な角の点は、それらを xx 軸・yy 軸・原点について折り返した位置にあります。

0°30°45°60°90°120°135°150°180°210°225°240°270°300°315°330° 第1象限の点 30°（√3/2, 1/2） 45°（√2/2, √2/2） 60°（1/2, √3/2） ほかの点は、これを x 軸・y 軸で 折り返した位置
30°・45°の倍数の点。第1象限の3点を覚えれば、ほかは折り返しで出る
サクラちゃん

サクラちゃん

150∘150^\circ の値を、毎回計算するのはたいへんです…

合格先生

合格先生

単位円をかけば、150∘150^\circ の点は 30∘30^\circ の点を yy 軸で折り返した位置だとすぐわかる。高さ（sin⁡\sin）は同じで、横（cos⁡\cos）だけ符号が変わるんだ。

三角比を広げるための円

数学Ⅰの三角比は、はじめは直角三角形で考えるので、0∘0^\circ と 90∘90^\circ の間の角しか考えられません。そこで、半径1の円の上の点の座標で sin⁡θ\sin\theta・cos⁡θ\cos\theta を決め直すと、90∘90^\circ より大きい角でも考えられるようになります。数学Ⅰでは 0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ（上半分の円）、数学Ⅱの三角関数では、360∘360^\circ をこえる角や負の角（一般角）まで広げ、角を弧度法で表します。

xy 第1象限sin＋cos＋tan＋ 第2象限sin＋cos−tan− 第3象限sin−cos−tan＋ 第4象限sin−cos＋tan− sin は y 座標、cos は x 座標、tan ＝ sin ÷ cos で符号を考える
象限によって、sin・cos・tan の符号が決まる

sin⁡θ\sin\theta は点の高さなので、xx 軸より上（第1・第2象限）で正です。cos⁡θ\cos\theta は横の位置なので、yy 軸より右（第1・第4象限）で正です。tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} は、2つの符号が同じ第1・第3象限で正になります。

tanθ は直線 x＝1 の上で読む

tan⁡θ\tan\theta は、動径 OP の傾きです。動径をのばして、直線 x=1x=1 と交わる点を T とすると、T の yy 座標が tan⁡θ\tan\theta になります。

x ＝ 1 θ P T(1, tanθ) tanθ 1 O tanθ ＝ 動径 OP の傾き ＝ sinθ ÷ cosθ
動径をのばして x＝1 と交わる点の高さが tanθ

θ\theta が 90∘90^\circ に近づくと、動径は直線 x=1x=1 とどんどん上で交わり、tan⁡θ\tan\theta は限りなく大きくなります。θ=90∘\theta=90^\circ では動径が x=1x=1 と平行になって交わらないので、tan⁡90∘\tan90^\circ はありません（定義されません）。

単位円からわかる性質

性質単位円での理由
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1点 P が x2+y2=1x^2+y^2=1 の上にあるから
−1≤sin⁡θ≤1-1\le\sin\theta\le1、−1≤cos⁡θ≤1-1\le\cos\theta\le1半径1の円からはみ出さないから
sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta、cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡θ\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\thetayy 軸について折り返した点だから
sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta)=-\sin\theta、cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\thetaxx 軸について折り返した点だから
θ+360∘\theta+360^\circ は θ\theta と同じ点1周回るともとにもどるから

公式を丸暗記しなくても、単位円をかいて「どこに折り返した点か」を見れば、符号と値がわかります。

テスト・入試ではこう出る

数学Ⅰでは、90∘90^\circ より大きい角の三角比の値を求める問題や、0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ の範囲で sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac12 のような方程式を解く問題が出ます。数学Ⅱでは、0≤θ<2π0\le\theta<2\pi の範囲で三角関数の方程式・不等式を解く問題が定番で、単位円をかいて解を全部拾うことが大切です。共通テストや大学入試でも、単位円で考えるとミスが減ります。

例題1（数学Ⅰ：鈍角の三角比）

sin⁡150∘\sin150^\circ、cos⁡150∘\cos150^\circ、tan⁡150∘\tan150^\circ の値を求めなさい。

  1. 150∘150^\circ の点は、30∘30^\circ の点 (32, 12)\left(\dfrac{\sqrt3}2,\ \dfrac12\right) を yy 軸について折り返した (−32, 12)\left(-\dfrac{\sqrt3}2,\ \dfrac12\right)。
  2. sin⁡150∘\sin150^\circ は yy 座標で 12\dfrac12、cos⁡150∘\cos150^\circ は xx 座標で −32-\dfrac{\sqrt3}2。
  3. tan⁡150∘=12÷(−32)=−13\tan150^\circ=\dfrac12\div\left(-\dfrac{\sqrt3}2\right)=-\dfrac1{\sqrt3}。

答え　sin⁡150∘=12\sin150^\circ=\dfrac12、cos⁡150∘=−32\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}2、tan⁡150∘=−13\tan150^\circ=-\dfrac1{\sqrt3}

例題2（数学Ⅱ：方程式）

0≤θ<2π0\le\theta<2\pi のとき、方程式 sin⁡θ=−32\sin\theta=-\dfrac{\sqrt3}2 を解きなさい。

  1. sin⁡θ\sin\theta は単位円の点の yy 座標なので、直線 y=−32y=-\dfrac{\sqrt3}2 と単位円の交点を考える。
  2. 交点は2つで、xx 軸より下にある。60∘60^\circ の点を原点について対称にした 240∘240^\circ と、xx 軸について折り返した 300∘300^\circ。
  3. 弧度法で表すと、43π\dfrac43\pi と 53π\dfrac53\pi。

答え　θ=43π, 53π\theta=\dfrac43\pi,\ \dfrac53\pi

xy 240° 300° y ＝ −√3/2 O sinθ は y 座標 y ＝ −√3/2 と 円の交点が解 θ ＝ 4π/3、5π/3
sinθ＝−√3/2 は、直線 y＝−√3/2 と単位円の交点。解は2つ
ひらめいたサクラちゃん

サクラちゃん

方程式は、横線（sin）や縦線（cos）と円の交点をさがせばいいのね。解が2つあるのも見える！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

座標は (cosθ, sinθ) の順！ x 座標が cos、y 座標が sin だよ。

  • sin と cos を逆にする：点の座標は (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\ \sin\theta) の順です。xx 座標が cos⁡\cos、yy 座標が sin⁡\sin。「sin⁡\sin は高さ」と覚えましょう。
  • 半径が1でない円で、そのまま座標を読む：半径 rr の円では、点は (rcos⁡θ, rsin⁡θ)(r\cos\theta,\ r\sin\theta) です。座標がそのまま cos⁡\cos・sin⁡\sin になるのは、半径が1のときだけです。
  • 解を1つしか拾わない：sin⁡θ=12\sin\theta=\dfrac12 の解は、0∘≤θ<360∘0^\circ\le\theta<360^\circ で 30∘30^\circ と 150∘150^\circ の2つです。横線が円と2か所で交わることを、図で確かめましょう。
  • 角を測る向きをまちがえる：角は xx 軸の正の向きから反時計回りが正です。時計回りは負の角になります。
  • tan⁡90∘\tan90^\circ を値があると思う：cos⁡90∘=0\cos90^\circ=0 で、0 でわることになるので、tan⁡90∘\tan90^\circ は定義されません。

ことばの由来

単位円の「単位」は、長さをはかるときの基準の大きさのことです。半径をちょうど1（単位の長さ）にした円なので、単位円とよびます。英語でも unit circle（ユニット サークル）といい、unit は「1つ分」「単位」という意味です。

ミニ問題

問題1　単位円を使って、cos⁡120∘\cos120^\circ の値を求めましょう。

答えと解き方を見る

−12-\dfrac12 です。120∘120^\circ の点は、60∘60^\circ の点 (12, 32)\left(\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt3}2\right) を yy 軸について折り返した (−12, 32)\left(-\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt3}2\right) です。cos⁡\cos は xx 座標なので −12-\dfrac12 です。

問題2　0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ のとき、cos⁡θ=−22\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}2 を満たす θ\theta を求めましょう。

答えと解き方を見る

θ=135∘\theta=135^\circ です。単位円で xx 座標が −22-\dfrac{\sqrt2}2 の点は、上半分（0∘≤θ≤180∘0^\circ\le\theta\le180^\circ）には1つだけで、45∘45^\circ の点を yy 軸で折り返した位置です。

問題3　θ\theta は鈍角（90∘<θ<180∘90^\circ<\theta<180^\circ）で、sin⁡θ=35\sin\theta=\dfrac35 です。cos⁡θ\cos\theta と tan⁡θ\tan\theta を求めましょう。

答えと解き方を見る

cos⁡θ=−45\cos\theta=-\dfrac45、tan⁡θ=−34\tan\theta=-\dfrac34 です。

  1. sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 より、cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}。
  2. 鈍角の点は第2象限にあり、xx 座標は負なので cos⁡θ=−45\cos\theta=-\dfrac45。
  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=35÷(−45)=−34\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac35\div\left(-\dfrac45\right)=-\dfrac34。

2乗して出した値の符号を、単位円の象限で決めるのがポイントです。

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よくある質問

単位円とは簡単にいうと何ですか？

原点を中心とする半径1の円です。式は x²＋y²＝1 です。

単位円で sinθ と cosθ はどこを見ればわかりますか？

角θの動径と単位円の交点の y座標が sinθ、x座標が cosθ です。

単位円で tanθ はどう読みますか？

動径をのばして直線 x＝1 と交わる点の y座標が tanθ です。tanθ は動径の傾きと同じです。

sin²θ＋cos²θ＝1 になるのはなぜですか？

点(cosθ, sinθ)が単位円 x²＋y²＝1 の上にあるからです。

sin・cos・tan の符号の覚え方は？

sinは上半分、cosは右半分で正です。tanは sin÷cos なので、第1象限と第3象限で正になります。

単位円は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅰで90°より大きい角の三角比を考えるときに使い、数学Ⅱの三角関数で本格的に使います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（図形と計量）、数学Ⅱ（三角関数）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦