二項分布とは？意味と平均np・分散np(1−p)をわかりやすく【例題・問題つき】

大学受験大学院入試

二項分布とは

1 回で起こる確率が $p$ の試行を $n$ 回くり返したとき、起こる回数 $X$ の確率分布です。 $P(X=r)={}_n\mathrm{C}_r\,p^r(1-p)^{n-r}$ で、 $B(n,\ p)$ と書きます。平均は $np$ 、分散は $np(1-p)$ です。

読み方：にこうぶんぷ／英語：binomial distribution／習う学年：数学B（統計的な推測）

うかるくん

コインを 100 回投げたら、表はちょうど 50 回出るんですか？

合格先生

平均は 50 回だけど、ちょうど 50 回になる確率は約 0.08 しかないんだ。表の回数は二項分布 $B\left(100,\ \dfrac12\right)$ にしたがって、50 回のまわりに散らばる。標準偏差は 5 だよ。

この用語のポイント

$P(X=r)={}_n\mathrm{C}_r\,p^r(1-p)^{n-r}$ の分布を $B(n,\ p)$ と書く
平均 $np$ 、分散 $np(1-p)$ 、標準偏差 $\sqrt{np(1-p)}$
$n$ が大きいと正規分布に近づく。玉を戻さない取り出しは×

やさしく言うと

二項分布は、「起こる」か「起こらない」かの試行を $n$ 回くり返したとき、起こる回数 $X$ がどんな確率で何回になるかを表したものです。1 回で起こる確率を $p$ とすると、

P(X=r)={}_n\mathrm{C}_r\,p^r(1-p)^{n-r}\quad(r=0,1,2,\cdots,n)

で、これを二項分布 $B(n,\ p)$ といいます。

コイン投げ：コインを 10 回投げて表が出る回数は $B\left(10,\ \dfrac12\right)$ にしたがいます。5 回のあたりがいちばん出やすく、0 回や 10 回はめったにありません。
くじ：当たる確率 0.2 のくじを（戻しながら）10 回引くと、当たりの回数は $B(10,\ 0.2)$ 。平均すると $10\times0.2=2$ 回くらい当たります。
工場の検査：不良品が出る確率がいつも同じ $p$ の機械で $n$ 個作るとき、不良品の個数を二項分布で考えます。

まとめると、二項分布は反復試行で「起こる回数」を確率変数にしたときの確率分布です。

B(10, 1/2)：平均 5 を中心に左右対称の山になる

サクラちゃん

反復試行の確率を、回数ごとに全部並べたものが二項分布なのね！

二項分布になるもの・ならないもの

○ 二項分布になる

さいころを 60 回投げて、1 の目が出る回数： $B\left(60,\ \dfrac16\right)$
コインを 100 回投げて、表が出る回数： $B\left(100,\ \dfrac12\right)$
成功率 0.7 のシュートを 5 本打ったときの成功数： $B(5,\ 0.7)$
当たる確率 0.2 のくじを、戻しながら 10 回引いたときの当たりの数
○×問題 10 問にでたらめに答えたときの正解数： $B\left(10,\ \dfrac12\right)$

× 二項分布にならない

赤玉 3 個・白玉 7 個から、戻さずに 5 個取り出したときの赤玉の数（毎回確率が変わる）
さいころを 10 回投げたときの目の和（回数ではない）
初めて 6 の目が出るまでに投げた回数（試行の回数 $n$ が決まっていない）
1 回ごとに成功率が上がっていく練習の成功数（ $p$ が一定でない）
さいころを 1 回投げたときの出た目（2 通りの結果に分けていない）

二項分布になる条件は、(1) 試行の回数 $n$ が決まっている、(2) 各回は「起こる・起こらない」の2通り、(3) 起こる確率 $p$ が毎回同じ、(4) 各回が独立、の4つです。

図で見る

$p$ が $\dfrac12$ でないと、山の形がかたよります。当たる確率 0.2 のくじを 10 回引いたときの分布を見てみましょう。

B(10, 0.2)：山は平均 2 のあたり。左にかたよる

二項分布という名前は、確率が二項定理の展開の各項になっていることから来ています。 $q=1-p$ とおくと、 $(q+p)^n$ を展開した各項が $P(X=0),\ P(X=1),\ \cdots$ です。

(q＋p)⁴ の展開の係数 1, 4, 6, 4, 1 が ₄Cᵣ

うかるくん

確率を全部たすと 1 になるって、どうして言い切れるんですか？

合格先生

全部の項をたすと $(q+p)^n$ にもどるよね。 $q+p=(1-p)+p=1$ だから、 $1^n=1$ 。二項定理のおかげで、計算しなくても 1 になると分かるんだ。

平均と分散

二項分布 $B(n,\ p)$ の平均（期待値）・分散・標準偏差は、とても簡単な式になります。

量	式	コイン 100 回の例
平均 $E(X)$	$np$	$100\times\dfrac12=50$
分散 $V(X)$	$np(1-p)$	$100\times\dfrac12\times\dfrac12=25$
標準偏差 $\sigma(X)$	$\sqrt{np(1-p)}$	$\sqrt{25}=5$

平均 $np$ は「1 回あたり $p$ 回起こることが $n$ 回分」と考えると、自然な式です。 $n$ が大きいとき、二項分布の形は平均 $np$ 、分散 $np(1-p)$ の正規分布に近くなります。これを使うと、たくさんの項をたさなくても確率のおよその値が求められます。

回数が多いと、二項分布はつりがね形の正規分布に近づく

テスト・入試ではこう出る

二項分布は、高校の数学B（統計的な推測）で、確率変数と確率分布のあとに学びます。テストや大学入試では、二項分布の平均・分散・標準偏差の計算、 $E(X)$ ・ $V(X)$ から $n$ ・ $p$ を求める問題、正規分布で近似して確率を求める問題、そして仮説検定での利用がよく出ます。

例題1（平均・分散）

1 個のさいころを 60 回投げて、1 の目が出る回数を $X$ とします。 $X$ の平均・分散・標準偏差を求めなさい。

1 回で 1 の目が出る確率は $p=\dfrac16$ 。60 回投げるので、 $X$ は二項分布 $B\left(60,\ \dfrac16\right)$ にしたがう。
平均： $E(X)=np=60\times\dfrac16=10$
分散： $V(X)=np(1-p)=60\times\dfrac16\times\dfrac56=\dfrac{25}3$
標準偏差： $\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{25}3}=\dfrac5{\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}3\fallingdotseq2.89$

答え　平均 10、分散 $\dfrac{25}3$ 、標準偏差 $\dfrac{5\sqrt3}3$

例題2（分布を書く）

$X$ が二項分布 $B\left(4,\ \dfrac13\right)$ にしたがうとき、 $X$ の確率分布を求め、平均と分散を求めなさい。

$P(X=r)={}_4\mathrm{C}_r\left(\dfrac13\right)^r\left(\dfrac23\right)^{4-r}$ より、 $r=0,1,2,3,4$ の確率は順に $\dfrac{16}{81},\ \dfrac{32}{81},\ \dfrac{24}{81},\ \dfrac8{81},\ \dfrac1{81}$ （合計 $\dfrac{81}{81}=1$ ）。
表から平均を計算： $E(X)=\dfrac{0\cdot16+1\cdot32+2\cdot24+3\cdot8+4\cdot1}{81}=\dfrac{108}{81}=\dfrac43$
公式でも $np=4\times\dfrac13=\dfrac43$ で一致。分散は $np(1-p)=4\times\dfrac13\times\dfrac23=\dfrac89$ 。

答え　確率分布は上のとおり、 $E(X)=\dfrac43$ 、 $V(X)=\dfrac89$

確かめ： $E(X^2)=\dfrac{32+96+72+16}{81}=\dfrac83$ なので、 $V(X)=\dfrac83-\left(\dfrac43\right)^2=\dfrac89$ です。

うかるくん

分散は $np$ じゃなくて $np(1-p)$ 。標準偏差は、そのルートだ！

まちがえやすい点

合格先生

分散は $np(1-p)$ 。 $np$ は平均！

分散を $np$ にする：正しくは $np(1-p)$ です。コイン 100 回なら分散は 50 ではなく 25 です。
標準偏差を分散のまま答える：標準偏差は分散の正の平方根です。分散 25 なら標準偏差は 5 です。
戻さない取り出しに使う：玉を戻さないと毎回の確率が変わるので、二項分布ではありません（平均は同じ式になることがありますが、分散はちがいます）。
$B(n,\ p)$ の2つ目を分散と思う：二項分布の $B(n,\ p)$ の2つ目は、1 回で起こる確率です。正規分布 $N(m,\ \sigma^2)$ の2つ目が分散なのと、まちがえないようにします。
$X$ の値の範囲を忘れる： $X$ がとる値は $0$ から $n$ までの整数です。 $X=0$ （1 回も起こらない）もふくみます。

ことばの由来

二項は、 $(a+b)^n$ のように2 つの項の和のことです。二項分布の確率は、 $\{(1-p)+p\}^n$ を二項定理で展開したときの各項になっているので、この名前がつきました。英語では binomial distribution（バイノミアル・ディストリビューション）といい、binomial も「2 つの項」という意味です。記号 $B(n,\ p)$ の B は binomial の頭文字です。

ミニ問題

問題1　コインを 100 回投げたときの表の回数を $X$ とします。 $X$ の平均・分散・標準偏差を求めましょう。

答えと解き方を見る

平均 50、分散 25、標準偏差 5 です。 $X$ は $B\left(100,\ \dfrac12\right)$ にしたがうので、 $E(X)=100\times\dfrac12=50$ 、 $V(X)=100\times\dfrac12\times\dfrac12=25$ 、 $\sigma(X)=\sqrt{25}=5$ 。

問題2　 $X$ が二項分布 $B(n,\ p)$ にしたがい、 $E(X)=12$ 、 $V(X)=9$ です。 $n$ と $p$ を求めましょう。

答えと解き方を見る

$n=48$ 、 $p=\dfrac14$ です。 $np=12$ 、 $np(1-p)=9$ なので、2 つ目を 1 つ目で割ると $1-p=\dfrac9{12}=\dfrac34$ 、 $p=\dfrac14$ 。 $n=12\div\dfrac14=48$ です。

問題3　 $X$ が $B\left(6,\ \dfrac12\right)$ にしたがうとき、 $P(X=3)$ を求めましょう。

答えと解き方を見る

$\dfrac5{16}$ です。 $P(X=3)={}_6\mathrm{C}_3\left(\dfrac12\right)^3\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac{20}{64}=\dfrac5{16}$ 。

よくある質問

二項分布とは何ですか？

1回で起こる確率がpの試行をn回くり返したとき、起こる回数Xがしたがう確率分布です。B(n,p)と書きます。

二項分布の平均と分散は？

平均はnp、分散はnp(1−p)、標準偏差はその平方根です。コインを100回投げたときの表の回数なら、平均50、分散25、標準偏差5です。

二項分布になる条件は？

試行の回数nが決まっていること、各回の結果が「起こる・起こらない」の2通りであること、起こる確率pが毎回同じで、各回が独立であることです。

なぜ「二項」分布というのですか？

確率が、2つの項の和 {(1−p)＋p} のn乗を二項定理で展開したときの各項になっているからです。

二項分布と正規分布の関係は？

nが大きいとき、二項分布B(n,p)は平均np、分散np(1−p)の正規分布に近くなります。これを使って確率のおよその値を求めます。

二項分布は何年生で習いますか？

高校の数学Bの「統計的な推測」で習います。仮説検定でもよく使います。

出典・参考

文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説数学編」数学B（統計的な推測）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦

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