反復試行とは？確率の公式nCrの意味をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

サクラちゃん

コインを 3 回投げて表が 2 回…。$\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18$ じゃないんですか？

合格先生

$\dfrac18$ は「表表裏」のような1 つの並び方の確率だよ。表表裏・表裏表・裏表表の 3 通りがあるから、$3\times\dfrac18=\dfrac38$。この 3 が ${}_3\mathrm{C}_2$ なんだ。

やさしく言うと

反復試行は、同じ試行を、たがいに影響しないように何回もくり返すことです。1 回の試行で事象 $A$ が起こる確率が $p$ のとき、$n$ 回のうち $A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は、次の式で求めます。

• フリースロー：成功率 $0.7$ の人が 5 本打つとき、ちょうど 3 本入る確率。1 本ごとの成功・失敗が、ほかの本に影響しないと考えれば反復試行です。
• さいころ：さいころを 4 回投げて、1 の目がちょうど 2 回出る確率。さいころは前の結果をおぼえていません。
• くじを戻して引く：くじを引いたら元に戻し、また引く。毎回、同じ条件で引けます（戻さないと反復試行になりません）。

まとめると、「何回目に起こるかの選び方」×「1 つの並び方の確率」で計算するのが反復試行です。

サクラちゃん

並び方が何通りあるかを ₙCᵣ で数えて、1 通りの確率にかけるのね！

反復試行になるもの・ならないもの

反復試行の条件は、(1) 毎回同じ試行（$A$ の起こる確率 $p$ が変わらない）と、(2) 各回の結果がたがいに影響しない（独立）の2つです。最後の例のように、回数がはじめに決まっていない場合も、「$n$ 回目に初めて負ける」などと場合分けすれば、反復試行の考え方を使えます。

図で見る

式の 3 つの部分には、それぞれ意味があります。

うかるくん

$\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)^2$ だけじゃだめなんですか？ ${}_n\mathrm{C}_r$ って本当に必要？

合格先生

$\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac56\right)^2$ は「1 回目と 2 回目に 1 が出て、3・4 回目は出ない」1 つの並び方の確率なんだ。1 が出るのは 2・4 回目でもいいよね。そういう並び方が ${}_4\mathrm{C}_2=6$ 通りあるから、6 倍するんだよ。

さいころを 4 回投げたとき、1 の目が出る回数ごとの確率を並べると、次のようになります。すべてたすと 1 になります。

このように、回数 $r$ ごとの確率を並べたものが二項分布です。名前のとおり、各確率は二項定理 $\left(p+(1-p)\right)^n$ を展開した各項になっています。だから合計はかならず $1^n=1$ です。

点の移動と「〜勝先取」

反復試行は、点の移動の問題でもよく使います。コインを投げて表なら $+1$、裏なら $-1$ 動く点が、4 回で位置 $+2$ にいるのは「表 3 回・裏 1 回」のときです。

表を $x$ 回、裏を $y$ 回とすると、$x+y=4$、$x-y=2$ より $x=3$、$y=1$。確率は $\,{}_4\mathrm{C}_3\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac4{16}=\dfrac14$ です。まず「何回ずつ起こればよいか」を連立方程式で決めるのがコツです。

「先に 3 勝したほうが優勝」のような問題では、最後の試合は優勝するほうが勝つことに注意します。最後の 1 試合を除いた部分だけが反復試行になります（例題2）。

テスト・入試ではこう出る

反復試行の確率は、高校の数学A（場合の数と確率）で、独立な試行の確率のあとに学びます。定期テストや大学入試では、「ちょうど $r$ 回」「$r$ 回以上」の確率、点の移動、〜勝先取の優勝の確率、余事象と組み合わせた「少なくとも 1 回」などがよく出ます。数学Bでは、反復試行で起こる回数の分布を二項分布として学びます。

うかるくん

C で並び方を選ぶのは、最後の試合より前だけ。最後は勝つ確率を 1 回かけるんだ！

まちがえやすい点

合格先生

${}_n\mathrm{C}_r$（並び方の数）をかけ忘れないで！

• $\,{}_n\mathrm{C}_r$ をかけ忘れる：$p^r(1-p)^{n-r}$ は 1 つの並び方の確率です。何回目に起こるかの選び方 $\,{}_n\mathrm{C}_r$ をかけます。
• 指数をまちがえる：起こらない確率 $1-p$ の指数は $n-r$（残りの回数）です。指数の和が $n$ になっているか確かめます。
• 元に戻さないのに使う：玉を戻さないと、毎回の確率が変わります。反復試行の式は使えません。
• 「〜勝先取」で最後の試合まで $\,{}_n\mathrm{C}_r$ に入れる：5 試合目で A が優勝するのに $\,{}_5\mathrm{C}_3$ とすると、「4 試合目までに A が 3 勝（すでに優勝）」の場合までふくめてしまいます。正しくは $\,{}_4\mathrm{C}_2$ です。
• 「以上」を 1 つの項だけで計算する：「4 回以上」は「4 回」と「5 回」の和です。項が多いときは余事象を考えます。

ことばの由来

反復は「同じことを何回もくり返す」という意味です。成功か失敗かの 2 通りの結果しかない試行を独立にくり返すことは、スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイの名前をとってベルヌーイ試行とも呼ばれます。ベルヌーイは、くり返しの回数をふやすと起こった割合が確率に近づくこと（大数の法則）を研究したことでも知られています。

ミニ問題

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