仮説検定とは？意味と手順・有意水準をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

仮説検定とは？意味と手順・有意水準をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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大学受験大学院入試

仮説検定とは

ある仮説が正しいかどうかを、データから確率を使って判断する方法です。「ちがいはない」という仮説のもとで、データのようなことが起こる確率を求め、それが有意水準（たとえば 5%）より小さければ、仮説を棄却します。

読み方：かせつけんてい／英語：hypothesis testing／習う学年：数学Ⅰ（データの分析）・数学B（統計的な推測）

うかるくん

うかるくん

コインを 20 回投げて表が 15 回。これって、たまたまですか？ それともインチキコイン？

合格先生

合格先生

「公正なコイン」と仮定して、表 15 回以上の確率を計算してみよう。約 2.1% だ。5% より小さいから「たまたまとは考えにくい」と判断する。これが仮説検定だよ。

この用語のポイント

  • 主張したいことの反対を仮説（帰無仮説）にして、そのもとで確率を計算する
  • 確率が有意水準より小さいなら仮説を棄却（〜といえる）
  • 棄却されないときは「〜とはいえない」まで。「正しい」とは言えない

やさしく言うと

仮説検定は、「たまたま」で説明できるかどうかを、確率を使って判断する方法です。まず「ちがいはない」「かたよりはない」という仮説を立て、その仮説が正しいとしたら、手元のデータのようなことがどのくらいの確率で起こるかを計算します。その確率がとても小さければ、「仮説がおかしい」と判断します。

  • コイン投げ：コインを 20 回投げて表が 15 回。公正なコインでも起こりうるけれど、確率は約 2%。「公正だとすると、めったにないことが起きた」と考えて、表が出やすいコインだと判断します。
  • 新しい勉強法：新しい方法で点数が上がったとき、それが「たまたま」なのか「効果がある」のかを、データから判断します。
  • お店のくじ：「当たり 2 割」のくじを 30 回引いて 1 回も当たらなかったら、「本当に 2 割？」と疑いたくなります。その「疑い」を確率で判断するのが仮説検定です。

まとめると、仮説のもとで「めったに起こらない」ことが起きたら、仮説を捨てるのが仮説検定です。

1主張したいことの反対を仮説にする「このコインは公正（表の確率 1/2）」2仮説が正しいとして確率を計算20 回で表 15 回以上 → 約 0.0213有意水準（たとえば 5%）とくらべる0.021 ＜ 0.054判断する仮説を棄却 →「表が出やすい」といえる
仮説検定の4つの手順
本で説明するサクラちゃん

サクラちゃん

主張したいことの「反対」を仮説にするのがポイントなのね。

仮説検定の言葉

言葉意味コインの例
帰無仮説（きむかせつ）確かめたい主張の反対の仮説。「ちがいはない」の形「表の確率は 12\dfrac12（公正）」
対立仮説本当に主張したいこと「表の確率は 12\dfrac12 より大きい」
有意水準これより小さい確率なら「めったに起こらない」と考える基準5%（0.05）や 1%（0.01）
棄却（ききゃく）仮説を「正しくない」としてしりぞけること0.021 ＜ 0.05 なので棄却
棄却域仮説を棄却することになるデータの範囲両側 5% なら ∣Z∣≥1.96|Z|\ge1.96

「帰無仮説」は、「無に帰す（なかったことにする）ことを期待して立てる仮説」と説明されることがあります。主張したいことを直接証明するのではなく、反対の仮説を否定することで主張を支えるのです。

正しい結論・まちがった結論

○ 正しい結論

  • 確率 0.021 ＜ 0.05 →「仮説を棄却する。表が出やすいといえる」
  • 確率 0.058 ＞ 0.05 →「仮説は棄却されない。表が出やすいとはいえない」
  • 有意水準は、データを見る前に決めておく
  • 「表と裏の出やすさがちがうか」は両側、「表が出やすいか」は片側で考える
  • 棄却しても、まれに判断をまちがえる可能性はある（その上限が有意水準）

× まちがった結論

  • 確率 0.058 →「仮説は正しいと証明された」（そこまではいえない）
  • 確率 0.021 →「仮説が正しい確率は 2.1%」（意味がちがう）
  • データを見てから、都合のよい有意水準を選ぶ
  • 片側か両側かを考えずに確率を計算する
  • 棄却されたから、仮説はぜったいにまちがいだと言い切る

図で見る

「公正なコインを 20 回投げたら、表は何回出るか」の確率分布は、二項分布 B(20, 12)B\left(20,\ \dfrac12\right) です。表 15 回以上は、山のはしの、ほんの少しの部分です。

05101520 15 回以上 約 0.021（2.1%） 公正なコインを 20 回投げたときの表の回数
公正なら表 15 回以上はたった約 2.1%。めったに起こらない
うかるくん

うかるくん

公正なコインでも 15 回出ることはありますよね。それなのに「公正でない」と決めていいんですか？

合格先生

合格先生

いい質問だ。確かにありうるから、仮説検定の判断にはまちがいの可能性が残る。でも「5% より起こりにくいことが起きたら疑う」と前もって基準を決めておくことで、まちがえる確率を 5% 以下におさえているんだ。

数学Bでは、回数が多いときに正規分布で近似し、標準化した値 ZZ が棄却域に入るかどうかで判断します。両側検定で有意水準 5% なら、棄却域は ∣Z∣≥1.96|Z|\ge1.96 です。

−1.961.960 2.5%2.5% 95% 棄却域（両はし 合わせて 5%）に入れば仮説を棄却 例題2：Z＝2.2 は 1.96 より外 → 棄却
両側 5% の棄却域：Z≦−1.96 または Z≧1.96

仮説検定の考え方は、背理法によく似ています。ただし、背理法は「矛盾」で確実に否定するのに対し、仮説検定は「めったに起こらない」という確率で否定します。

背理法否定を仮定する↓矛盾が出た↓仮定は誤り↓（確実にいえる） 仮説検定仮説を立てる↓めったに起きない↓ことが起きた↓仮説を棄却（確率で判断）
背理法は確実、仮説検定は確率で判断する

テスト・入試ではこう出る

高校の数学Ⅰ（データの分析）で、コイン投げの実験結果などを使って仮説検定の考え方を学びます。数学B（統計的な推測）では、二項分布や正規分布を使って、棄却域を求めて検定する方法を学びます。テストでは、確率を計算して有意水準とくらべる問題、標準化して棄却域に入るかを調べる問題、結論の書き方（「〜といえる」「〜とはいえない」）がよく問われます。

例題1（片側検定）

あるコインを 20 回投げたら、表が 15 回出ました。このコインは表が出やすいといえるかを、有意水準 5% で判断しなさい。

  1. 仮説：「このコインは公正で、表の出る確率は 12\dfrac12」。（主張したいのは「表が出やすい」なので、その反対を仮説にする）
  2. 仮説が正しいとき、表の回数 XX は B(20, 12)B\left(20,\ \dfrac12\right) にしたがう。表が 15 回以上出る確率は
    P(X≥15)=20C15+20C16+⋯+20C20220=15504+4845+1140+190+20+11048576=217001048576≒0.021P(X\ge15)=\dfrac{{}_{20}\mathrm{C}_{15}+{}_{20}\mathrm{C}_{16}+\cdots+{}_{20}\mathrm{C}_{20}}{2^{20}}=\dfrac{15504+4845+1140+190+20+1}{1048576}=\dfrac{21700}{1048576}\fallingdotseq0.021
  3. 0.021<0.050.021<0.05 なので、「公正なら、めったに起こらないことが起きた」と考え、仮説を棄却する。

答え　表が出やすいと判断してよい（有意水準 5% で、仮説は棄却される）

例題2（両側検定・正規分布）

あるコインを 100 回投げたら、表が 61 回出ました。表と裏の出やすさにちがいがあるといえるかを、有意水準 5% で判断しなさい。ただし、標準正規分布で P(∣Z∣≥1.96)=0.05P(|Z|\ge1.96)=0.05 とします。

  1. 仮説：「表の出る確率は 12\dfrac12」。（「表と裏の出やすさにちがいがあるか」なので両側検定）
  2. 仮説が正しいとき、表の回数 XX は B(100, 12)B\left(100,\ \dfrac12\right) で、平均 50、標準偏差 100⋅12⋅12=5\sqrt{100\cdot\dfrac12\cdot\dfrac12}=5。nn が大きいので正規分布 N(50, 52)N(50,\ 5^2) で近似する。
  3. 標準化：Z=61−505=2.2Z=\dfrac{61-50}5=2.2
  4. 有意水準 5% の両側検定の棄却域は ∣Z∣≥1.96|Z|\ge1.96。2.2≥1.962.2\ge1.96 なので、棄却域に入る。

答え　仮説は棄却され、表と裏の出やすさにちがいがあると判断する

机で勉強するうかるくん

うかるくん

結論は「〜といえる」か「〜とはいえない」。「正しいと証明された」とは書かない！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

棄却されなくても「仮説は正しい」とは言えない。「〜とはいえない」と書こう！

  • 「棄却されない」を「仮説が正しい」とする：棄却されないときは「ちがいがあるとはいえない」までです。データが少ないと、本当のちがいを見のがすこともあります。
  • 有意水準を「仮説が正しい確率」と思う：有意水準は、仮説が正しいのにまちがって棄却してしまう確率の上限です。計算した 0.021 も「仮説のもとで、こんなデータが出る確率」で、「仮説が正しい確率」ではありません。
  • 片側と両側を区別しない：「表が出やすいか」なら片側、「出やすさがちがうか」なら両側です。例題1のデータを両側で考えると、確率は約 0.021×2≒0.0410.021\times2\fallingdotseq0.041 になります。
  • 仮説を主張したいことのほうにする：仮説（帰無仮説）は「ちがいはない」「公正」のような、否定したいほうです。
  • データを見てから有意水準を決める：結果に合わせて基準を動かすと、判断の意味がなくなります。基準は前もって決めます。

ことばの由来

仮説は「仮に立てた説」、検定は「調べて決める」という意味の漢字の組み合わせです。英語では hypothesis testing（ハイポセシス・テスティング）といいます。「帰無仮説」は英語の null hypothesis（null は「ゼロ・無効」の意味）を訳した言葉です。

ミニ問題

問題1　仮説検定で仮説が棄却されなかったとき、「仮説は正しいと証明された」といってよいですか。

答えと解き方を見る

いえません。「仮説が正しくないとはいえない（ちがいがあるとはいえない）」までしかいえません。データが少ないために、本当はちがいがあっても見つけられなかった、という場合もあるからです。

問題2　あるコインを 10 回投げたら、10 回とも表でした。「このコインは公正」という仮説は、有意水準 5% で棄却されますか（表が出やすいかを調べる片側検定）。

答えと解き方を見る

棄却されます。公正なら 10 回とも表になる確率は (12)10=11024≒0.001\left(\dfrac12\right)^{10}=\dfrac1{1024}\fallingdotseq0.001 で、0.050.05 よりずっと小さいからです。「表が出やすいコイン」と判断します。

問題3　あるコインを 20 回投げたら、表が 14 回出ました。表が 14 回以上出る確率は、公正なコインなら約 0.058 です。有意水準 5% で、表が出やすいといえますか。

答えと解き方を見る

いえません。0.058>0.050.058>0.05 なので、仮説「公正」は棄却されません。「表が出やすいとはいえない」と結論します。15 回なら約 0.021 で棄却されたので、1 回のちがいで判断が分かれる、ということも分かります。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

仮説検定とは何ですか？

ある仮説が正しいかどうかを、データから確率を使って判断する方法です。仮説のもとでデータのようなことが起こる確率が小さければ、仮説を棄却します。

帰無仮説とは何ですか？

確かめたい主張の反対にあたる、「ちがいはない」「かたよりはない」という仮説です。これを否定できるかどうかを調べます。

有意水準とは何ですか？

これより小さい確率なら「めったに起こらない」と考える基準です。5%や1%がよく使われ、データを見る前に決めておきます。

仮説が棄却されなかったら、仮説は正しいのですか？

正しいとまではいえません。「ちがいがあるとはいえない」という結論になります。

片側検定と両側検定のちがいは？

「大きいか」のように一方向だけを調べるのが片側検定、「ちがうか」のように両方向を調べるのが両側検定です。両側では棄却域を両はしに分けます。

仮説検定は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅰ（データの分析）で考え方を学び、数学B（統計的な推測）で二項分布や正規分布を使った検定を学びます。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅰ（データの分析）・数学B（統計的な推測）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦