因数定理・剰余の定理とは？意味と使い方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

因数定理・剰余の定理とは？意味と使い方をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

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因数定理・剰余の定理とは

剰余の定理は「整式 f(x)f(x) を x−ax-a で割った余りは f(a)f(a)」、因数定理は「f(a)=0f(a)=0 ならば f(x)f(x) は x−ax-a で割り切れる（x−ax-a を因数にもつ）」という定理です。三次式の因数分解などに使います。

読み方：いんすうていり・じょうよのていり／英語：factor theorem / remainder theorem／習う学年：数学Ⅱ（複素数と方程式）

うかるくん

うかるくん

三次式の割り算、長くて途中でまちがえちゃいます…

合格先生

合格先生

余りだけ知りたいなら、割り算はいらないよ。x−ax-a で割った余りは f(a)f(a)。代入1回で終わりなんだ。f(a)=0f(a)=0 なら割り切れる、というのが因数定理だよ。

この用語のポイント

  • 剰余の定理：f(x)f(x) を x−ax-a で割った余りは f(a)f(a)
  • 因数定理：f(a)=0f(a)=0 なら f(x)f(x) は x−ax-a で割り切れる
  • 代入するのは「割る式が 0 になる xx」（x+2x+2 なら −2-2）

やさしく言うと

剰余の定理は、「整式 f(x)f(x) を x−ax-a で割った余りは f(a)f(a)」という定理です。わざわざ割り算をしなくても、x=ax=a を代入するだけで余りが分かります。

因数定理は、その特別な場合で、「f(a)=0f(a)=0 なら、f(x)f(x) は x−ax-a で割り切れる（x−ax-a を因数にもつ）」という定理です。

身近なたとえで考えてみましょう。

  • あめを配る：17個のあめを5人に3個ずつ配ると2個余ります（17=5×3+217=5\times3+2）。整式の割り算も、これと同じ「割られる式 ＝ 割る式 × 商 ＋ 余り」の形です。
  • 健康診断の検査：全部を調べなくても、1つの値を測るだけで分かることがあります。剰余の定理は、長い割り算をせずに、代入1回で余りが分かる近道です。
  • かぎ穴さがし：f(a)=0f(a)=0 になる aa が見つかれば、「x−ax-a というかぎ」で式を割り切れます。そこから因数分解が進みます。
割られる数 ＝ 割る数 × 商 ＋ 余り 整数 17 ＝ 5 × 3 ＋ 2 整式 f(x) ＝ (x−a) Q(x) ＋ R x−a（1次式）で割ると、余り R は数（定数）になる Q(x) は商。余りは割る式より次数が低い
整数の割り算と、整式の割り算は同じ形

まとめると、剰余の定理は「余りは f(a)f(a)」、因数定理は「f(a)=0f(a)=0 なら割り切れる」です。

使い方の例

○ 正しい使い方

  • x2+3x+1x^2+3x+1 を x−2x-2 で割った余り：f(2)=11f(2)=11
  • x3−6x2+11x−6x^3-6x^2+11x-6 は f(1)=0f(1)=0 なので x−1x-1 で割り切れる
  • x+3x+3 で割った余りは f(−3)f(-3)
  • 2x−12x-1 で割った余りは f ⁣(12)f\!\left(\dfrac12\right)
  • f(a)=0f(a)=0 になる aa を探して、三次式を因数分解する

× まちがった使い方

  • x−2x-2 で割った余りを f(−2)f(-2) とする（符号が逆）
  • x2−1x^2-1 で割った余りを f(1)f(1) だけで決める（2次式で割ると余りは1次式）
  • f(2)=5f(2)=5 なのに「x−2x-2 で割り切れる」とする
  • f(x)f(x) を x−ax-a で割った商を f(a)f(a) とする

剰余の定理で分かるのは余りだけです。商（割り算の答え）がほしいときは、ふつうの割り算か組立除法を使います。

図で見る：なぜ余りは f(a) なのか

f(x)f(x) を x−ax-a で割ると、商 Q(x)Q(x) と余り RR を使って f(x)=(x−a)Q(x)+Rf(x)=(x-a)Q(x)+R と書けます。1次式で割ったので、余り RR は数です。ここに x=ax=a を代入すると、(x−a)(x-a) が 00 になり、商の部分が消えます。

f(x) ＝ (x−2) Q(x) ＋ R x＝2 を代入する f(2) ＝(2−2) Q(2)＋ R 0 × Q(2) ＝ 0 f(2) ＝ R（余りは f(2)）… 剰余の定理 f(2)＝0 なら割り切れる … 因数定理
x＝2 を代入すると、(x−2)Q(x) の部分が 0 になって、余りだけが残る
サクラちゃん

サクラちゃん

どうして x=ax=a を代入するんですか？ ほかの数ではだめなんですか？

合格先生

合格先生

x=ax=a のときだけ、x−ax-a が 00 になるからだよ。0 には何をかけても 0 だから、分からない商 Q(x)Q(x) が消えてくれるんだ。ほかの数では Q(x)Q(x) が残って、余りだけを取り出せないんだよ。

グラフで見ると、因数定理の意味がよく分かります。f(a)=0f(a)=0 ということは、y=f(x)y=f(x) のグラフが x=ax=a で xx 軸と交わる（または接する）ということです。

xyO 123 y＝x³−6x²＋11x−6 f(1)＝f(2)＝f(3)＝0 なので f(x)＝(x−1)(x−2)(x−3)
x 軸と交わる x＝1, 2, 3 が、因数 x−1, x−2, x−3 に対応する

因数定理で三次式を因数分解する

因数定理のいちばんの使いどころは、三次以上の式の因数分解です。手順は次のとおりです。

  1. f(a)=0f(a)=0 になる aa を探す。候補は ±（定数項の約数）÷（最高次の係数の約数）。最高次の係数が1なら、定数項の約数だけ試せばよい。
  2. 見つかったら、f(x)f(x) を x−ax-a で割る（組立除法が速い）。
  3. 残った2次式を因数分解する。
組立除法：x³−6x²＋11x−6 を x−1 で割る 1 11−61−511−56−660 下ろした数に 1 をかけて、次の列にたす（青がかけた結果） 商 x²−5x＋6、余り 0（割り切れる） → x³−6x²＋11x−6＝(x−1)(x²−5x＋6)
組立除法なら、係数だけで割り算ができる
調べること使う定理例（f(x)＝x³−6x²＋11x−6）
x−ax-a で割った余り剰余の定理x−4x-4 で割った余りは f(4)=6f(4)=6
x−ax-a で割り切れるか因数定理f(1)=0f(1)=0 → x−1x-1 で割り切れる
因数分解因数定理＋割り算(x−1)(x−2)(x−3)(x-1)(x-2)(x-3)
ひらめいたうかるくん

うかるくん

三次式が出たら、まず f(1) と f(−1) を計算。0 になればそこから崩せる！

テスト・入試ではこう出る

因数定理・剰余の定理は、高校の数学Ⅱ（複素数と方程式）で習います。定期テストや大学入試では、余りを求める、割り切れる条件から係数を決める、三次方程式を解く、2次式で割った余りを求める、といった形でよく出ます。

例題1（因数分解）

x3+2x2−5x−6x^3+2x^2-5x-6 を因数分解しなさい。

  1. f(x)=x3+2x2−5x−6f(x)=x^3+2x^2-5x-6 とおき、x=±1, ±2, ±3, ±6x=\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6（定数項 −6-6 の約数）を順に試す。
  2. f(−1)=−1+2+5−6=0f(-1)=-1+2+5-6=0 なので、因数定理より f(x)f(x) は x+1x+1 で割り切れる。
  3. 割り算（組立除法）をすると、商は x2+x−6x^2+x-6。つまり f(x)=(x+1)(x2+x−6)f(x)=(x+1)(x^2+x-6)。
  4. 2次式を因数分解：x2+x−6=(x−2)(x+3)x^2+x-6=(x-2)(x+3)。

答え　(x+1)(x−2)(x+3)(x+1)(x-2)(x+3)

例題2（2次式で割った余り）

整式 f(x)f(x) を x−1x-1 で割ると余りは 33、x+2x+2 で割ると余りは −3-3 である。f(x)f(x) を (x−1)(x+2)(x-1)(x+2) で割った余りを求めなさい。

  1. 2次式 (x−1)(x+2)(x-1)(x+2) で割った余りは1次以下なので、ax+bax+b とおく：f(x)=(x−1)(x+2)Q(x)+ax+bf(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b
  2. 剰余の定理より f(1)=3f(1)=3。x=1x=1 を代入すると a+b=3a+b=3。
  3. 同じく f(−2)=−3f(-2)=-3。x=−2x=-2 を代入すると −2a+b=−3-2a+b=-3。
  4. 2式を連立して解くと a=2, b=1a=2,\ b=1。

答え　2x+12x+1

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

x+2x+2 で割った余りは f(2)f(2) じゃない！ x+2=0x+2=0 となる x=−2x=-2 を代入して f(−2)f(-2) だよ。

  • 代入する数の符号：x+2x+2 で割った余りを f(2)f(2) とするのは×。x+2=x−(−2)x+2=x-(-2) なので f(−2)f(-2) です。「割る式が 0 になる xx」を代入すると覚えましょう。
  • ax−bax-b の形：2x−12x-1 で割った余りは f(2)f(2) や f(1)f(1) ではなく、2x−1=02x-1=0 となる x=12x=\dfrac12 を代入した f ⁣(12)f\!\left(\dfrac12\right) です。
  • 2次式で割った余りを数と思う：(x−1)(x+2)(x-1)(x+2) のような2次式で割ると、余りは1次以下の式 ax+bax+b になります。数1つとは限りません。
  • 候補の探しもれ：f(a)=0f(a)=0 の候補は正の数だけでなく負の数も試します。最高次の係数が1でないときは、12\dfrac12 などの分数も候補です。
  • 因数定理を余りが 0 でないときに使う：f(a)≠0f(a)\ne0 なら、x−ax-a は因数ではありません。その aa では因数分解は進みません。

ことばの由来

「剰余（じょうよ）」は「余り」という意味です。割り算の余りについての定理なので剰余の定理といいます。英語では remainder theorem（リメインダー・セオレム）で、remainder も「余り」の意味です。因数定理は英語で factor theorem（ファクター・セオレム）といい、factor は「因数」の意味です。

ミニ問題

問題1　整式 f(x)=x3−2x+5f(x)=x^3-2x+5 を x+1x+1 で割った余りを求めましょう。

答えと解き方を見る

6 です。x+1=x−(−1)x+1=x-(-1) なので、余りは f(−1)=−1+2+5=6f(-1)=-1+2+5=6。x+1x+1 で割るときに f(1)f(1) を計算してしまうミスに気をつけます。

問題2　x3+ax+2x^3+ax+2 が x−2x-2 で割り切れるとき、定数 aa の値を求めましょう。

答えと解き方を見る

a=−5a=-5 です。割り切れるので、因数定理より f(2)=0f(2)=0。8+2a+2=08+2a+2=0 より 2a=−102a=-10、a=−5a=-5。たしかめると x3−5x+2=(x−2)(x2+2x−1)x^3-5x+2=(x-2)(x^2+2x-1) で、割り切れています。

問題3　整式 f(x)=4x3−2x+3f(x)=4x^3-2x+3 を 2x−12x-1 で割った余りを求めましょう。

答えと解き方を見る

52\dfrac52 です。2x−1=02x-1=0 となるのは x=12x=\dfrac12 なので、余りは f ⁣(12)=4×18−2×12+3=12−1+3=52f\!\left(\dfrac12\right)=4\times\dfrac18-2\times\dfrac12+3=\dfrac12-1+3=\dfrac52。x−ax-a の形でないときは、割る式が 0 になる xx を代入します。

関連する公式・用語

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あわせて覚えたい用語

よくある質問

剰余の定理とは簡単にいうと何ですか？

整式 f(x) を x−a で割った余りは f(a) になる、という定理です。割り算をしなくても、代入1回で余りが分かります。

因数定理とは何ですか？

f(a)＝0 ならば、f(x) は x−a で割り切れる（x−a を因数にもつ）という定理です。逆に、x−a で割り切れるなら f(a)＝0 です。

x＋3 で割った余りは何を代入しますか？

x＋3＝0 となる x＝−3 を代入して、f(−3) を計算します。

f(a)＝0 になる a はどうやって見つけますか？

定数項の約数を、最高次の係数の約数で割った数（プラスとマイナス）を候補にして、順に代入して確かめます。

2次式で割った余りはどうなりますか？

1次以下の式 ax＋b になります。剰余の定理で2つの式を作り、連立方程式で a と b を求めます。

因数定理・剰余の定理は何年生で習いますか？

高校の数学Ⅱ（複素数と方程式）で、高次方程式とあわせて習います。

出典・参考

  • 文部科学省「高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編」数学Ⅱ（複素数と方程式）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦