変化の割合とは？求め方とa(p+q)をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

やさしく言うと

変化の割合は、$x$ が 1 増えるあたり、$y$ が平均してどれだけ増えるかを表す数です。「1 あたりの変わり方」と考えるとわかりやすくなります。

• 気温：朝 9 時に 15℃、昼 12 時に 24℃ なら、3 時間で 9℃ 上がったので、1 時間あたり $9\div3=3$（℃）上がったことになります。これが変化の割合です。
• 同じ速さで走る自転車：毎分 200m で走ると、どの時間を調べても 1 分あたり 200m 進みます。変化の割合はいつも 200です。
• 坂をころがるボール：ボールはだんだん速くなるので、1 秒ごとに進む道のりは 1m、3m、5m…とふえていきます。変化の割合は、どの区間を調べるかで変わります。

式で書くと、次のとおりです。

$$\text{変化の割合}=\frac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$$

ボールの例では、1 秒から 3 秒の間に $9-1=8$（m）進んだので、変化の割合は $\dfrac{8}{3-1}=4$。つまり「その間の平均の速さ」です。まとめると、変化の割合は「ある区間での、1 あたりの平均の変わり方」です。

正しい求め方と、まちがった求め方

まちがいの多くは、わる向き、引く順番、わり算のし忘れのどれかです。「$y$ の増加量 ÷ $x$ の増加量」と、ことばで唱えてから式を書くとミスがへります。

図で見る

一次関数 $y=2x+1$ と、関数 $y=x^2$ の表をならべてみましょう。

一次関数では、$x$ が 1 増えるたびに $y$ はいつも 2 増えます。だから変化の割合はどこでも 2 で、これは傾きと同じです。一方、$y=x^2$ では増え方が 1, 3, 5, 7 とふえていくので、変化の割合は区間ごとにちがいます。

y＝ax² の変化の割合の公式

中学 3 年で習う関数 $y=ax^2$ では、$x$ が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合が、次の式で求められます。

$$\frac{aq^2-ap^2}{q-p}=\frac{a(q+p)(q-p)}{q-p}=a(p+q)$$

分子を因数分解すると、分母の $q-p$ と約分できるのがポイントです。$y=x^2$（$a=1$）で $x$ が 1 から 3 なら $1\times(1+3)=4$ で、図の値と一致します。

公式 $a(p+q)$ が使えるのは $y=ax^2$ の形だけです。$y=x^2+3x$ のように別の項がついている関数や、一次関数には使えません。

高校では「平均変化率」

高校の数学Ⅱでは、変化の割合を平均変化率とよびます。関数 $f(x)$ で $x$ が $a$ から $b$ まで変わるときの平均変化率は $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ で、中学の変化の割合と同じものです。

この区間をどんどんせまくしていくと、平均変化率はある値に近づきます。その値が、その点での接線の傾き＝微分係数です。

$y=x^2$ で $x$ が 1 から $1+h$ まで変わるときの平均変化率は $1\times(1+(1+h))=2+h$。$h$ を 0 に近づけると 2 になります。中学で習う変化の割合は、高校の微分につながる考え方なのです。

テスト・入試ではこう出る

中学 2 年の一次関数では「変化の割合 ＝ 傾き」として、中学 3 年の関数 $y=ax^2$ では「区間によって変わる変化の割合」として出ます。高校入試では、$y=ax^2$ の変化の割合を求める問題、変化の割合から $a$ を求める問題、一次関数と変化の割合が等しくなる条件を使う問題がよく出ます。

まちがえやすい点

• 分母と分子を逆にする：変化の割合は $\dfrac{y\text{ の増加量}}{x\text{ の増加量}}$ です。$\dfrac{x\text{ の増加量}}{y\text{ の増加量}}$ にしないように。「$x$ が 1 増えると $y$ がいくつ」なので、$y$ が上です。
• $y=ax^2$ でも一定だと思う：一次関数の「変化の割合 ＝ 傾き（一定）」をそのまま使うまちがいです。$y=x^2$ は 1→3 で 4、2→4 で 6 と、区間で変わります。
• 増加量の引き算の順番をそろえない：$y$ を「後 − 前」で引いたら、$x$ も「後 − 前」で引きます。$\dfrac{9-1}{1-3}$ のように順番がばらばらだと、符号が逆になります。
• $y$ の増加量で止める：「$y$ が 16 増えた」で終わらず、$x$ の増加量でわって 1 あたりにします。
• 負の数の 2 乗をまちがえる：$y=x^2$ で $x=-3$ のとき $y=9$ です（$-9$ ではありません）。$y=ax^2$ の値を出すときは、$(-3)^2=9$ を先に計算します。

ことばの意味

変化は「変わること」、割合は「もとにする量に対する比べる量の大きさ」です。変化の割合は、$x$ の変化をもとにして、$y$ の変化がどれだけにあたるかを表しています。英語では rate of change（変化の割合・変化率）といい、高校の平均変化率は average rate of change といいます。

ミニ問題

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

• 変化の割合（y＝ax² の変化の割合＝a(p＋q)）
• 一次関数
• 放物線と直線

あわせて覚えたい用語

• 傾きと切片
• 一次関数
• 微分係数と導関数

よくある質問