平行四辺形とは？意味と性質・面積をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

平行四辺形とは？意味と性質・面積をわかりやすく【例題・問題つき】｜合格大作戦 数学用語辞典

合格大作戦 数学用語辞典 › 図形

中学受験高校受験

平行四辺形とは

向かい合う辺が2組とも平行な四角形です。向かい合う辺の長さ・向かい合う角の大きさはそれぞれ等しく、対角線はおたがいのまん中で交わります。面積は底辺 × 高さで求めます。

読み方：へいこうしへんけい／英語：parallelogram／習う学年：小学4年（平行四辺形）、小学5年（面積）、中学2年（性質と条件の証明）

まなぶくん

まなぶくん

平行四辺形って、長方形とどうちがうの？

合格先生

合格先生

向かい合う辺が2組とも平行なのは同じだよ。長方形は、その中で角が全部直角になった特別な平行四辺形なんだ。

この用語のポイント

  • 平行四辺形 ＝ 2組の向かい合う辺が平行な四角形
  • 性質：対辺は等しい・対角は等しい・対角線は中点で交わる
  • 面積 ＝ 底辺 × 高さ。高さは底辺に垂直な長さ

やさしく言うと

平行四辺形は、向かい合う辺が2組とも平行な四角形です。名前のとおり、「平行な辺でできた四辺形（四角形）」です。

みのまわりでは、こんなところに出てきます。

  • 長方形の枠をななめに押す：わりばし4本で長方形の枠を作り、角を押してかたむけると平行四辺形になります。辺の長さは変わらないのに、角の大きさと面積が変わります。
  • のびちぢみする門やフェンス：ひし形や平行四辺形がつながった形をしています。どれだけのばしても、向かい合う棒はいつも平行なままです。
  • 2組のしま模様を重ねる：ノートの罫線のような平行線を、ななめにもう1組重ねると、すきまに平行四辺形がたくさんできます。
ABCD AD ∥ BC　かつ　AB ∥ DC
2組の平行線で囲まれた四角形が平行四辺形

図の「＞」のしるしは、その線どうしが平行であることを表します。四角形 ABCD が平行四辺形であることを、中学では記号で「▱ABCD」と書くこともあります。まとめると、平行四辺形は「2組の平行線で囲まれた四角形」です。

ボードで説明するまなぶくん

まなぶくん

長方形をななめに押しつぶした形、と思うとイメージしやすいよ！

例と、例ではないもの

○ 平行四辺形

  • 長方形（4つの角が直角。2組の辺が平行）
  • 正方形（長方形でもあり、ひし形でもある）
  • ひし形（4つの辺が等しい。2組の辺が平行）
  • 向かい合う辺が 6cm・4cm・6cm・4cm で、向かい合う辺どうしが平行な四角形
  • 2本の対角線がおたがいのまん中で交わる四角形
  • 1組の向かい合う辺が「平行で長さも等しい」四角形

× 平行四辺形とは限らないもの

  • 台形（平行な辺が1組だけ）
  • 4つの辺がばらばらの四角形
  • 向かい合う辺が1組だけ平行で、もう1組の長さが等しい四角形（図4の等脚台形になることがある）
  • 三角形・五角形（四角形ではない）
  • 対角線の長さが等しいだけの四角形（平行四辺形とは限らない）

長方形・ひし形・正方形は、どれも2組の辺が平行なので、平行四辺形の仲間です。長方形は「角が全部直角な平行四辺形」、ひし形は「辺が全部等しい平行四辺形」と考えられます。

図で見る

平行四辺形には、次の3つの性質があります。辺・角・対角線の順に見ていきましょう。

ABCDO ① 向かい合う辺の長さは等しい（AB＝DC、AD＝BC） ② 向かい合う角は等しい（∠A＝∠C、∠B＝∠D） ③ 対角線は中点で交わる（AO＝CO、BO＝DO）
向かい合う辺・角は等しく、対角線はおたがいのまん中で交わる
ハルちゃん

ハルちゃん

となり合う角どうしは、等しくないの？

合格先生

合格先生

となり合う角は、たすと 180∘180^\circ になるんだ。∠A\angle A が 70∘70^\circ なら ∠B\angle B は 110∘110^\circ。等しいのは向かい合う角どうしだよ。

対角線の交点 O は、平行四辺形のまん中の点です。平行四辺形を O のまわりに 180∘180^\circ 回すと、もとの形にぴったり重なります。つまり平行四辺形は点対称な図形で、O が対称の中心です。

面積の求め方

平行四辺形の面積は、底辺 × 高さで求めます（小学5年）。高さは、底辺に垂直にはかった長さです。

底辺 6cm 高さ4cm 5cm 切って動かすと 長方形になる 面積 ＝ 6 × 4 ＝ 24cm²（6 × 5 ＝ 30 は×）
左の直角三角形を右へ動かすと、同じ面積の長方形になる

左はしの三角形を切りとって右はしにつけると、たて 4cm・横 6cm の長方形になります。形は変わっても面積は変わらないので、平行四辺形の面積は 6×4=246\times4=24（cm²）です。斜めの辺の 5cm をかけて 6×5=306\times5=30 とするのはまちがいです。

同じ底辺・同じ高さなら、どんなにかたむいた平行四辺形でも面積は同じです。また、対角線で2つに分けると、合同な三角形が2つできます。だから三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」になります。

平行四辺形になるための条件

中学2年では、ある四角形が平行四辺形だと言えるための条件を学びます。次のどれか1つが成り立てば、その四角形は平行四辺形です。

条件
12組の向かい合う辺が、それぞれ平行（定義）
22組の向かい合う辺が、それぞれ等しい
32組の向かい合う角が、それぞれ等しい
4対角線が、それぞれの中点で交わる
51組の向かい合う辺が、平行で長さが等しい

5番は「平行」と「等しい」が同じ1組の辺についての条件です。「1組は平行、別の1組は等しい」では足りません。下の図のように、平行四辺形にならない四角形があるからです。

ABCD AD ∥ BC（1組の辺が平行）で、AB ＝ DC それでも AB と DC は平行ではない → 平行四辺形ではない
「1組が平行、もう1組が等しい」だけでは平行四辺形とは限らない

テスト・入試ではこう出る

小学4年で平行四辺形の名前と性質、小学5年で面積を習います。中学受験では、面積の問題（高さが図の外にある形・等積変形）や角度の問題でよく出ます。中学2年では、性質を証明する問題、「この四角形が平行四辺形になることを証明しなさい」という問題が定番です。

例題1（小学5年：面積）

底辺が 8cm、高さが 5cm、斜めの辺が 6cm の平行四辺形の面積を求めなさい。

  1. 平行四辺形の面積は「底辺 × 高さ」。
  2. 高さは、底辺に垂直な長さなので 5cm。斜めの辺 6cm は高さではない。
  3. 8×5=408\times5=40

答え　40cm²

例題2（中学2年：証明）

平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とします。AO＝CO であることを証明しなさい。

  1. 三角形 ABO と三角形 CDO に注目する。
  2. 平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、AB＝CD。
  3. AB ∥\parallel DC で、平行線の錯角は等しいので、∠BAO=∠DCO\angle BAO=\angle DCO、∠ABO=∠CDO\angle ABO=\angle CDO。
  4. 1組の辺とその両はしの角がそれぞれ等しいので、三角形 ABO ≡ 三角形 CDO。
  5. 合同な図形の対応する辺は等しいので、AO＝CO。

答え　AO＝CO（同じようにして BO＝DO もいえます）

ひらめいたハルちゃん

ハルちゃん

平行線があったら、錯角が等しい。証明はそこから始めればいいんだね！

まちがえやすい点

腕でバツを作る合格先生

合格先生

面積は 底辺 × 斜めの辺 ではなく、底辺 × 高さ！

  • 斜めの辺を高さにする：面積で「底辺 × 斜めの辺」とするまちがいです。高さは、底辺に垂直な長さです。斜めの辺はいつも高さより長くなります。
  • 対角線の長さが等しいと思う：対角線の長さが等しいのは長方形（と正方形）のときだけです。ふつうの平行四辺形では、対角線の長さはちがいます。
  • 対角線が垂直に交わると思う：対角線が垂直に交わるのはひし形（と正方形）のときだけです。
  • 条件を半分ずつ混ぜる：「AD∥BC で AB＝DC」だけでは平行四辺形といえません（図4）。正しくは「AD∥BC で AD＝BC」のように、同じ1組の辺で考えます。
  • 性質と条件を取りちがえる：「平行四辺形なら、対辺は等しい」が性質、「対辺が等しければ、平行四辺形」が条件です。証明では、どちらを使っているのかをはっきり書きます。

ことばの由来

平行四辺形の「四辺形」は、4つの辺をもつ形、つまり四角形のことです。「平行な四辺形」なので平行四辺形です。英語では parallelogram（パラレログラム）といい、parallel（平行な）と、ギリシャ語で「線」を表す言葉を組み合わせた名前です。

ミニ問題

問題1　平行四辺形 ABCD で、∠A=65∘\angle A=65^\circ です。∠B\angle B・∠C\angle C・∠D\angle D は何度ですか。

答えと解き方を見る

∠B=115∘\angle B=115^\circ、∠C=65∘\angle C=65^\circ、∠D=115∘\angle D=115^\circ です。向かい合う角は等しいので ∠C=∠A=65∘\angle C=\angle A=65^\circ。となり合う角の和は 180∘180^\circ なので ∠B=180∘−65∘=115∘\angle B=180^\circ-65^\circ=115^\circ、∠D=∠B=115∘\angle D=\angle B=115^\circ です（4つの和は 360∘360^\circ）。

問題2　底辺が 7cm、高さが 4cm、斜めの辺が 5cm の平行四辺形の面積を求めましょう。

答えと解き方を見る

28cm² です。面積は 底辺 × 高さ なので 7×4=287\times4=28。斜めの辺 5cm は使いません。7×5=357\times5=35 とするのはよくあるまちがいです。

問題3　平行四辺形 ABCD で、AB＝5cm、BC＝8cm です。∠B\angle B の二等分線が辺 AD と交わる点を E とします。AE と ED の長さを求めましょう。

答えと解き方を見る

AE＝5cm、ED＝3cm です。

  1. AD ∥\parallel BC なので、錯角で ∠AEB=∠EBC\angle AEB=\angle EBC。
  2. BE は ∠B\angle B の二等分線なので、∠ABE=∠EBC\angle ABE=\angle EBC。
  3. よって ∠ABE=∠AEB\angle ABE=\angle AEB となり、三角形 ABE は AB＝AE の二等辺三角形。AE＝5cm。
  4. AD＝BC＝8cm なので、ED＝8－5＝3cm。

平行線の錯角と二等辺三角形を組み合わせる、入試でよく見る形です。

関連する公式・用語

公式辞典で、くわしい証明と例題を見る

あわせて覚えたい用語

よくある質問

平行四辺形とは簡単にいうと何ですか？

向かい合う辺が2組とも平行な四角形です。長方形をななめに押したような形で、長方形・ひし形・正方形も平行四辺形の仲間です。

平行四辺形の性質は？

向かい合う辺の長さが等しい、向かい合う角の大きさが等しい、対角線がそれぞれの中点で交わる、の3つです。

平行四辺形の面積の求め方は？

底辺×高さで求めます。高さは底辺に垂直な長さで、斜めの辺の長さではありません。

平行四辺形になるための条件はいくつありますか？

ふつう5つあげます。2組の対辺が平行、2組の対辺が等しい、2組の対角が等しい、対角線が中点で交わる、1組の対辺が平行で等しい、です。

長方形は平行四辺形ですか？

はい。長方形は2組の向かい合う辺が平行なので、平行四辺形の特別な場合です。ひし形・正方形も同じです。

平行四辺形は何年生で習いますか？

小学4年で名前と性質、小学5年で面積を習います。中学2年では性質と、平行四辺形になるための条件を証明します。

出典・参考

  • 文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 算数編」第4学年 B 図形（平行四辺形）、第5学年 B 図形（平行四辺形の面積）
  • 文部科学省「中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編」第2学年 B 図形（平行四辺形の性質と条件）

最終更新：2026年10月13日／作成：大学受験合格大作戦